外接球与内切球模型总结.pdf

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1、外接球与内切球 （理） 1.掌握球体的表面积与体积的计算公式，会利用相应公式求解球体的表面积与体积的计算； 2.掌握圆柱体与圆锥的外接球，并学会在圆柱和圆锥体的外接球延伸到柱体以及锥体的外接球，理解与掌握多面体外接球的计算原理； 3.掌握 多面体的内切球的计算原理，学会利用相应公式求解多面体内切球的相关问题 . 1.外接球 （ 1）侧棱垂直于底面的几何体的外接球 . 圆柱的外接球： 如下图所示，在圆柱 1OO 中，设圆柱的底面半径为 r ，圆柱的高为 h ， AB 为圆柱底面圆的一条直径， AC 是一条母线，则外接球的球心就是线段 AB 的中点，设球的半径为 R ，则 22222r h R ；

2、 直棱柱的外接球： 可以将棱柱的外接圆柱 1OO 作出来，则直棱柱的外接球可转化为外接圆柱的外接球， 设 r 为底面外接圆的半径，直棱柱的高为 h ，外接球的半径为 R ，则 2 22rh 22R ， 若直棱柱为直三棱柱，其底面外接圆的直径可以通过正弦定理进行求解； 直棱锥的外接球：如下图所示，可将直棱锥的外接直棱柱作出来，再可将其外接圆柱 作 出来， 设 r 为底面外接圆的半径，直棱柱的高为 h ，外接球的半径为 R ，则 22222r h R ； CBAO 1OO1O 有一个侧面垂直于底面的棱锥的外接球： 如下图所示， 三棱锥 P ABC 中，侧面 PAC底面 ABC ，可在平面 PAC

3、内作 AS 垂直于 AC 交 PAC 的外接圆于点 S ，则三棱锥 P ABC 的外接球与三棱锥 S ABC 的外接球为同一个球，设 PAC 的外接球的半径为r ，则 222SA r AC，设 ABC 的外接圆半径为 r ，外接球的半径为 R ，则 2 2 222r SA R； 长方体的外接球：设长方体的长、宽、高分别为 x 、 y 、 z ，则长方体的体对角线为长方体外接球的一条直径，设外接球的半径为 2 2 2 22R x y z ； 对棱相等的三棱锥： 如下图所示，在三棱锥 A BCD 中， AB CD ， AC BD ， AD BC ，可作三棱锥 A BCD 的外接长方体，设长方体的长

4、宽高分别为 x 、 y 、 z ，外接球的半径为 R ，则 2 2 2AB x z ， 2 2 2AC x y， 2 2 2AD y z，则 2 2 2 22 R x y z O1OSCBAPzyxDCBAzyx2 2 22AB AC AD ，也就是说，对棱相等的三棱锥的外接球的直径的平方等于该三棱锥任意一个点出发的三条棱的平方和的一半 ； 特殊三棱锥的外接球： 三棱锥 A BCD 中， 90BAC BDC ，则棱 BC 即为其外接球的直径，棱 BC 的中点为外接球的球心 . （ 2）侧棱相等的锥体的外接球 圆锥的外接球： 半圆 O中， AD 为半圆 O的直径， B 为半圆 O上异于点 A 、

5、 D 的一点， 将半圆 O绕着直径 AD 旋转一周，得到 两个圆锥拼接的几何体内接于球 O，设球 O的半径为 R ， 在直角 ABD 中，由射影定理可得 2ABAD AE ，在圆锥 AE 中，对应的有： 2R 2母 线高 ，若圆锥的高未知，圆锥底面圆的半径为 r ，则圆锥的高 22r母 线 求得； 侧棱相等的棱锥的外接球： 对于侧棱相等的棱锥，可作其外接圆锥，则此棱锥的外接球和 其外接圆锥的外接球是同一个球，设外接球的半径为 R ，棱锥的侧棱长为 l ，高为 h ，底面的外接圆的半径为 r ，则 22h l r， 22222llR h lr . ODCBAEDCBAO（ 3）一般多面体的外接球

6、：对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为 ,xyz ，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长 . 2.多面体的内切球： 对于多面体的外接球，设其内切球的球心为 O， 连接多面体各顶点与球心的连线，将多面体分割为若干个棱锥，多面体各个面的面积分别为 1S 、 2S 、 3S 、 、nS ， 内切球的半径为 r ，球心 O到各个面的距离均为 r ，设多面体的体积为 V ，多面体的表面积为 S ，则 1 2 3 1 2 31 1 1 1 1 13 3 3 3 3 3nnV rS rS rS rS r S S S S rS ，于是可得 3Vr S ， 对于柱体（圆柱或直棱柱）的内切球，还应该分析出柱体的高等于内切球的直径 . 附注：设球的半径为 R ，其表面积为 24SR ，体积为 343VR . O