数学模型与数学建模.ppt

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1、数学模型与数学建模,主要内容,1.什么是数学模型？1.1基本概念1.2特点和分类 2.如何数学建模？2.1方法和步骤2.2示例 3.为什么数学建模？ 3.1现实意义 3.2个人收获,2,1.什么是数学模型？,数学模型数学模型,3,自 然 离 不 开 数 学,1、圆形蜘蛛网是一个简单漂亮的数学创造,2、蜂巢,消耗最少的材料和最少的“工时”巴黎科学院院士、瑞士数学家克尼格,3、在矿物结构中，可以找到许多更为奇妙的空间图形,4,社 会 离 不 开 数 学,5,宇宙之大，粒子之微，火箭之速，华工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在，凡是有“量”和“形”的地方就少不了用数学，研究量（或形）的

2、关系、量（或形）的变化、量（或形）的变化关系、量（或形）的关系的变化等问题都离不开数学作为语言工具 。,著名数学家 华罗庚,任何应用问题，一旦建立起了数学的模型，就会立即显现出解决问题的清晰途径和通向胜利的一线曙光。,马克思教导我们：,一门学科只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步！,6,玩具、照片、飞机、火箭模型 , 实物模型,我们常见的模型,7,玩具、照片、飞机、火箭模型 , 实物模型,水箱中的舰艇、风洞中的飞机 , 物理模型,我们常见的模型,地图、电路图、分子结构图 , 符号模型,8,玩具、照片、飞机、火箭模型 , 实物模型,水箱中的舰艇、风洞中的飞机 , 物理模型,地图、电路图、分

3、子结构图 , 符号模型,模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、 抽象、提炼出来的原型的替代物，集中反映了原型中 人们需要的那一部分特征。,我们常见的模型,9,模型,物质模型（形象模型）,理想模型（抽象模型）,直观模型,物理模型,思维模型,符号模型,数学模型,模型的分类,10,“1”是最简单的数学模型。,那些我们所熟知的数学模型,设水池的总容量为1。两台抽水机同时工作所需要时间为,例 两台不同功率的抽水机向一个大水池中注水。如果第一台抽水机单独工作，4小时可以将水池注满；如果第二台抽水机单独工作，6小时可以将水池注满。现在由两台抽水机同时工作，需要多长时间注满水池？,（小时）,11,弧

4、度制是对角大小的另一种度量方式，弧度制的基本原理与平面相似形有关。,1,扇形,相似于扇形,因此，可以用扇形弧长与半径之比来确定圆心角。,比如，当扇形的弧长与半径之比为,时，对应的圆心角是直角；,时，对应的圆心角是平角（扇形刚好是半圆）.,当扇形的弧长与半径之比为,弧度制的主要特点是只用数就可以表示角的大小，并不需要在弧度值的后面再加量纲（名数）。 引入角的弧度制实际上是数学建模的过程，这种数学模型恰是关于几何图形的数学模型。,12,方程是表现等量关系的数学模型,那些我们所熟知的数学模型,例 一百匹马，一百块瓦，大马驮仨，小马驮俩，马仔俩驮一块。问大马、小马、马仔各几何。,解 设大马，小马，马仔

5、分别为,匹，应有,分别消去 和 可得,这是一个不完全方程组的求整数解问题丢番图问题。,13,“点”、“面”、“线”抽象化的数学模型,那些我们所熟知的数学模型,1726年，瑞士数学家欧拉（17011783）受聘于沙俄科学院，后来出任数学部主任。1736年秋天，欧拉收到来自东普鲁士首都哥尼斯堡（今属奥地利）的一封信，哥尼斯堡大学的学生在来信中向他请教的是下面一个问题。,布勒格尔河横穿市区，哥尼斯堡大学的校园就坐落于新旧河道交汇处。校园附近有一个小岛，七座小桥分别连通着河岸、小岛和半岛。傍晚前后，学生们三三两两地散步于小岛上与河岸边。,有人突发奇想，能不能在一个晚上走遍这七座桥而每座桥又都只通过一次

6、呢？,哥尼斯堡七桥问题,14,哥尼斯堡是条顿骑士在1380年建立的，作为日耳曼势力最东端的前哨达四百年之久。第二次世界大战以后，他被更名为加里宁格勒，成为前苏联最大的海军基地。今天，哥尼斯堡位于立陶宛与波兰之间，加里宁格勒现仍属俄罗斯。,15,作为一笔画过程，应该只有一个起点和一个终点，并且起点和终点应该是奇节点，而其它点都是通过点，并只能是偶节点,欧拉在草纸上勾画出示意图。在他看来，问题是否有可行的方案，与岛、半岛的大小无关，也与河岸上桥头的间隔及小桥的长度无关。因而不妨将半岛、两侧河岸和小岛都缩为一点，将各个小桥代之以线。,现在的问题是，能否用一只铅笔从“结点”A、B、C、D之中的某一点开

7、始，不抬笔地连续描完每一条线而不出现线路重复呢？,类似这样的问题，后来被统称为“一笔画”问题。,图中四个节点A、B、C、D都是奇节点。所以，这是一个不可行的一笔画问题。,16,什么是数学模型、数学建模,一般地说，数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。,数学模型,数学建模,建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等）,17,数学模型的分类,18,2.如何数学建模？,19,你碰到过的数学模型“航行问题”,用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：,答：船速每小时20千米/小时.

8、,甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时， 从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?,x =20 y =5,20,航行问题建立数学模型的基本步骤,作出必要的简化假设（船速、水速为常数）；,用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）；,用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；,求解得到数学解答（x=20, y=5）；,回答原问题（船速每小时20千米/小时）；,21,验证上述结果（用实际现象进行验证）。,几个数学建模示例,22,例1 椅子能在不平的地面上放稳吗,问题分析,模型假设,通常 三只脚着地,放稳 四只脚着地,四条腿一样长，椅脚与地面点接

9、触，四脚连线呈正方形;,地面高度连续变化，任何方向都不会出现间断，即地面可视为数学上的连续曲面;,地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。,23,椅子位置,利用正方形(椅脚连线)的对称性,用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置,四只脚着地,距离是 的函数,四个距离(四只脚),A,C 两脚与地面距离之和 f( ),B,D 两脚与地面距离之和 g( ),两个距离,椅脚与地面距离为零,正方形ABCD 绕O点旋转,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,模型构成,24,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,f() , g()是连续函数,对任意, f(), g()至少一个为0,

10、数学问题,已知： f() , g()是连续函数 ;对任意， f() g()=0 ;且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.,模型构成,地面为连续曲面,椅子在任意位置至少三只脚着地,25,模型求解,给出一种简单、粗糙的证明方法,将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)0. 令h()= f()g(), 则h(0)0和h(/2)0. 由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() g()=0, 所以f

11、(0) = g(0) = 0.,评注和思考,建模的关键 ,假设条件的本质与非本质,考察四脚呈长方形的椅子,和 f(), g()的确定,26,数学建模的一般步骤,模 型 准 备,了解实际背景,明确建模目的,搜集有关信息,掌握对象特征,形成一个 比较清晰 的问题,27,模 型 假 设,针对问题特点和建模目的,作出合理的、简化的假设,抓本质，在合理与简化之间作出折中,模 型 构 成,用数学的语言、符号描述问题内在规律,发挥想像力,使用类比法,尽量采用简单的数学工具,数学建模的一般步骤,28,模型 求解,各种数学方法、软件和计算机技术,如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析,模型 分析,

12、模型 检验,与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性,模型应用,数学建模的一般步骤,29,例2 商人们怎样安全过河,问题(智力游戏),随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货.,但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?,问题分析,多步决策过程,决策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员,要求在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河,30,模型构成,xk第k次渡河前此岸的商人数,yk第k次渡河前此岸的随从数,xk, yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk , yk)状态,S=(x , y) x=0, y=0,1

13、,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,S 允许状态集合,uk第k次渡船上的商人数,vk第k次渡船上的随从数,dk=(uk , vk)决策,D=(u , v) u+v=1, 2 允许决策集合,uk, vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk dk,+(-1)k,状态转移律,求dkD(k=1,2, n), 使skS按转移律 由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).,多步决策问题,31,模型求解,穷举法 编程上机,图解法,状态s=(x,y) 16个格点,允许决策D 移动1或2格;k奇,左下移; k偶,右上移.,s1,sn+1,d1, d11给出安全渡河方案,评注和思考,

14、规格化方法, 易于推广,考虑4名商人各带一随从的情况,允许状态S,S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,D=(u , v) u+v=1, 2,32,适当地设置状态和决策，确定状态转移律，建立多步决策模型，是有效解决此类问题的方法。,数学建模的全过程,现实对象的信息,数学模型,现实对象的解答,数学模型的解答,(归纳),(演绎),表述,求解,解释,验证,根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题,选择适当的数学方法求得数学模型的解答,将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象,用现实对象的信息检验得到的解答,实践,现实世界,数学世界,3

15、3,思考与练习,34,练习 我方巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发现了我方巡逻艇，并迅速下潜逃逸。设两艇间距离为60哩，潜水艇最大航速为30节而巡逻艇最大航速为60节，问巡逻艇应如何追赶潜水艇。,显然，这是一个对策问题，较为复杂。仅讨论以下简单情形：,敌潜艇发现自己目标已暴露后，立即下潜，并沿着直线方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。,（追赶方案的设计） 设巡逻艇在A处发现位于B处的潜水艇，取极坐标，以B为极点，BA为极轴，设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方程为r=r()，见图1。,3.为什么数学建模？,37,随着科学技术的迅速发展，数学模型这个词汇越来越多地出现在现代人的生产、工作和社会

16、活动中。例如：电气工程师必须建立一个用于控制生产过程的数学模型，通过它的精确设计和计算来实现有效的过程控制；气象工作者为得到准确的天气预报，需要依赖于根据气象站、气象卫星汇集的气压、雨量、风速等资料建立的数学模型；生理医学家通过构建药物浓度在人体内随时间和空间变化的数学模型，可以分析药物的疗效，有效地指导临床用药；城市规划者需要建立一个包括人口、经济、交通、环境等大系统的数学模型，为领导层对城市发展规划的决策提供科学依据。,38,数学建模的重要意义,电子计算机的出现及飞速发展；,数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。,数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视。,数学建

17、模,计算机技术,知识经济,39,2014A题 嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略 2014B题 创意平板折叠桌2013A题 车道被占用对城市道路通行能力的影响 2013B题 碎纸片的拼接复原2012A题 葡萄酒的评价 2012B题 太阳能小屋的设计 ,数学建模竞赛有哪些题目？,国赛,40,数学建模竞赛有哪些题目？,深圳杯夏令营,2015A题：医保欺诈行为的主动发现 2015B题： DNA序列的k-mer index 问题 2015C题：福田红树林自然保护区湿地生态系统模型框架的构建及应用实例研究 2015D题：航班延误问题,41,知识,性格,特长,思维,不同专业组合,性格互补，快慢结合,公式推导、编写程序、论文写作,发散与收敛性思维相结合,组队原则,分工合作,以来自实际问题或有明确的实际背景的问题作为竞赛题，在给定义的时间内，以数学和计算机作为工具，给出解决问题的方法和结果，并写出一篇研究论文作为答卷。,42,为什么要参加数学建模竞赛？,1、培养创新意识和创造能力 2、训练快速获取信息和资料的能力 3、锻炼快速了解和掌握新知识的技能 4、培养团队合作意识和团队合作精神 5、增强写作技能和排版技术 6、训练人的逻辑思维和开放性思考方式,工作,学习,研究,就业,43,一次参赛，终身受益！,Thank you!,44,