电磁场与电磁波答案(第四版)谢处方.doc

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1、 第 一章习题解答 1.1 给定三个矢量 A 、 B 和 C 如下： 23x y z A e e e4yz B e e 52xzC e e 求：（ 1）Aa；（ 2） AB；（ 3） AB；（ 4）AB；（ 5） A 在 B 上的分量；（ 6） AC； （ 7） ()A B C 和 ()A B C ；（ 8） ()A B C 和 ()A B C 。 解 （ 1）2 2 223 1 2 31 4 1 4 1 41 2 ( 3 )x y zA x y z e e eAa e e eA（ 2） AB ( 2 3 ) ( 4 )x y z y z e e e e e6 4 5 3x y z e e e

2、（ 3） AB ( 2 3 )x y ze e e ( 4 )yz ee 11 （ 4）由 cosAB 1 1 1 11 4 1 7 2 3 8 ABAB，得 1cosAB 11( ) 1 3 5 . 5238（ 5） A 在 B 上的分量 BA A cosAB 1117ABB（ 6） AC 1 2 35 0 2x y ze e e4 1 3 1 0x y z e e e （ 7）由于 BC 0 4 15 0 2x y ze e e8 5 2 0x y ze e e AB 1 2 30 4 1x y ze e e1 0 1 4x y z e e e 所以 ()A B C ( 2 3 )x y

3、ze e e ( 8 5 2 0 ) 4 2x y z e e e()A B C ( 1 0 1 4 )x y z e e e( 5 2 ) 4 2xz ee（ 8） () A B C 1 0 1 45 0 2x y z e e e2 4 0 5x y ze e e () A B C 1 2 38 5 2 0x y ze e e5 5 4 4 1 1x y ze e e 1.2 三角形的三个顶点为1(0,1, 2)P 、2 (4,1, 3)P 和3(6,2,5)P。 （ 1）判断1 2 3PPP是否为一直角三角形； （ 2）求三角形的面积。 解 （ 1）三个顶点1(0,1, 2)P 、2 (4

4、,1, 3)P 和3(6,2,5)P的位置矢量分别为 1 2yzr e e，2 43x y z r e e e，3 6 2 5x y z r e e e则 1 2 2 1 4xz R r r e e， 2 3 3 2 28x y z R r r e e e， 3 1 1 3 67x y z R r r e e e由此可见 1 2 2 3 ( 4 ) ( 2 8 ) 0x z x y z R R e e e e e故1 2 3PPP为一直角三角形。 （ 2）三角形的面积 1 2 2 3 1 2 2 31 1 1 1 7 6 9 1 7 . 1 32 2 2S R R R R1.3 求 ( 3,1

5、, 4)P 点到 (2, 2,3)P 点的距离矢量 R 及 R 的方向。 解 34P x y z r e e e， 2 2 3P x y z r e e e， 则 53P P P P x y z R r r e e e且PPR与 x 、 y 、 z 轴的夹角分别为 11 5c o s ( ) c o s ( ) 3 2 . 3 135x P PxPP eRR11 3c o s ( ) c o s ( ) 1 2 0 . 4 735y P PyPP eRR11 1c o s ( ) c o s ( ) 9 9 . 7 335z P PzPP eRR1.4 给定两矢量 2 3 4x y z A e

6、 e e和 4 5 6x y z B e e e，求它们之间的夹角和 A 在B 上的分量。 解 A 与 B 之间的夹角为 11 31c o s ( ) c o s ( ) 1 3 12 9 7 7 AB ABABA 在 B 上的分量为 31 3 . 5 3 277BA BAB1.5 给定两矢量 2 3 4x y z A e e e和 64x y z B e e e，求 AB在x y z C e e e上的分量。 解 AB 2 3 46 4 1x y ze e e1 3 2 2 1 0x y z e e e 所以 AB在 C 上的分量为 ()CAB ( ) 2 5 1 4 . 4 33 A B

7、CC1.6 证明：如果 ABAC 和 AB AC，则 BC； 解 由 AB AC，则有 ( ) ( ) A A B A A C，即 ( ) ( ) ( ) ( )A B A A A B A C A A A C 由于 ABAC ，于是得到 ( ) ( )A A B A A C 故 BC 1.7 如果 给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设 A 为 一已知矢量， p AX 而 P A X ， p 和 P 已知，试求 X 。 解 由 P A X ，有 ( ) ( ) ( ) ( )p A P A A X A X A A A X A A A X 故得 p A A PX

8、 AA1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由 2(4, ,3)3定出，求该点 在：（ 1）直角坐标中的坐标；（ 2）球坐标中的坐标。 解 （ 1）在直角坐标系中 4 c o s ( 2 3 ) 2x 、 4 s i n ( 2 3 ) 2 3y 、 3z 故 该点的直角坐标为 ( 2, 2 3, 3) 。 （ 2）在球坐标系中 224 3 5r 、1t a n ( 4 3 ) 5 3 . 1 、 2 3 1 2 0 故 该点的球坐标为 (5, 5 3 .1 ,1 2 0 ) 1.9 用球坐标表示的场225r rEe ， （ 1）求在直角坐标中点 ( 3, 4, 5)处的 E 和xE； （ 2）求在

9、直角坐标中点 ( 3, 4, 5)处 E 与矢量 22x y z B e e e构成的夹角。 解 （ 1） 在直角坐标中点 ( 3, 4, 5)处，2 2 2 2( 3 ) 4 ( 5 ) 5 0r ，故 22 5 12r rEe1 3 3 2c o s2 2 052x x r xE e E E （ 2）在直角坐标中点 ( 3, 4, 5)处， 3 4 5x y z r e e e，所以 233 4 525 25102y zrr e e erE故 E 与 B 构成的夹角为 11 1 9 ( 1 0 2 )c o s ( ) c o s ( ) 1 5 3 . 632 EB EBEB1.10 球

10、坐标中两个点1 1 1( , , )r 和2 2 2( , , )r 定出两个位置矢量1R和2R。证明1R和2R间夹角的余弦为 1 2 1 2 1 2c o s c o s c o s s i n s i n c o s ( ) 解 由 1 1 1 1 1 1 1 1 1s i n c o s s i n s i n c o sx y zr r r R e e e2 2 2 2 2 2 2 2 2s i n c o s s i n s i n c o sx y zr r r R e e e得到 1212c o s RRRR1 1 2 2 1 1 2 2 1 2s i n c o s s i n

11、 c o s s i n s i n s i n s i n c o s c o s 1 2 1 2 1 1 2 1 2s i n s i n ( c o s c o s s i n s i n ) c o s c o s 1 2 1 2 1 2s i n s i n c o s ( ) c o s c o s 1.11 一球面 S 的半径为 5 ，球心在原点上，计算： ( 3 s in ) drS eS的值。 解 ( 3 s i n ) d ( 3 s i n ) dr r rSS Se S e e2 2200d 3 s i n 5 s i n d 7 5 1.12 在由 5r 、 0z 和

12、 4z 围成的圆柱形区域，对矢量2 2rzA e e验证散度定理。 解 在 圆柱坐标系中 21 ( ) ( 2 ) 3 2r r z rr r z A所以 4 2 50 0 0d d d ( 3 2 ) d 1 2 0 0z r r r A又 2d ( 2 ) ( d d d )r z r r z zSS r z S S S A S e e e e e4 2 5 220 0 0 05 5 d d 2 4 d d 1 2 0 0z r r 故有 d 1 2 0 0 A dS AS1.13 求（ 1）矢量 2 2 2 2 2 324x y zx x y x y z A e e e的散度；（ 2）求

13、 A 对中心在原点的一个单位立方体的积分；（ 3）求 A 对此立方体表面的积分，验证散度定理。 解 （ 1） 2 2 2 2 2 32 2 2 2( ) ( ) ( 2 4 ) 2 2 7 2x x y x y z x x y x y zx y z A（ 2） A 对中心在原点的一个单位立方体的积分为 1 2 1 2 1 22 2 2 21 2 1 2 1 21d ( 2 2 7 2 ) d d d24x x y x y z x y z A（ 3） A 对此立方体表面的积分 1 2 1 2 1 2 1 2221 2 1 2 1 2 1 211d ( ) d d ( ) d d22S y z y

14、 z AS1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2112 ( ) d d 2 ( ) d d22x x z x x z 1 2 1 2 1 2 1 22 2 3 2 2 31 2 1 2 1 2 1 21 1 12 4 ( ) d d 2 4 ( ) d d2 2 2 4x y x y x y x y 故有 1d24 A dS AS1.14 计算矢量 r 对一个球心在原点、半径为 a 的球表面的积分，并求 r 对球体积的积分。 解 22300d d d s i n d 4rSSS a a a r S r e又在球坐标系中，221 ( ) 3rrrr r，所以

15、2 230 0 0d 3 s i n d d d 4a r r a r1.15 求矢量 22x y zx x y z A e e e沿 xy 平面上的一个边长为 2 的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与 x 轴和 y 轴相重合。再求 A 对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。 解 2 2 2 220 0 0 0d d d 2 d 0 d 8Cx x x x y y Al又 2222x y zxzy z xx y zx x y z e e eA e e 所以 2200d ( 2 2 ) d d 8x z zSy z x x y A S e e e故有 d8C Al dS AS 1.1

16、6 求矢量 2xyx xyA e e沿圆周2 2 2x y a的线积分，再计算 A 对此圆面积的积分。 解 2d d dCCx x x y y Al 2 42 4 2 20( c o s s i n c o s s i n ) d 4aaa d ( ) dy xzzSSA A Sxy A S e e2 42 2 200d s i n d d 4aSay S r r r 1.17 证明：（ 1） 3R ；（ 2） R0；（ 3） ()A R A 。其中x y zx y z R e e e，A 为一常矢量。 解 （ 1）3x y zx y z R（ 2） x y zx y zx y y e e e

17、R0 （ 3）设x x y y z zA A A A e e e，则x y zA x A y A z AR，故 ( ) ( ) ( )x x y z y x y zA x A y A z A x A y A zxy A R e e()z x y zA x A y A zz e x x y y z zA A A e e e A1.18 一径向矢量场 ()r frFe表示，如果 0F ，那么函数 ()fr会有什么特点呢？ 解 在圆柱坐标系中，由 1d ( ) 0d r f rrr F可得到 ()Cfrr C为任意常数。 在球坐标系中，由 221d ( ) 0d r f rrr F可得到 2()Cf

18、rr 1.19 给定矢量函数xyyxE e e，试求从点1(2,1, 1)P 到点2(8,2, 1)P 的线积分dEl：（ 1）沿抛物线 2xy ；（ 2）沿连接该两点的直线。这个 E 是保守场吗？ 解 （ 1） d d dxyCC E x E y El ddC y x x y2 221d ( 2 ) 2 dy y y y 2 216 d 14yy （ 2） 连接点 1(2,1, 1)P 到点 2 (8, 2, 1)P 直线方程为 2812xxyy 即 6 4 0xy 故 21d d d d ( 6 4 ) ( 6 4 ) dxyCCE x E y y y y y El 21(1 2 4 )

19、d 1 4yy 由此可见积分与路径无关，故是保守场。 1.20 求标量函数2x yz 的梯度及 在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量3 4 55 0 5 0 5 0x y ze e e定出；求 (2,3,1) 点的方向导数值。 解 2 2 2( ) ( ) ( )x y zx y z x y z x y zx y z e e e222x y zx y z x z x ye e e故沿方向 3 4 55 0 5 0 5 0l x y z e e e e的方向导数为 226 4 55 0 5 0 5 0lx y z x z x yl e点 (2,3,1) 处沿le的方向导数值为 3 6 1

20、6 6 0 1 1 25 0 5 0 5 0 5 0l 1.21 试 采 用 与 推 导 直 角 坐 标中r r z o x y r z z 题 1.21 图 yx zAA Ax y z A相似的方法推导圆柱坐标下的公式 1 () zrA ArAr r r z A。 解 在 圆柱坐标中，取小体积元如题 1.21 图所示。矢量场 A 沿re方向穿出该六面体的表面的通量为 ( ) d d d dz z z zr r r r r rzzA r r r A r r ( ) ( , , ) ( , , ) rrr r A r r z r A r z z ( ) ( )1rrr A r Arzr r r

21、同理 d d d dr r z z r r z zr z r zA r z A r z ( , , ) ( , , ) A r z A r z r z AArz r d d d dr r r rz z z z z zrrA r r A r r ( , , ) ( , , ) zzA r z z A r z r r z zzAAr r z 因此，矢量场 A 穿出该六面体的表面的通量为 ()1rzrzAr A A r r r z 故得到圆柱坐标下的散度表达式 0()1l i m rzAr A Ar r r z A1.22 方程 2 2 22 2 2x y zu a b c给出一椭球族。求椭球表面上

22、任意点的单位法向矢量。 解 由于 2 2 22 2 2x y zx y zu a b c e e e 2 2 22 2 22 ( ) ( ) ( )x y zu abc 故椭球表面上任意点的单位法向矢量为 2 2 22 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )x y zu x y z x y za b c a b cu n e e e1.23 现有三个矢量 A 、 B 、 C 为 s i n c o s c o s c o s s i nr A e e e22s i n c o s 2 s i nrzz z r z B e e e22( 3 2 ) 2x y zy x x z C e

23、e e（ 1） 哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？ （ 2）求出这些矢量的源分布。 解 （ 1） 在球坐标系中 221 1 1( ) ( s i n )s i n s i nr Ar A Ar r r r A221 1 1( s i n c o s ) ( s i n c o s c o s ) ( s i n )s i n s i nrr r r r 2 c o s 2 s i n c o s c o ss i n c o s 0s i n s i nr r r r 2s i n1s i ns i nrrrrrrA r A r A e e eA 2s

24、 i n1 0s i ns i n c o s c o s c o s s i n s i nr rrrrrr e e e故矢量 A 既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示； 在圆柱坐标系中 11() zrB BrBr r r z B=2211( s i n ) ( c o s ) ( 2 s i n )r z z r zr r r z 22s i n s i n 2 s i n 2 s i nzz rrrr 2211 0s i n c o s 2 s i nr z r zrzr r z r r zB r B B z r z r z e e e e e eB 故矢量 B

25、 可以由一个标量函数的梯度表示； 直角在 坐标系中 yx zCC Cx y z C=22( 3 2 ) ( ) ( 2 ) 0y x x zx y z 22( 2 6 )3 2 2x y zz xyx y zy x x z e e eCe 故矢量 C 可以由一个矢量函数的旋度表示。 （ 2）这些矢量的源分布为 0A ， 0 A ； 2 sinr B= ， 0 B ； 0C ， ( 2 6 )z xy Ce 1.24 利用直角坐标，证明 ()f f f A A A 解 在直角坐标中 ( ) ( )yx z x y zAA A f f ff f f A A Ax y z x y z AA( ) (

26、 ) ( )yx zx y zAA Af f ff A f A f Ax x y y z z ( ) ( ) ( ) ( )x y zf A f A f A fx y z A1.25 证明 () A H H A A H 解 根据 算子的微分运算性质，有 ( ) ( ) ( )AH A H A H A H 式中A表示只对矢量 A 作微分运算，H表示只对矢量 H 作微分运算。 由 ( ) ( ) a b c c a b，可得 ( ) ( ) ( )AA A H H A H A 同理 ( ) ( ) ( )HH A H A H A H故有 () A H H A A H 1.26 利用直角坐标，证明

27、()f f f G G G 解 在直角坐标中 ( ) ( ) ( ) yyxxzzx y zGGGGGGff y z z x x y G e e ef G ( ) ( ) ( ) x z y y x z z y xf f f f f fG G G G G Gy z z x x y eee 所以 ff GG ( ) ( ) yzx z yGGffG f G fy y z z e) ( )x zy x zG Gf Gfz z x x ( ) ( ) y xz y xG GffG f G fx x y y e()()yzxfGfGyz e() ()x zy fG fGzx e () ()y xzfG

28、 fGxy e()fG 1.27 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明 ( ) 0u 及( ) 0 A ，试证明之。 解 （ 1）对于任意闭合曲线C 为边界的任意曲面 S ，由斯托克斯定理 有 ( ) d d d d 0S C C Cuu u l ul Sl由于曲面 S 是任意的，故有 ( ) 0u （ 2）对于任意闭合 曲面S 为边界的体积 ，由散度定理有 12( ) d ( ) d ( ) d ( ) dS S S A A S A S A S其中1S和2S如题 1.27 图所示。由斯托克斯定理，有 11( ) d dSC A S A l， 22( ) d dSC A S A

29、l 由题 1.27 图可知1C和2C是方向相反的同一回路，则有 12ddCCA l A l 所以得到 1 2 2 2( ) d d d d d 0C C C C A A l A l A l A l由于体积 是任意的，故有 ( ) 0 A 二章习题解答 2.1 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为4 3 2 30049 U d x ，式中阴极板位于 0x ，阳极板位于xd ，极间电压为 0U 。如果 0 40 VU 、 1cmd 、横截面 210cmS ，求：（ 1） 0x 和 xd区域内的总电荷量 Q ；（ 2） 2xd 和 xd 区域内的总电荷量 Q 。 解 （ 1） 4 3 2 30004

30、d ( ) d9dQ U d x S x 11004 4 . 7 2 1 0 C3 USd （ 2） 4 3 2 30024d ( ) d9ddQ U d x S x 1100341(1 ) 0 . 9 7 1 0 C3 2 USd 2.2 一个体密度为732 . 3 2 1 0 C m 的质子束，通过 1000V 的电压加速后形成等速的1n 1C 2C 2S 1S 2n 题 1.27 图 质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为 2mm ，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。 解 质子的质量271 .7 1 0 k gm 、电量191 .6 1 0 Cq 。由 212 mv qU得 62

31、1 . 3 7 1 0v m q U ms 故 0 .3 1 8Jv 2Am26( 2 ) 1 0I J d A 2.3 一个半径为 a 的球体内均匀分布 总电荷量为 Q 的电荷，球体以匀角速度 绕一个直径旋转，求球内的电流密度。 解 以球心为坐标原点， 转轴（一直径）为 z 轴。 设 球内任一点 P 的位置矢量为 r ，且 r 与z 轴的夹角为 ，则 P 点的线速度为 s i nr v r e 球内的电荷体密度为 343Qa 故 333s i n s i n4 3 4QQrraa J v e e 2.4 一个半径为 a 的导体球带 总电荷量为 Q ，同样以匀角速度 绕一个直径旋转，求球表面的

32、面电流密度。 解 以球心为坐标原点， 转轴（一直径）为 z 轴。 设 球面上任一点 P 的位置矢量为 r ，且 r与 z 轴的夹角为 ，则 P 点的线速度为 s i na v r e 球面的上电荷面密度为 24Qa 故 2 s i n s i n44SQQaaa J v e e 2.5 两点电荷1 8Cq 位于 z 轴上 4z 处，2 4Cq 位于 y 轴上 4y 处，求 (4,0,0) 处的电场强度。 解 电荷1q在 (4,0,0) 处产生的电场为 111 330014424 ( 4 2 )xzq eerrErr电荷2q在 (4,0,0) 处产生的电场为 222 330024414 ( 4

33、2 )xyq eerrErr故 (4,0,0) 处的电场为 12023 2 2x y z e e eE E E 2.6 一个半圆环上均匀分布线电荷l ，求垂直于圆平面的轴线上 za 处的电场强度(0,0, )aE ，设半圆环的半径也为 a ，如题 2.6 图所示。 解 半圆环上的电荷元 ddllla 在轴线上 za 处的电场强度为 30dd4 ( 2 )laa rrE 0( c o s s i n ) d82z x yl a e e e 在半圆环上对上式积分，得到轴线上 za 处的电场强度为 ( 0 , 0 , ) da EE 220 ( c o s s i n ) d82 l z x ya

34、e e e0( 2 )82l z xaee 2.7 三根长度均为 L ，均匀带电荷密度分别为 1l 、 2l 和 3l 地线电荷构成等边三角形。设 1l 22 l 32l ，计算三角形中心处的电场强度。 解 建立题 2.7 图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为 3t a n 3 026LdL 则 111003( c o s 3 0 c o s 1 5 0 )42llyydL E e e 2120033( c o s 3 0 s i n 3 0 ) ( 3 )28llx y x yLL E e e e e 3130033( c o s 3 0 s i n 3 0 ) ( 3 )28llx y

35、 x yLL E e e e e 故等边三角形中心处的电场强度为 1 2 3 E E E E1 1 10003 3 3( 3 ) ( 3 )2 8 8l l ly x y x yLLL e e e e e1034 ly Le 2.8 点电荷 q 位于 ( ,0,0)a 处，另 点电荷 2q 位于 ( ,0,0)a 处，空间有没有 电场强度 0E 的点？ 解 电荷 q 在 ( , , )x y z 处产生的电场为 1 2 2 2 3 20()4 ( ) x y zx a y zqx a y z e e eE 电荷 2q 在 ( , , )x y z 处产生的电场为 2 2 2 2 3 20()2

36、4 ( ) x y zx a y zqx a y z e e eE ( , , )x y z 处的电场则为 12E E E 。令 0E ，则有 a z x y ld l P dE r r 题 2.6 图 2l 1l 3l x y o 1E 3E 2E 题 2.7 图 2 2 2 3 2() ( ) x y zx a y zx a y z e e e2 2 2 3 22 ( ) ( ) x y zx a y zx a y z e e 由上式两端对应分量相等，可得到 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2( ) ( ) 2 ( ) ( ) x a x a y z x a x a y z 2 2 2

37、 3 2 2 2 2 3 2 ( ) 2 ( ) y x a y z y x a y z 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 ( ) 2 ( ) z x a y z z x a y z 当 0y 或 0z 时，将式或式代入式，得 0a 。所以，当 0y 或 0z 时无解； 当 0y 且 0z 时，由式，有 33( ) ( ) 2 ( ) ( )x a x a x a x a 解得 ( 3 2 2 )xa 但 3 2 2x a a 不合题意，故仅在 ( 3 2 2 , 0 , 0 )aa 处电场强度 0E 。 2 9 一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为 。证明：垂直于平面的 z 轴上

38、0zz 处的电场强度 E 中，有一半是有平面上半径为 03z 的圆内的电荷产生的。 解 半径为 r 、电荷线密度为 dl r 的带电细圆环在 z 轴上 0zz 处的电场强度为 02 2 3 200dd 2 ( )zr z rrz Ee 故整个导电带电面在 z 轴上 0zz 处的电场强度为 002 2 3 2 2 2 1 20 0 0 0 00 0d 12 ( ) 2 ( ) 2z z zr z r zr z r z E e e e 而半径为03z的圆内的电荷产生在 z 轴上 0zz 处的电场强度为 00 33002 2 3 2 2 2 1 20 0 0 0 00 0d 112 ( ) 2 (

39、) 4 2zzz z zr z r zr z r z E e e e E2.10 一个半径为 a 的导体球带电荷量为 Q ，当球体以均匀角速度 绕一个直径旋转，如题 2.10 图所示。求球心处的磁感应强度 B 。 解 球面上的电荷面密度为 24Qa 当球体以均匀角速度 绕一个直径旋转时，球面上位置矢量rare点处的电流面密度为 S z r a Jv r e es i n s i n4 Qa a ee将球面划分为无数个宽度为 ddla 的 细圆环， 则球面上任一个宽度为 ddla 细圆环的电流为 d d s i n d4S QI J l 细圆环的半径为 sinba ，圆环平面到球心的距离 cosda ， 利用电流圆环的轴线上的磁场公式， 则该细圆环电流在球心处产生的磁场为 a Q b z o Id 题 2.10 图 202