第二节 二重积分的计算.ppt
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1、第二节 二重积分的计算,一. 直角坐标系下二重积分的计算,二. 极坐标系下二重积分的计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,教学目标,掌握在直角坐标系下 x - 型区域和 y - 型区域 的二重积分计算方法. 2. 利用极坐标计算二重积分. 3. 掌握二重积分交换积分次序的方法. *4. 二重积分的换元法.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,重积分的计算方法.,正如利用定积分的定义计算定积分非常困难一样, 利用二重,计算二重积分难度更大, 因此需要寻求一些更为有效的计算二,二次积分 (或累次积分), 即计算两次定积分, 从而得出计算,二重积分的实用方法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
2、本节将从二重积分的几何意义出发, 讨论如把二重积分化为,一. 直角坐标系下二重积分的计算,依据积分区域形状的不同, 我们给出如下的定义.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的闭区域为X-型区域, 它是由直线,称形如,及曲线,所围成, 如图8.2.1.,称形如,的闭区域为 Y- 型区域, 它是由直线,及曲线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所围成, 如图8.2.2.,由二重积分的定义知: 若(x, y)在 D 上可积, 则其和式极限的存在与区域 D 的分法无关, 也与小 区域,的形状无关.,故在直角坐标系下, 我们常采用平,行于坐标轴的直线网格来划分区域,D(如图8.2.3), 那么此时除
3、了包含边,界点的一些小闭区域外,其余的小闭,机动 目录 上页 下页 返回 结束,x,y,O,图8.2.3,分别为,从而在直角坐标系下,二重积分也可以记作,下面利用二重积分的几何意义来寻求二重积分的计算方法.,设曲顶柱体的曲顶是 z =f (x, y) (0),如图8.2.4, 底是区域 D, 且D是,由 xoy 平面上由直线,与曲线,所围成.,为了确定曲顶柱体的体积V, 在 x 轴上任,取一点 x,过该点作一个垂直于 x 轴的平面去截曲顶柱,体, 其截面面积为,如图8.2.4所示,图8.2.4,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由定积分可知: 平行截面面积已知的立体的体积为定积分,而对于区间
4、a, b上每一个固定的 x,就是一个曲边梯形的面积,如图8.2.5;,此曲边梯形的曲边是由方程 z= f (x, y)确定,的关于 y 的一元函数. 而底边是沿着 y 轴,的线段.,则由曲边梯形的面积公式得,从而,于是得到二重积分的计算公式,上式右端的积分称为二次积分或称为先对 y后 x的二次积分.,常简写为,如果去掉 f(x, y)在D上是非负函数这个条件,公式(8.2.1)依,然成立,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(8.2.1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,注1 当积分区域 D 为 X-型区域时, 把二重积分化为二次定,积分时, 要明确以下两点:,(1) 积分次序: 先把 x
5、 看成常数, 把 (x, y)只看成 y的函数来,计算定积分,积分的结果是 x 的函数; 然后再对,此函数在a,b上对 x 作定积分.,(2) 积分上下限: 将二重积分化为二次积分,关键是确定积分,限. 一般先画出区域D的图形, 用“投影穿线法”确定积分限.,如图8.2.1, 所谓“投影穿线法”, 即 先投影确定外积分限:,将积分区域向 x 轴投影, 区间若为 a, b则外层上、下限分别为 b, a;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,再穿线确定内积分限: 过 a, b内任意一点作 x 轴的垂线,它们就是内层上、下限.,与与积分区域的边界相交, 由上至下交点分别为,类似地,当积分区域 D为Y
6、-型区域时, 则二重积分化为二次积分的计算公式为,即把二重积分化为先对 x 后对 y 的二次积分.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注 由二重积分的定义知, 二重积分取 决于被积函数 (x, y)和积分区域 D.而二 元函数 (x, y)的结构多样,积分区域 D的 形状各异, 因此将二重积分化为,二次积分时既要虑积分区域 D,的形状, 又要考虑被积函数的特点.,(8.2.2),例1,围成.,解 如图8.2.6,积分区域 D 既是 X 型又是Y 型.,若将 D看成X型, 先对 y 后对 x 积分,则积分区域为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则有,若将 D看成Y 型, 先对 x 后对 y
7、 积分, 有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,可见, 将积分区域D看成Y型区域时积分过程要复杂些.,如果当积分区域D是一矩形, 即,且函数(x, y)在 D上连续, 则式(8.2.1)与式(8.2.2)变为,例如,(8.2.3),机动 目录 上页 下页 返回 结束,解 如图8.2.8所示, 将D看成X 型区域,先对 y 再对 x 积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,图8.2.8,则积分区域 D 为,积不出来, 故不能先对先对 y积分, 须将区域 D 看成,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,Y -型区域, 先对 x 积分后对 y 积分, 从而积分区域为,机动 目录 上页 下页
8、 返回 结束,注1 本例中的积分区域 D 既是X -型区域, 又是Y- 型区域,但是只能选择先对 x 积分后对 y的积分次序.,由例1 及例2可知:,积分次序的选择不仅关系到计算繁简的问题, 还涉及能,否计算出结果的问题,注2 当被积函数,均非负,在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .,由于,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注3 (1) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 ,为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.,则有,(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域 ,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注4凡遇,等不能用初等函数表示原函数的积分
9、,,均须更换积分次序.但在更换积分次序时,必须先,画出积分区域D 的图形,再根据积分次序的要求,,重新写出D 的边界方程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,区域, 如图8.2.9所示. 其中,交换积分次序后,区域 D应视为Y -型区域, 即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,图8.2.10,如图8.2.10所示. 其中,交换积分次序后, 将 D 看成X- 型区域, 即,则,注 选择积分次序的原则:,尽可能将区域 D少分块以简化计算过程;,第二次积分的计算,下限表达式要简单且易求原函数,第一次积分的上、,同时第一次积分结果便于,机动 目录 上页 下页
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