[考研类试卷]考研数学二(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷13及答案与解析.doc
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1、考研数学二(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 n 阶矩阵,下列结论正确的是( )(A)A,B 都不可逆的充分必要条件是 AB 不可逆(B) r(A) n,r(B) n 的充分必要条件是 r(AB) n(C) AX0 与 BX0 同解的充分必要条件是 r(A)r(B)(D)AB 的充分必要条件是 EAE B2 设 A 为 n 阶可逆矩阵, 为 A 的特征值,则 A*的一个特征值为 ( )(A)(B)(C) A(D)A n-13 设三阶矩阵 A 的特征值为 11, 20, 31,则下列结论不正确的是(
2、)(A)矩阵 A 不可逆(B)矩阵 A 的迹为零(C)特征值1,1 对应的特征向量正交(D)方程组 AX0 的基础解系含有一个线性无关的解向量4 设 A 为三阶矩阵,方程组 AX0 的基础解系为 1, 2,又 2 为 A 的一个特征值,其对应的特征向量为 3,下列向量中是 A 的特征向量的是( )(A) 1 3(B) 33 1(C) 12 23 3(D)2 13 2二、填空题5 设 A 是三阶矩阵,其三个特征值为 ,1,则 4A*3E_6 设 A 为 n 阶可逆矩阵,若 A 有特征值 0,则(A *)23A *2E 有特征值_7 设 A 为三阶矩阵,A 的各行元素之和为 4,则 A 有特征值_
3、,对应的特征向量为_8 设 A 为三阶实对称矩阵,且 为 A 的不同特征值对应的特征向量,则 a_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 求矩阵 A 的特征值与特征向量10 设 为 A 的特征向量 (1)求 a,b 及 A 的所有特征值与特征向量 (2)A 可否对角化 ?若可对角化,求可逆矩阵 P,使得 P-1AP 为对角矩阵11 设 A ,求 A 的特征值,并证明 A 不可以对角化12 设 A ,BA *,求 B2E 的特征值13 设 ATAE,证明:A 的实特征值的绝对值为 114 设 0 为 A 的特征值 (1)证明:A T 与 A 特征值相等; (2)求 A2,A 22
4、A3E的特征值; (3)若A0,求 A-1,A *,EA -1 的特征值15 设 X1,X 2 分别为 A 的属于不同特征值 1, 2 的特征向量证明:X 1X 2 不是A 的特征向量16 , T aibi0,求 A 的全部特征值,并证明 A 可以对角化17 设向量 (a 1,a 2,a n)T,其中 a10,A T (1) 求方程组 AX0 的通解;(2)求 A 的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量18 设 ,A T,求6EA n19 设 A 为三阶矩阵,A 的特征值为 11, 22, 33,其对应的线性无关的特征向量分别为 ,向量 ,求 An20 设 A 是 n 阶矩阵, 是 A 的特
5、征值,其对应的特征向量为 X,证明: 2 是 A2 的特征值,X 为特征向量若 A2 有特征值 ,其对应的特征向量为 X,X 是否一定为 A 的特征向量? 说明理由21 设 A,B 为 n 阶矩阵(1)是否有 ABBA; (2)若 A 有特征值 1,2, ,n,证明:ABBA 22 设 为 n 维非零列向量,AE T (1)证明:A 可逆并求 A-1; (2)证明: 为矩阵 A 的特征向量23 设矩阵 A 有一个特征值为 3 (1)求 y; (2)求可逆矩阵 P,使得(AP)T(AP)为对角矩阵24 设 A 是三阶实对称矩阵,r(A)1,A 23AO,设(1,1,1) T 为 A 的非零特征值
6、对应的特征向量 (1)求 A 的特征值; (2) 求矩阵 A25 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 18, 2 32,矩阵 A 的属于特征值18 的特征向量为 1 属于特征值 2 3 2 的特征向量为 2 ,求属于 2 32 的另一个特征向量26 设 n 阶矩阵 A 满足(aEA)(bEA)O 且 ab证明:A 可对角化27 设非零 n 维列向量 , 正交且 A T证明:A 不可以相似对角化28 设 A (1)证明:A 可对角化; (2)求 Am考研数学二(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷 13 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题
7、解析】 若 AB,则存在可逆矩阵 P,使得 P-1APB, 于是 P-1(EA)PEP -1APE B ,即 EAEB; 反之,若 EA EB,即存在可逆矩阵 P,使得 P-1(EA)PEB , 整理得 EP -1APE B ,即 P-1APB,即 AB,应选 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 可逆,所以 0,令 AXX,则 A*AXA *X,从而有A*X ,选 B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量3 【正确答案】 C【试题解析】 由 11 , 20, 31 得A0,则 r(A)3,即 A 不可逆,A 正确;又 1 2 3tr(A)0,所以 B
8、 正确;因为 A 的三个特征值都为单值,所以 A 的非零特征值的个数与矩阵 A 的秩相等,即 r(A)2,从而 AX0 的基础解系仅含有一个线性无关的解向量,D 是正确的; C 不对,因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交,一般矩阵不一定有此性质,选 C【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 AX0 有非零解,所以 r(A) n,故 0 为矩阵 A 的特征值,1, 2 为特征值 0 所对应的线性无关的特征向量,显然特征值 0 为二重特征值,若1 3 为属于特征值 0 的特征向量,则有 A(1 3)( 1 3),注意到 A( 1 3)0 12 32
9、3,故2 3 0(1 3)或 01( 02) 30, 因为 1, 3 线性无关,所以有 00, 0 20,矛盾,故 1 3 不是特征向量,同理可证 33 1 及 12 23 3 也不是特征向量,显然 213 2 为特征值 0 对应的特征向量,选 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量二、填空题5 【正确答案】 10【试题解析】 A ,A *的特征值为 ,4A *3E 的特征值为5,1,2,于是4A *3E10【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量6 【正确答案】 【试题解析】 因为 A 可逆,所以 00,A *对应的特征值为 ,于是(A *)23A *2E 对应的特征值为 【知识模块】 矩阵的特
10、征值和特征向量7 【正确答案】 4; 【试题解析】 因为 A 的各行元素之和为 4,所以 ,于是 A 有特征值4,对应的特征向量为 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量8 【正确答案】 3【试题解析】 因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交,所以有63a36a0,a3【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 由E A( 1) 2(4)0 得 1 21, 34 当 1 时,由(EA)X0 得属于特征值 1 的线性无关的特征向量为 1 , 2,全部特征向量为 k11k 22(k1,k 2 不同时为 0); 当 4 时,(4EA)X0
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