[考研类试卷]考研数学二(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷15及答案与解析.doc
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1、考研数学二(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷 15 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设三阶矩阵 A 的特征值为1,1,2,其对应的特征向量为 1, 2, 3,令P(3 2, 3,2 1),则 P-1AP 等于( )(A)(B)(C)(D)2 设 A,B 为 n 阶矩阵,且 A,B 的特征值相同,则( )(A)A,B 相似于同一个对角矩阵(B)存在正交阵 Q,使得 QTAQB(C) r(A) r(B)(D)以上都不对3 设 A 是 n 阶矩阵,下列命题错误的是( )(A)若 A2E,则1 一定是矩阵 A 的特征值(B)若 r(E A)n,则1 一定是
2、矩阵 A 的特征值(C)若矩阵 A 的各行元素之和为1,则1 一定是矩阵 A 的特征值(D)若 A 是正交矩阵,且 A 的特征值之积小于零,则1 一定是 A 的特征值4 与矩阵 A 相似的矩阵为( )(A)(B)(C)(D)5 设 A 为 n 阶矩阵,下列结论正确的是( )(A)矩阵 A 的秩与矩阵 A 的非零特征值的个数相等(B)若 AB ,则矩阵 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵(C)若 r(A)rn,则 A 经过有限次初等行变换可化为(D)若矩阵 A 可对角化,则 A 的秩与其非零特征值的个数相等6 设 A,B 为 n 阶可逆矩阵,则( )(A)存在可逆矩阵 P,使得 P-1APB(B)
3、存在正交矩阵 Q,使得 QTAQB(C) A,B 与同一个对角矩阵相似(D)存在可逆矩阵 P,Q,使得 PAQB二、填空题7 设 A ,A0 且 A*的特征值为1,2,2,则a11 22aa 33_8 设三阶矩阵 A 的特征值为 11, 2 , 3 ,其对应的特征向量为1, 2, 3,令 P(2 3,3 1, 2),则 P-1(A-12E)P_9 设 1, 2, 3 是三阶矩阵 A 的三个不同特征值, 1, 2, 3 分别是属于特征值1, 2, 3 的特征向量,若 1,A( 1 2),A 2(1 2 3)线性无关,则 1, 2, 3满足_10 若 1, 2, 3 是三维线性无关的列向量,A 是
4、三阶方阵,且A1 1 2,A 2 2 3,A 3 3 1,则A_11 设 A 为三阶实对称矩阵, 1(a ,a,1) T 是方程组 AX0 的解,2 (a,1,1a) T 是方程组(AE)X0 的解,则 a_12 设 A 有三个线性无关的特征向量,则 a_13 设 A 有三个线性无关的特征向量,则 a_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 A 为 n 阶非零矩阵,且 A2A,r(A) r(0 rn) 求5E A 15 设 A 相似于对角阵 求:(1)a 及可逆阵 P,使得 P-1APA,其中A 为对角阵; (2)A 10016 设 A 有三个线性无关的特征向量,且 2 为
5、 A 的二重特征值,求可逆矩阵 P,使得 P-1AP 为对角矩阵17 设 A 有四个线性无关的特征向量,求 A 的特征值与特征向量,并求 A201018 设 方程组 AX 有解但不唯一 (1) 求 a; (2)求可逆矩阵 P,使得 P-1AP 为对角阵; (3) 求正交阵 Q,使得 QTAQ 为对角阵19 设矩阵 A (1)若 A 有一个特征值为 3,求 a; (2)求可逆矩阵P,使得 PTA2P 为对角矩阵20 设矩阵 A 可逆, 为 A*对应的特征向量 (1)求 a,b 及 对应的 A*的特征值; (2)判断 A 可否对角化21 设 A 为三阶矩阵, 1, 2, 3 是三维线性无关的列向量
6、,且 A1 12 22 3,A 22 1 22 3,A 32 12 2 3 (1)求矩阵 A 的全部特征值; (2)求A *2E 22 设 A 为三阶矩阵,且有三个互异的正的特征值,设矩阵 B(A *)24E 的特征值为 0,5,32 求 A-1 的特征值并判断 A-1 是否可对角化23 设 A 的一个特征值为 12,其对应的特征向量为 1 (1)求常数 a,b,c; (2) 判断 A 是否可对角化,若可对角化,求可逆矩阵 P,使得P-1AP 为对角矩阵若不可对角化,说明理由24 设二维非零向量口不是二阶方阵 A 的特征向量 (1)证明 ,A 线性无关; (2)若 A2A60,求 A 的特征值
7、,讨论 A 可否对角化25 设 A 是三阶矩阵, 1, 2, 3 为三个三维线性无关的列向量,且满足A1 2 3,A 2 1 3,A 3 1 2 (1)求矩阵 A 的特征值; (2) 判断矩阵A 可否对角化26 设 A,B 为三阶矩阵,且 ABAB,若 1, 2, 3 为 A 的三个不同的特征值,证明: (1)ABBA; (2)存在可逆矩阵 P,使得 P-1AP,P -1BP 同时为对角矩阵27 若 A 可逆且 AB,证明:A *B *;考研数学二(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷 15 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】
8、显然 32, 3,2 1 也是特征值 1,2,1 的特征向量,所以 P-1AP ,选 C【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量2 【正确答案】 D【试题解析】 显然 A,B 有相同的特征值,而 r(A)r(B),所以选项 A,B,C 都不对,选 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量3 【正确答案】 A【试题解析】 若 r(EA) n刚EA0,于是1 为 A 的特征值; 若 A 的短行元素之和为1,则 根据特征值特征向量的定义,1 为 A的特征值;若 A 是正交矩阵,则 ATAE,令 AXX( 其中 X0),则XTAT XT,于是 XTATAX 2XTX,即( 21)X TX0,而 XTX0,故
9、 21,再由特征值之积为负得1 为 A 的特征值,选 A【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量4 【正确答案】 D【试题解析】 A 的特征值为 1,2,0,因为特征值都是单值,所以 A 可以对角化,又因为给定的四个矩阵中只有选项 D 中的矩阵特征值与 A 相同且可以对角化,所以选 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量5 【正确答案】 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A,B 都是可逆矩阵,所以 A,B 等价,即存在可逆矩阵P,Q,使得 PAQB,选 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量二、填空题7 【正确答案】 2【试题解析】 因为A *A 24,
10、且A0,所以A2,又AA*AE2E,所以 A-1 A*,从而 A-1 的特征值为 ,1,1,根据逆矩阵之间特征值的倒数关系,则 A 的特征值为2 ,1,1,于是a11a 22a 332112【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量8 【正确答案】 【试题解析】 P -1(A-12E)PP -1A-1P2E 而 P-1A-1P , 所以P-1(A-12E)P【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量9 【正确答案】 230【试题解析】 令 11 2A(1 2) 3A2(1 2 3)0,即 ( 1 12 12 3)1 (22 223)2 32330,则有 1 12 1230, 22 2230, 3230,因
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