相似三角形常见模型(总结).doc

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1、 小初高中全科教育、中高考保分计划、晚托管理、 A level/AP 国际衔接 地址：庆春路 38-1 金龙商务 7 楼 电话： 0571-28939182 1 第一部分 相似三角形模型分析 一、 相似三角形判定的基本模型认识 （一） A 字型、反 A 字型（斜 A 字型） AB CD E（平行） CBADE（不平行） （二） 8 字型、反 8 字型 JOADBCABCD（蝴蝶型） （平行） （不平行） （三）母子型 AB CDCAD（四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景 小初高中全科教育、中高考保分计划、晚托管理、 A level/AP 国际衔

2、接 地址：庆春路 38-1 金龙商务 7 楼 电话： 0571-28939182 2 （五）一线三直角型： （六） 双垂型： CAD二、 相似三角形判定的变化模型 旋转型： 由 A字型旋转得到。 8 字型拓展 CB EDA共享性GAB CE F小初高中全科教育、中高考保分计划、晚托管理、 A level/AP 国际衔接 地址：庆春路 38-1 金龙商务 7 楼 电话： 0571-28939182 3 一线三等角的变形 一线三直角的变形 小初高中全科教育、中高考保分计划、晚托管理、 A level/AP 国际衔接 地址：庆春路 38-1 金龙商务 7 楼 电话： 0571-28939182 4

3、第二部分 相似三角形典型例题讲解 母子型相似三角形 例 1：如图，梯形 ABCD 中， AD BC，对角线 AC、 BD 交于点 O， BE CD 交 CA 延长线于 E 求证： OEOAOC 2 例 2：已知：如图， ABC 中， 点 E 在中线 AD 上 , ABCDEB 求证：（ 1） DADEDB 2 ； （ 2） DACDCE 例 3：已知：如图，等腰 ABC 中， AB AC， AD BC 于 D， CG AB， BG 分别交 AD、 AC 于 E、 F 求证： EGEFBE 2 相关练习： 1、如图，已知 AD 为 ABC 的角平分线， EF 为 AD 的垂直平分线求证： FCF

4、BFD 2 A C D E B 小初高中全科教育、中高考保分计划、晚托管理、 A level/AP 国际衔接 地址：庆春路 38-1 金龙商务 7 楼 电话： 0571-28939182 5 2、已知： AD是 Rt ABC中 A的平分线， C=90， EF是AD 的垂直平分线交 AD 于 M， EF、 BC的延长线交于一点 N。 求证： (1) AME NMD; (2)ND2 =NC NB 3、已知：如图，在 ABC中， ACB=90， CD AB于 D， E是 AC上一点， CF BE于 F。 求证： EB DF=AE DB 4.在 ABC 中 ， AB=AC， 高 AD与 BE交于 H，

5、 EFBC ， 垂足为 F， 延长 AD 到 G，使 DG=EF， M是 AH的中点。 求证： GBM 90 5（本题满分 14 分 ，第（ 1）小题满分 4分，第（ 2）、（ 3）小题满分各 5分 ） 已知：如图，在 Rt ABC 中， C=90， BC=2， AC=4， P 是 斜边 AB 上的一个动点， PD AB，交边 AC于点 D（点 D 与点 A、 C都不重合）， E 是射线 DC上一点，且 EPD= A设A、 P两点的距离为 x， BEP 的面积为 y （ 1）求证： AE=2PE； （ 2）求 y关于 x的函数解析式，并写出它的定义域； （ 3）当 BEP与 ABC相似时，求

6、BEP的面积 A C B P D E （第 25 题图） GMFEHDCBA小初高中全科教育、中高考保分计划、晚托管理、 A level/AP 国际衔接 地址：庆春路 38-1 金龙商务 7 楼 电话： 0571-28939182 6 双垂型 1、 如图，在 ABC中， A=60， BD、 CE 分别是 AC、 AB上的高 求证：（ 1） ABD ACE；（ 2） ADE ABC； (3)BC=2ED 2、如图，已知锐角 ABC， AD、 CE 分别是 BC、 AB 边上的高， ABC 和 BDE 的面积分别是 27 和 3，DE=6 2 ，求：点 B 到直线 AC 的距离。 EDAB C共享

7、型相似三角形 1、 ABC 是等边三角形 ,D、 B、 C、 E 在一条直线上 , DAE= 120 ，已知 BD=1， CE=3， ,求等边三角形的边长 . AB CD E2、已 知：如图，在 Rt ABC 中， AB=AC， DAE=45 DEAB C小初高中全科教育、中高考保分计划、晚托管理、 A level/AP 国际衔接 地址：庆春路 38-1 金龙商务 7 楼 电话： 0571-28939182 7 ED CAB求证：（ 1） ABE ACD； （ 2） CDBEBC 22 一线三等角型相似三角形 例 1：如图，等边 ABC 中，边长为 6， D 是 BC 上动点， EDF=60

8、（ 1）求证 ： BDE CFD （ 2）当 BD=1， FC=3 时，求 BE 例 2： （ 1） 在 ABC 中， 5 ACAB ， 8BC ， 点 P 、 Q 分别在射线 CB 、 AC 上（ 点 P 不与点 C 、点 B 重合），且保持 ABCAPQ . 若点 P 在线段 CB 上（如图），且 6BP ，求线段 CQ 的长； 若 xBP ， yCQ ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域； （ 2） 正方形 ABCD 的边长为 5 （如下图）， 点 P 、 Q 分别在 直线 CB 、 DC 上（ 点 P 不与点 C 、点 B 重合），且保持 90APQ .当 1CQ 时

9、，求出线段 BP 的长 . A B C 备用图 A B C D C A D B E F A B C D A B C P Q A B C 备用图 A B C D 小初高中全科教育、中高考保分计划、晚托管理、 A level/AP 国际衔接 地址：庆春路 38-1 金龙商务 7 楼 电话： 0571-28939182 8 例 3：已知在梯形 ABCD 中， AD BC， AD BC，且 AD 5， AB DC 2 （ 1）如 图 8， P 为 AD 上的一点，满足 BPC A 求证； ABP DPC 求 AP 的长 （ 2）如果点 P 在 AD 边上移动（点 P 与点 A、 D 不重合），且满足

10、BPE A， PE 交直线 BC 于点 E，同时交直线 DC 于点 Q，那么 当点 Q 在线段 DC 的延长线上时，设 AP x， CQ y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域； 当 CE 1 时，写出 AP 的长 CBA DCBA D例 4： 如图，在梯形 ABCD 中， AD BC ， 6A B C D B C ， 3AD 点 M 为边 BC 的中点，以M 为顶点作 EMF B ，射线 ME 交腰 AB 于点 E ，射线 MF 交腰 CD 于点 F ，联结 EF （ 1）求证： MEF BEM ； （ 2）若 BEM 是以 BM 为腰的等腰三角形，求 EF 的长； （ 3）

11、若 EF CD ，求 BE 的长 相关练习： 1、 如图，在 ABC 中， 8 ACAB ， 10BC ， D 是 BC 边上的一个动点，点 E 在 AC 边上，且C D A B P 小初高中全科教育、中高考保分计划、晚托管理、 A level/AP 国际衔接 地址：庆春路 38-1 金龙商务 7 楼 电话： 0571-28939182 9 CADE (1) 求证： ABD DCE； (2) 如果 xBD ， yAE ，求 y 与 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的定义域； (3) 当点 D 是 BC 的中点时，试说明 ADE 是什么三角形，并说明理由 2、如图， 已知 在 ABC 中，

12、AB=AC=6， BC=5， D 是 AB 上一点， BD=2， E 是 BC 上一动点，联结 DE，并作 DEF B ， 射线 EF 交线段 AC 于 F （ 1）求证： DBE ECF； （ 2）当 F 是线段 AC 中点时，求线段 BE 的长； （ 3）联结 DF，如果 DEF 与 DBE 相似，求 FC 的长 3、已知在梯形 ABCD 中， AD BC， AD BC，且 BC =6， AB=DC=4，点 E 是 AB 的中点 （ 1）如图， P 为 BC 上的一点，且 BP=2求证： BEP CPD； （ 2）如果点 P 在 BC 边上移动（点 P 与点 B、 C 不重合），且满足 E

13、PF= C， PF 交直线 CD 于点 F，同时交直线 AD 于点 M，那么 当点 F 在线段 CD 的延长线上时，设 BP=x ， DF=y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域； 当BEPDMF SS 49 时，求 BP 的长 4、如图，已知边长为 3 的等边 ABC ，点 F 在边 BC 上， 1CF ，点 E 是射线 BA 上一动点，以线段 EFFBACDEE D C B A P （第 25 题图） E D C B A （备用图） A B C D E 小初高中全科教育、中高考保分计划、晚托管理、 A level/AP 国际衔接 地址：庆春路 38-1 金龙商务 7 楼

14、电话： 0571-28939182 10 为边向右侧作等边 EFG ，直线 ,EG FG 交直线 AC 于点 ,MN， （ 1）写出图中与 BEF 相似的三角形； （ 2）证明其中一对三角形相似； （ 3）设 ,B E x M N y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （ 4）若 1AE ，试求 GMN 的面积 一线三直角型相似三角形 例 1、已知矩形 ABCD 中， CD=2， AD=3，点 P 是 AD 上的 一个动点，且和点 A,D 不重合，过点 P 作 CPPE ，交边 AB 于点 E,设 yAExPD , ，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x

15、的取值范围。 例 2、 在 ABC 中， OBCACC ,3,4,90 o 是 AB 上的一点，且52ABAO，点 P 是 AC 上的一个动点， OPPQ 交线段 BC 于点 Q，（不与点 B,C 重合），设 yCQxAP , ，试求 y 关于 x 的函数关系，并写出定义域。 备用图 QCB AOPEB CA DP小初高中全科教育、中高考保分计划、晚托管理、 A level/AP 国际衔接 地址：庆春路 38-1 金龙商务 7 楼 电话： 0571-28939182 11 FA BCDEFA BCDE【 练习 1】 在直角 ABC 中，43t a n,5,90 BABC o，点 D 是 BC

16、的中点，点 E 是 AB 边上的动点， DEDF 交射线 AC 于点 F （ 1）、求 AC 和 BC 的长 （ 2）、当 BCEF/ 时，求 BE 的长。 （ 3）、连结 EF,当 DEF 和 ABC 相似时，求 BE 的长。 【 练习 2】 在直角三角形 ABC 中， DBCABC ,90 o 是 AB 边上的一点， E 是在 AC 边上的一个动点，（与 A,C不重合）， DFDEDF , 与射线 BC 相交于点 F. (1)、当点 D 是边 AB 的中点时，求证： DFDE (2)、当 mDBAD，求DFDE的值 （ 3）、当21,6 DBADBCAC，设 yBFxAE , ,求 y关于

17、 x的函数关系式，并写出定义域 【 练习 4】 如图，在 ABC 中， 90C ， 6AC ， 3tan4B ， D 是 BC 边的中点， E 为 AB 边上的一个动点，作 90DEF ， EF 交射线 BC 于点 F 设 BE x ， BED 的面积为 y （ 1）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （ 2）如果 以 B 、 E 、 F 为顶点的三角形 与 BED 相似， 求 BED 的面积 . 【 练习 5 】、FDCBAEFDCBAE小初高中全科教育、中高考保分计划、晚托管理、 A level/AP 国际衔接 地址：庆春路 38-1 金龙商务 7 楼 电话： 0571-28939182 12 Q P D C B A Q P D C B A （ 2015 年黄浦一模 25） 如图 ,在梯形 ABCD 中， CDAB , 34t a n,4,2 CADAB， PD A BA D C ,90 0 是腰 BC 上一个动点 (不含点 B 、 C ),作 APPQ 交 CD 于点 Q .(图 1) (1)求 BC 的长与梯形 ABCD 的面积； (2)当 DQPQ 时 ,求 BP 的长； (图 2) (3)设 yCQxBP , ,试求 y 关于 x 的函数解析式 ,并写出定义域 . （图 1） （图 2）