[考研类试卷]经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷19及答案与解析.doc

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1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷 19 及答案与解析单项选择题1 设 F(x)是 f(x)的一个原函数，则下列命题正确的是( )（A）1xf(lnax)dx=1aF(lnax)+C（B） 1xf(lnax)dx=F(lnax)+C（C） 1xf(lnax)dx=aF(lnax)+C（D）1xf(lnax)dx=1xF(lnax)+C2 不定积分x 2 dx=( )（A）13(1x 3)32 +C（B） 29(1x 3)32 +C（C） 3(1x 3)32 +C（D）92(1x 3)32 +C3 设 f(x)在区间a，b上，有 f(x)0，f(x)0，f“(x)0记 S1=a

2、bf(x)dx，S 2=f(b)(ba)，S 3=12f(b)+f(a)(ba)，则有( )（A）S 1S 2S 3（B） S3S 1S 2（C） S2S 3S 1（D）S 2S 1S 34 设 F(x)= axf(t)dt，其中 f(x)为连续函数，则 F(x)为( )（A）a 2（B） a2f(a)（C） 0（D）不存在5 如图 131 所示，曲线段的方程为 y=f(x)，函数 f(x)在区间0，a 上有连续的导数，则定积分 0axf(x)dx 等于( )（A）曲边梯形 ABOD 的面积（B）梯形 ABOD 的面积（C）曲边三角形 ACD 的面积（D）三角形 ACD 的面积6 01 dx=

3、( )（A）1（B） 2（C） 3（D）47 1e dx=( )（A）e（B） e（C） 1e（D）1e8 二元函数 f(x，y)= 在点 (0，0) 处必定( )（A）连续且偏导数存在（B）连续但偏导数不存在（C）不连续但偏导数存在（D）不连续且偏导数不存在9 设 z= ，则 dz=( )10 设 z=xy，x=sint ，y=tant,则全导数 dzdt| t=4 =( )11 设有三元方程 xyzlny+z 2=1，根据隐函数存在定理，存在点(1，1，0)的一个邻域，在此邻域内该方程( )（A）只能确定一个具有连续偏导数的函数 z=z(x，y)（B）可确定两个具有连续偏导数的函数 y=y

4、(x，z)和 z=z(x，y)（C）可确定两个具有连续偏导数的函数 x=x(y，z)和 z=z(x，y)（D）可确定两个具有连续偏导数的函数 x=x(y，z) 和 y=y(x，z)12 设 z= ，则点(0，0)( )（A）为 z 的驻点且为极小值点（B）为 z 的驻点但不为极小值点（C）不为 z 的驻点，但为极小值点（D）不为 z 的驻点，也不为极小值点13 函数 z=x2+y2 在条件 =1 下的极值为( ) 14 设 z=z(x，y)由方程 zyxe zyx y=0 确定，则 =( )（A）1（B） 1（C） 1+ezyx（D）1e zyx计算题15 16 设 f(x)为连续函数，且满足

5、 0xf(t1)dt=x 3，求 f(x)17 设 dt=1，求 a，b 的值18 计算定积分 4 2 dx19 计算定积分 12 32 dx20 设 f(x)= dt，求 01xf(x)dx21 求由曲线 y= 和直线 x=0，x= ，x 轴所围成图形的面积22 设二元函数 z=sin23 设 z=方 fx+(yx)，其中 f(u)，(v)为可导函数，求 dz24 设 2=z(x，y)由 f(x2y，y 2+z)=0 确定，其中 f(u，v)可微，求 dz25 设 z=z(x，y)由方程 x+y+zxyz=0 确定，求 dz26 设 u=f(x， y，z)有连续偏导数，y=y(x)，z=z(

6、x)分别由 exyy=0 和 ezz=0 确定，求 dudx27 设函数 z=lnx+3lny，求 z 在条件 x2+y2=25 下极值点的坐标28 设计一幅广告画，要求画面面积为 4840cm2，上、下空白处各要留 8cm，左、右空白处各要留 5cm，问怎样确定画面的长和宽，才能使整幅广告画所用纸张的面积最小?经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷 19 答案与解析单项选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 由题设 F(x)为 f(x)的一个原函数，可知f(x)dx=F(x)+C故1 xf(lnax)dx=1axf(lnax)d(ax)=f(lnax)d(lnax)=F(lna

7、x)+C故选 B【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 利用凑微分法可得x 2 dx=13(1x 3)12 d(x3)=13(1x 3)12 d(1x 3)=1323(1x 3)32 +C= (1x 3)32 +C故选 B【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 由于 f(x) 0，可知函数 f(x)在a，b上单调减少；由于 f“(x)0，可知曲线 y=f(x)在a，b上为凹曲线的图形如图 131 所示由图可知，S 1 表示曲边梯形 ABDC 的面积，S 2 表示以ba 为长，f(b)为宽的矩形 ABDE 的面积，而 S3 表示梯形 ABDC 的面积，因此可得 S2S

8、 1S 3，故选 D【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 因为 且所给问题为含有可变限积分的极限问题，且所给极限为“00”型通常含有可变限积分的极限求解需要利用洛必达法则，通过求导数消去可变限积分则由洛必达法则可得故选 B【知识模块】 微积分5 【正确答案】 C【试题解析】 由于 0axf(x)dx=xf(x)|0a 0af(x)dx=af(a) 0af(x)dx 又由于 af(a)的值等于矩形 ABOC 的面积， 0af(x)dx 的值等于曲边梯形 ABOD 的面积， 可知0axf(x)dx 的值等于曲边三角形 ACD 的面积故选 C【知识模块】 微积分6 【正确答案】 D【

9、试题解析】 y= 可以化为(x1) 2+y2=1， y0，因此 y= 表示圆心在(1， 0)，半径为 1 的上半圆， 01 dx 的值等于上述半圆的面积的二分之一，即 01 dx=4故选 D【知识模块】 微积分7 【正确答案】 C【试题解析】 也可以直接使用分部积分法：故选 C【知识模块】 微积分8 【正确答案】 C【试题解析】 由偏导数的定义可知 可知f(x，y)在点(0，0)处的偏导数存在，因此排除 B，D 由于可知 f(x，y)不存在，从而知 f(x，y)在(0， 0)处不连续，因此排除 A，故选 C【知识模块】 微积分9 【正确答案】 D【试题解析】 求 dz 通常利用可微分的充分条件

10、，即先求出 为连续函数，则有 dz= dy由于 当x2+y20 时， 都为连续函数，因此 故选 D【知识模块】 微积分10 【正确答案】 C【试题解析】 由于dzdt= =yxy1 ， =xylnxdxdt=cost，dydt=1cos 2t，因此dzdt=yx y 1cost+x ylnx1cos 2t=(sint)tant(1+ )，因此dzdt| t=4 = (1ln2)故选 C【知识模块】 微积分11 【正确答案】 D【试题解析】 注意隐函数存在定理：设函数 F(x，y，z) 在点 P(x0，y 0，z 0)的某一邻域内具有连续偏导数，且 F(x0，y 0，z 0)=0，F z(x0，

11、y 0，z 0)0，则方程F(x，y，z)=0 在点 P(x0，y 0，z 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 z=z(x，y)，它满足条件 z0=z(x0，y 0)，且有 在本题中令 F(x，y，z)=xy zlny+z 21，则 F(1，1，0)=0 ，且Fx=y，F y=x ，F z=lny+2z，F x(1，1，0)=1 ，F y(1，1，0)=1 ，F z(1，1，0)=0由隐函数存在定理可知，可确定两个具有连续偏导数的函数 x=x(y，z)和y=y(x，z)故选 D【知识模块】 微积分12 【正确答案】 C【试题解析】 z=f(x，y)= ，当(x ，y)(

12、0，0)时，f(x，y)= 0，而f(0，0)=0，可知点 (0，0)为 f(x，y)的极小值点，由于不存在，可知在点(0，0) 不存在，因此点(0，0)不是 z 的驻点，故选 C【知识模块】 微积分13 【正确答案】 C【试题解析】 所给问题为条件极值构造拉格朗日函数 F(x，y，)=x 2+y2+(1) ，解联立方程组 可解得唯一一组解对于条件极值问题，判定其驻点是否为极值点，往往是利用问题的实际背景来解决所给问题不是实际问题但是可以理解为：考查直线=1 上的点到原点的距离的极值问题由于直线上任意一点(x，y) 到原点的距离 而点(x，y)应满足直线方程 =1因此问题转化为求在条件=1 下

13、函数 d=的最小值问题为了计算简便，可以求 z=d2=x2+y2 在条件=1 下的极值问题在此实际背景之下，由于原点到定直线上点之间的距离存在最小值，可知所给条件极值存在最小值由于驻点唯一，因此所求驻点为最(极)小值点，相应的最 (极) 小值为 故选 C【知识模块】 微积分14 【正确答案】 B【试题解析】 设 F(x，y， z)=zyx+xe zyx ，则 Fy=1+xe zyx (1)=(1+xe zy x)，F z=1+xezyx 因此 故选 B【知识模块】 微积分计算题15 【正确答案】 设 u=lnx，则 du=1xdx所以ln2x=ln2+lnx=ln2+u，ln4x=u+ln4=

14、u+2ln2=uln2ln(2ln2+u)+C=lnxln2ln(ln4x)+C【知识模块】 微积分16 【正确答案】 由于 f(x)为连续函数，因此将所给表达式两端同时关于 x 求导，可得 f(x1)=3x 2 令 t=x1，则 x=t+1，可得 f(t)=3(t+1)2，即 f(x)=3(x+1) 2， 故f(x)=6(x+1)【知识模块】 微积分17 【正确答案】 由于原式 型，由洛必达法则可得由于分子的极限为零，比值的极限存在，因此分母的极限必定为零，即 (bcosx)=b=1=0，可得 b=1因此可知 a=2 或 a=2【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【知识模块】 微积分19

15、 【正确答案】 令 t=1x，则 dx=dt 当x=12 时，t=12；当 x=32 时，t=12因此【知识模块】 微积分20 【正确答案】 将 f(x)= dt 两端同时关于 x 求导，可得 f(x)=2x 由分部积分公式可得 01xf(x)dx 当 x=1 时，有f(1)=11 dt=0，因此 01xf(x)dx=14(e 1 1)【知识模块】 微积分21 【正确答案】 由于当 0x 0，故所求图形面积为令 t=x2，当 x=0 时，t=0；当 x= 时，t=4因此【知识模块】 微积分22 【正确答案】 设 u=xy，v=y x，则 z=sinu+cosv【知识模块】 微积分23 【正确答

16、案】 设 u=x+(yx)，v=y x，则 z=f(u)【知识模块】 微积分24 【正确答案】 记 fi 为 f 对第 i 个位置变量的偏导数，i=1，2，设 F(x，y，z)=f(x2 y，y 2+z)，则 Fx=f12x，F y=f1(一 1)+f22y，F z=f2【知识模块】 微积分25 【正确答案】 解法 1 利用全微分形式不变性求解dx+dy+dzd(xyz)=0，dx+dy+dzyzdxxzdyxydz=0，(1yz)dx+(1xz)dy+(1xy)dz=0当1xy0 时，有 dz= (1yz)dx+(1xz)dy 解法 2 先利用隐函数存在定理求，再利用全微分公式求 dz令 F

17、(x，y，z)=x+y+zxyz ，则Fx=1yz，F y=1xz，F z=1xy，当 xy1 时，有【知识模块】 微积分26 【正确答案】 由于 y=y(x)，z=z(x)，可知 u 为 x 的一元函数，则有dudx=f 1+f2 +f3dzdx将 exyy=0 两端关于 x 求导，可得 exy(xy)y=0，e xy(y+xy)y=0 ，可得 将 ezxz=0 两端关于 x 求导，可得ez z (z+xz)=0，z=z(e zx)因此【知识模块】 微积分27 【正确答案】 构造拉格朗日函数 L(x，y，)=lnx+3lny+(x 2+y225)，求解方程组 由， 可得=12x 2=32y

18、2，因此 y2=3x2，代入可得 由于z=lnx+3lny，知 x0，y 0，故只有唯一的可能极值点(52，52 )本题可以理解为：在圆周 x2+y2=25 上求一点，使 lnxy3 达到极值，由 lnxy3 表达式可知，其极小值不存在，极大值应该存在，驻点唯一，因此该驻点即为极大值点，此点即为所求点【知识模块】 微积分28 【正确答案】 设画面长、宽分别为 x，y(cm) ，则整幅广告画所用纸张面积为S=(x+16)(y+10)，(x0，y0)要求面积 S=(x+16)(y+10)在约束条件 xy=4840 下的最小值构造拉格朗日函数 L(x，y，)=(x+16)(y+10)+(xy4840)解方程组解得 x=88，y=55 ，则(88 ，55)是唯一可能的极值点由实际问题可知所用纸张面积一定存在最小值，且可能极值点唯一，因此长为 88cm，宽为 55cm 时为所求画面的长和宽【知识模块】 微积分