[考研类试卷]工程硕士（GCT）数学模拟试卷175及答案与解析.doc

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1、工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 175 及答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 已知 对任意的正整数都成立，则 an= 3 甲、乙两台车床 3h 共生产某种零件 210 个两台车床同时生产这种零件，在相同时间内甲车床生产了 666 个，乙车床生产了 594 个甲、乙两台车床每小时生产的零件个数分别为 （A）33，37（B） 37，33（C） 99，111（D）111，994 一列火车通过一座长为 600m 的桥梁用了 15s，经过一根电杆用了 5s，此列火车的长度为 m（A）150（B） 200（C） 30

2、0（D）4005 设 1 是底面直径与高均为 2R 的圆柱体， 2 是 1 的内切球体，K 1 是 1 与 2 的体积之比，K 2 是 1 与 2 的表面积之比，则 K1，K 2 的值分别是 6 从 5 位男教师和 4 位女教师中选出 3 人担任班主任，这 3 位教师中男、女教师都有的概率是 7 下列 4 个式子中，对一切非零实数 x 都成立的是 （A） =sinx（B） lnx2=2lnx（C） arcsin(sin x)x=x（D） =e|x|8 已知 a1，不等式 a 一 x 的解集是 （A）(1 ，+)（B） ( ，+)（C） (a，+)（D）9 已知 x0，y0，且 x，a，b，y

3、成等差数列，x，c ，d，y 成等比数列，则的最小值是 （A）0（B） 1（C） 2（D）410 如图所示，AB 是圆 O 的直径，延长 AB 至 C，使 AB=2BC，且 BC=2，CD 是圆 O 的切线，切点为 D，连接 AD，则 （A）CD= ，DAB=30（B） CD=4， DAB=30（C） CD= ， DAB=45（D）CD=4， DAB=4511 下列四个选项的数中最大的是 （A）(ln2) 2（B） ln(ln2)（C）（D）ln212 AABC 中，A，B，C 的对边分别是 a，b，c已知 则B 等于 13 已知 aR，函数 f(x)=x2+ ，则下列命题为真命题的是 （A）

4、对一切 aR，f(x)在(0，+)是增函数（B）对一切 aR，f(x) 在 (0，+)是减函数（C）存在一个 aR，使 f(x)是偶函数（D）存在一个 aR，使 f(x)是奇函数14 椭圆 =1 的焦点为 F1，F 2点 P 在椭圆上若线段 PF1 的中点在 y 轴上，则 = （A）8（B） 7（C） 6（D）515 如图所示，长方形 ABCD 中，阴影部分是直角三角形且面积为 54cm2，OB 的长为 9cm，OD 的长为 16cm，此长方形的面积为 cm 2（A）300（B） 192（C） 150（D）9616 设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+x)，若要使 F(x)在 x=0 处

5、可导，则必有 （A）f(x)=0（B） f(0)=1（C） f(0)=0（D）f(0)=117 设 f(lnx)= ，则f(x)dx= （A）e -xln(1+ex)一 x+1n(1+ex)+C（B）一 e-xln(1+ex)一 x+ln(1+ex)+C（C）一 e-xln(1+ex)+zln(1+ex)+C（D）e -xln(1+ex)+xln(1+ex)+C18 函数 f(x)在a，b内有定义，其导数 f(x)的图形如图所示，则 （A）x 1，x 2 都是极值点（B） (x1，f(x 1)，(x 2，f(x 2)都是拐点（C） x1 是极值点，(x 2，f(x 2)是拐点（D）(x 1，f

6、(x 1)是拐点，x 2 是极值点19 设 f(x)是连续函数，且 01f(x)dx=2，令 g(x)=01f(xt)dt，已知 g(1)=1，则 f(1)= （A）1（B） 2（C） 3（D）420 设 f(a 一 x)g(x)dx=bcf(x)g(a 一 x)dx(a0)，则必有 。21 已知抛物线 y=px2+x(其中 p0)在第一象限内与直线 x+y=5 相切，则此抛物线与 x 轴所围的面积 S= 22 设 A，B 为三阶矩阵，且A=3，B=2，A -1+B=2，则A+B -1= （A）（B）（C） 2（D）323 已知向量 =(一 1，1，k) T 是矩阵 A= 的逆矩阵 A-1 的

7、特征向量，则 k= （A）一 2（B）一 1（C） 0（D）124 设 1， 2， 3， 4 是三维非零向量 (1)如果 r(1， 2， 3)=3，则 4 可由1， 2， 3 线性表出 (2)如果 4 不能由 1， 2， 3 线性表出，则 1， 2， 3 线性相关 (3)如果 4 不能由 1， 2， 3 线性表出，则 2r(1， 2， 3， 4)3 (4)如果r(1+2， 2， 3)=r(1， 2， 3， 4)，则 4 可由 1， 2， 3 线性表出 上述命题中，正确命题的个数为 个（A）1（B） 2（C） 3（D）425 若 A，A *，B 都是 n 阶非零矩阵，且 A*是 A 的伴随矩阵，

8、AB=0，则 r(B)= （A）1（B） n 一 1（C） n（D）不能确定工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 175 答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 n(n+2)=(n+1) 一 1(n+1)4-1=(n+1)2 一 1，即 n(n+2)+1=(n+1)2，所以 故选(B)2 【正确答案】 D【试题解析】 故选(D)3 【正确答案】 B【试题解析】 设甲车床生产 666 个零件所用时间为 t(h)，则有 =210，解得 t=18，从而 即甲、乙两台车床每小时生产的零件个数

9、分别为 37 和 33故选(B)4 【正确答案】 C【试题解析】 列车经过一根电杆用了 5s，这说明列车用 5s 走过它自己的长度，同时列车用 15s 走过它的全长再加 600m，因此列车走 600m 要用 10s，5s 走300m，因此列车长度为 300m故选(C)5 【正确答案】 A【试题解析】 记 i(j=1，2)的体积为 Vj，表面积为 Sj，则 V 1=R22R=2nR 3， V2= R3， S 1=2R2R+2R 2=6R2， S 2=4R2 由此得 故选(A)6 【正确答案】 B【试题解析】 从 9 位教师中选 3 位，共有 C93 种不同选法其中二男一女和一男二女的选法共有 C

10、52C41+C51C42 种所求概率为 故选(B) 7 【正确答案】 B【试题解析】 =sinx 所以(A) 式子左端一定是非负数，而sin x可以是负数，(A)不对一切非零实数成立由反正弦函数的性质，(C)中式子只对 x 时，sinx=-1，而 arcsin(sinx)=arcsin(一 1)=一 ，所以不能选(C) (D)中式子左端 ，开方运算不是对 x2 的所以(D)也不成立 只有(B)对一切非零实数 x 成立故选(B)8 【正确答案】 B【试题解析】 设函数 y= ，两边平方得 x2 一 y2=1，此函数的图像是等轴双曲线在 x 轴上方的部分(见图)又设函数 y=a 一 x，其图像是与

11、双曲线一条渐近线平行的直线，它与 y 轴交于点(0，a)直线与双曲线交点为 P，其横坐标为 x*=当 xx *时双曲线图像在直线图像上方 故选(B)9 【正确答案】 D【试题解析】 x，a，b ， y 成等差数列，所以 x+y=a+bx，c，d，y 成等比数列，所以 xy=cd当且仅当x=y 时等号成立 故选(D)10 【正确答案】 A【试题解析】 由 AB=2BC，BC=2 得 OC=4，OB=2连结 OD，因为 ODCD，所以ODC 是直角三角形，所以 又因为OC=20D，所以圆心角DOB=60，所以圆周角DAB= DOB=30故选(A) 11 【正确答案】 D【试题解析】 函数 y=ln

12、x 为单调递增函数，对数的底 e2，所以 0ln21，故有 (ln2)2ln2， ln2 ，ln(ln2)0ln2故选(D)12 【正确答案】 D【试题解析】 由已知条件及正弦定理有故选(D)13 【正确答案】 C【试题解析】 若取 a=0，则 f(r)=x2 为偶函数，所以(C) 为真命题故选(C) 注意 当 a=0 时，f(x)=x 2 在(0，+) 不是减函数，故(B)为假命题 若取 a=1，则 f(x)=x2+时，f(x)0，f(x)在(0，+)不是增函数，故(A)为假命题 而对所有 aR， f(x)+f(一 x)=x2+ =2x2，所以 f(x)=一f(一 x)不能恒成立，即 f(x

13、)不是奇函数，故(D)也是假命题 故选(C)14 【正确答案】 B【试题解析】 因为 c2=a2 一 b2=123=9，故 c=3所以 F1，F 2 两点的坐标分别为(一 3， 0)，(3，0)。PF 1 中点在 y 轴上，故可设 P(3，y)。代入椭圆方程，有=7故选(B)15 【正确答案】 A【试题解析】 阴影部分直角三角形面积为 54cm2， OB=9cm，因此ABD 的面积等于 BDAO，因此长方形面积为 BDAO=(BO+OD)AO=(9+16)12=300(cm 2)故选(A)16 【正确答案】 A【试题解析】 要使故选(A)17 【正确答案】 C【试题解析】 故选(C)18 【正

14、确答案】 D【试题解析】 在 x1 处，f(x)由单调递减变为单调递增，因此曲线 f(x)由凸变为凹，于是(x 1，f(x 1)是曲线的拐点；在 x2 处，f(x 2)=0，f(x)的符号由负变为正，因此 x2是 f(x)的极小值点 故选(D) 19 【正确答案】 C【试题解析】 在 g(x)=01f(xt)dt 中，令 xt=u，则 dt= 且当 t=0 时，u=0；当 t=1时，u=x于是 在上式中令 x=1，得 g(1)=f(1)一01f(u)du，所以 f(1)=g(1)+01f(u)du=1+2=3 故选(C) 20 【正确答案】 A【试题解析】 在 f(ax)g(x)dx 中，令

15、a 一 x=t，则当 x=a 时，t=0 ，当 x=，且 dx=一 dt，因此有故选(A)21 【正确答案】 B【试题解析】 因直线 x+y=5 与抛物线 y=px2+x 相切，所以它们有唯一的公共点，由方程组 得 px2+2x-5=0，其判别式必等于零，即 =2 2 一 4p(一 5)=4+20p=0，从而得 p=一 x2+x 抛物线 y=一 x2+x 开口向下而且与z 轴的交点横坐标为 x1=0，x 2=5，因此，此抛物线与 x 轴所围的面积为故选(B)22 【正确答案】 D【试题解析】 因为B=2，所以B -1= 从而 A+B-1=AE+A -1B-1= AB+A -1B -1=32 =

16、3故选(D)23 【正确答案】 D【试题解析】 设 是 所相应的特征值，则 A-1=，于是 =A，即故选(D)24 【正确答案】 D【试题解析】 因 1， 2， 3， 4 是三维向量，所以有 r(1， 2， 3)3，r( 1， 2， 3， 4)3 对于(1) ，因 r(1， 2， 3)=3，则 1， 2， 3 线性无关又 1， 2， 3， 4 必线性相关，因此 4 可由 1， 2， 3，线性表出 对于(2)，由(1)可知如果 1， 2， 3 线性无关，则 4 可由 1， 2， 3 线性表出，所以当 4 不能由 1， 2， 3 线性表出时， 1， 2， 3 必线性相关 对于(3)，因1， 2，

17、3， 4 是非零向量，而 4 又不能由 1， 2， 3 线性表出，所以 r(4， I)一 2(i=1，2，3)，从而 r(1， 2， 3， 4)2，于是有 2r(1， 2， 3， 4)3 对于(4)，因矩阵经过初等变换后不改变其秩，所以有 r(1+2， 2， 3)=r(1， 2， 3， 4)，因而有 r(1， 2， 3)=r(1， 2， 3， 4)，这表明非齐次方程组 1x1+2x1+3x1=4 有解，从而 4 可由 1， 2， 3， 4 线性表出 命题(1)，(2)，(3)，(4)都是正确的 故选 (D)25 【正确答案】 A【试题解析】 因 B 是非零 n 阶矩阵，所以线性方程组 Ax=0 有非零解，因而 r(A)n又因 A*是非零矩阵，所以 A 存在 n 一 1 阶非零子式，因而 r(A)=n-1 线性方程组 Ax=0 的基础解系中含有线性无关的解向量的个数等于 n 一 r(A)=1矩阵B 为非零矩阵，它的每一列均为 Ax=0 的解，因此 r(B)=1 故选(A)