函数的对称性与函数的图象变换总结.ppt

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1、函数的对称性,有些函数,其图像有着优美的对称性，,同时又有着优美的对称关系式,1,-3,-1,-2,1,6,5,4,3,2,7,8,（偶函数）,Y=f(x)图像关于直线x=0对称,知识回顾,从”形”的角度看，,从“数”的角度看，,f(-x)=f(x),X,Y,1,-3,-1,-2,1,6,5,4,3,2,7,8,f(x)=,f(4-x),f(1)=,f(0)=,f(-2)=,f(310)=,f(6),f(4-310),0,Y=f(x)图像关于直线x=2对称,f(3),f(4),从”形”的角度看，,从”数”的角度看，,x,y,1,-3,-1,-2,1,6,5,4,3,2,7,8,x=-1,f(-

2、1+x)=,f(-1-x),思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称,f(x)=,f(-2-x),Y,x,y=f(x)图像关于直线x=a对称,f(a-x)=f(a+x),y=f(x)图像关于直线x=0对称,特例：a=0,轴对称性,思考？ 若y=f(x)满足f(a-x)=f(b+x),则函数图像关于 对称,f(-x)=-f(x),y=f(x)图像关于(0,0)中心对称,中心对称性,类比探究,a,从”形”的角度看，,从”数”的角度看，,f(x)=-f(2a-x),f(a-x)=-f(a+x),x,y,o,a,从”形”的角度看，,从”数”的角度看，,中心对称性,类比探究,a+x,a-x,y=f(

3、x)图像关于(a,0)中心对称,b,a,f(a+x)=2b-f(a-x),f(2a-x)=2b-f(x),b,中心对称性,y=f(x)图像关于(a,b)中心对称,类比探究,x,y,o,思考？,(1)若y=f(x)满足f(a-x)=-f(b+x),(2)若y=f(x)满足f(a-x)=2c-f(b+x),则函数图像关于 对称,则函数图像关于 对称,函数图像关于直线x=0对称,f(-x)=f(x),函数图像关于直线x=a对称,f(a-x)=f(a+x),x=a,f(x)=f(2a-x),函数图像关于(0,0)中心对称,函数图像关于(a,0)中心对称,f(-x)=-f(x),f(a-x)=-f(a+

4、x),f(x)=-f(2a-x),轴对称,中心对称性,练习: (1)若y=f(x)满足f(-2-x)=f(-2+x),则函数图像关于 对称,(2)若y=f(x)满足f(3-x)=f(4+x),(4)若y=f(x)满足f(3-x)=-f(4+x),(3)若y=f(x)满足f(-2-x)=-f(-2+x),(5)若y=f(x)满足f(3-x)=3-f(4+x),函数图象的变换及应用,函数图象是研究函数的重要工具,它能为所研究函数的数量关系及其图象特征提供一种”形”的直观体现,是利用”数形结合”解题的重要基础.,描绘函数图象的两种基本方法: 描点法;(通过列表描点连线三个步骤完成) 图象变换;(即一

5、个图象经过变换得到另一个与 之相关的函数图象的方法),函数图象的三大变换,平移,对称,伸缩,问题1：如何由f(x)=x2的图象得到下列各函数的图象？,（1）f(x-1)=(x-1)2,（2）f(x+1)=(x+1)2,（3）f(x)+1=x2+1,（4）f(x) -1=x2-1,O,y,x,y=f(x-1),y=f(x+1),y=f(x)-1,y=f(x)+1,函数图象的平移变换：,左右平移,y=f(x),y=f(x+a),a0,向左平移a个单位,a0,向右平移|a|个单位,上下平移,y=f(x),y=f(x)+k,k0,向下平移|k|个单位,k0,向上平移k个单位,1,1,-1,-1,同步练

6、习:,若函数f(x)恒过定点(1,1),则函数f(x-4)-2恒过 定点 . 若函数f(x)关于直线x=1对称,则函数f(x-4)-2 关于直线 对称.,(5,-1),x=5,问题2. 设f(x)= (x0)，求函数y=-f(x)、y=f(-x)、 y=-f(-x)的解析式及其定义域，并分别作出它们的图象。,y=-f(x),y=f(-x),y=-f(-x),对称变换,（1）y=f(x)与y=f(-x)的图象关于 对称；,（2）y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 对称；,（3）y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于 对称；,x 轴,y 轴,原 点,练习：说出下列函数的图象与指数函数y=2x

7、的图象的关系，并画出它们的示意图.,(1)y=2-x,(2)y=-2x,(3)y=-2-x,O,y,O,y,O,y,1,1,-1,1,-1,x,x,x,1.函数y=f(-x)与函数y=f(x)的图像关于y轴对称 2.函数y=-f(x)与函数y=f(x)的图像关于x轴对称 3.函数y=-f(-x)与函数y=f(x)的图像关于原点对称 4.函数y=f(x)与函数y=f(2a-x)的图像关于直线 对称,函数图象对称变换的规律:,思考:“函数y=f(x)与函数y=f(2a-x)的图像关于直线x=a对称”与 “函数y=f(x)满足f(x)= f(2a-x),则函数y=f(x)关于直线x=a对称”两者间有

8、何区别?,对称变换是指两个函数图象之间的对称关系,而”满足f(x)= f(2a-x)或f(a+x)= f(a-x)有y=f(x)关于直线x=a对称”是指一个函数自身的性质属性,两者不可混为一谈.,x=a,问题3：分别在同一坐标系中作出下列各组函数的图象，并说明它们之间有什么关系？,（1）y=2x与y=2|x|,O,x,y,由y=f(x)的图象作y=f(|x|)的图象：,y=2x,保留y=f(x)中y轴右侧部分，再加上y轴右侧部分关于y轴对称的图形.,1,y=2|x|,O,y,x,-4,1,4,-1,由y=f(x)的图象作y=|f(x)|的图象：,保留y = f(x)在 x 轴上方部分，再加上x

9、轴下方部分关于x轴对称到上方的图形,函数图象的对称变换规律：,（1）y=f(x),y=f(x+a),a0,向左平移a个单位,a0,向右平移|a|个单位,上下平移,（2）y=f(x),y=f(x)+k,k0,向上平移k个单位,k0,向下平移|k|个单位,（1）y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 对称；,（2）y=f(x)与y=f(-x)的图象关于 对称；,（3）y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于 对称；,函数图象的平移变换规律：,(4)由y=f(x)的图象作y=f(|x|)的图象：保留y=f(x)中 部分，再加上这部分关于 对称的图形.,(6)由y=f(x)的图象作y=|f(x)|的图

10、象：保留y=f(x)中 部分，再加上x轴下方部分关于 对称的图形.,x轴,y轴,原点,y轴右侧,y轴,x轴上方,x轴,左右平移,练习：已知函数y=f(x) 的图象如图所，分别画 出下列函数的图象：,(1) y = f(-x); (2) y = - f(x).,(3) y = f(|x|); (4) y = |f(x)|.,练习：已知函数y=f(x) 的图象如图所，分别画 出下列函数的图象：,(1) y = f(-x); (2) y = - f(x).,(3) y = f(|x|); (4) y = |f(x)|.,y = f(|x|),y = |f(x)|,例1.将函数y=2-2x的图象向左平

11、移1个单位，再作关于原点对称的图形后.求所得图象对应的函数解析式.,y=2-2x,y=2-2(x+1),-y=2-2(-x+1),y=-22x-2,向左平移1个单位,关于原点对称 x换成-x y换成-y,x 换成 x+1,例2.已知函数y=|2x-2|,（1）作出函数的图象； （2）指出函数 的单调区间； （3）指出x取何值时，函数有最值。,O,x,y,3,2,1,1,-1,y=2x,y=2x-2,y=|2x-2|,y=|2x-2|,例2.已知函数y=|2x-2|,（1）作出函数的图象； （2）指出函数 的单调区间； （3）指出x取何值时，函数有最值。,O,x,y,3,2,1,1,-1,y=|

12、2x-2|,1函数f(x)ln|x1|的图像大致是( )解析：函数f(x)ln|x1|的图像是由函数g(x)ln|x|向右平移1个单位得到的，故选B. 答案：B,答案：C,4使log2(x)x1成立的x的取值范围是( ) A(1,0) B1,0) C(2,0) D2,0) 解析：作出ylog2(x)，yx1的图像知满足条件的x(1,0)答案：A,易错点一 对“平移”概念理解不深导致失误 【自我诊断】 把函数ylog2(2x3)的图像向左平移1个单位长度得到函数_的图像 解析：由题意，得所求函数解析式为ylog22(x1)3log2(2x1) 答案：ylog2(2x1),易错点二 判断图像的对称

13、性失误 【自我诊断】 设函数yf(x)的定义域为R，则函数yf(x1)与yf(1x)的图像关于( ) A直线y0对称 B直线x0对称 C直线y1对称 D直线x1对称,解析：方法一：设(x1，y1)是yf(x1)图像上任意一点，则y1f(x11)，而f(x11)f1(2x1)，说明点(2x1，y1)定是函数yf(1x)上的一点，而点(x1，y1)与点(2x1，y1)关于直线x1对称，所以yf(x1)的图像与yf(1x)的图像关于直线x1对称，所以选D. 方法二：函数yf(x)与yf(x)的图像关于y轴对称，yf(1x)f(x1)把yf(x)与yf(x)的图像同时都向右平移1个单位长度，就得到yf

14、(x1)与yf(1x)的图像，对称轴y轴向右平移1个单位长度得直线x1，故选D.,方法三：(特殊值法)设f(x)x2，则f(x1)(x1)2，f(1x)(x1)2，由图可知(两图像重合)，函数f(x1)和f(1x)的图像关于直线x1对称，只有D正确,答案：D,题型二 函数图像的识别 【例2】 函数yf(x)与函数yg(x)的图像分别如图、所示则函数yf(x)g(x)的图像可能是( ),解析：从f(x)、g(x)图像可知它们分别为偶函数、奇函数，故f(x)g(x)是奇函数，排除B. 由g(x)图像不过(0,0)得f(x)g(x)图像也不过(0,0)，排除C、D. 答案：A 规律方法：注意从f(x

15、)，g(x)的奇偶性、单调性等方面寻找f(x)g(x)的图像特征,【预测2】 (1)已知函数yf(x)的图像如图所示，yg(x)的图像如图所示，则函数yf(x)g(x)的图像可能是下图中的( ),(2)将f(x)改为奇函数，g(x)也是奇函数，例如，f(x)、g(x)图像分别如图、所示，则f(x)g(x)的图像为( ),解析：(1)f(x)，g(x)均为偶函数，则f(x)g(x)为偶函数，可排除A、D.注意x0时图像变化趋势是“负正负”，故只能选C.(2)f(x)g(x)为偶函数，可排除A、C、D，选B. 答案：(1)C (2)B,(2)由题意，有C：ylg(x1)2. 因为C1与C关于原点对

16、称， 所以C1：ylg(x1)2. 因为C2与C1关于直线yx对称(即两函数互为反函数)，故C2：y1102x(xR),规律方法：(1)化为同底数；(2)翻折、平移；(3)平移、对称、反函数；(4)平移、伸缩,题型四 函数图像的应用 【例4】 当x(1,2)时，不等式(x1)2logax恒成立，求a的取值范围,解析：设f1(x)(x1)2，f2(x)logax， 要使当x(1,2)时，不等式(x1)2logax恒成立，只需f1(x)(x1)2在(1,2)上的图像在f2(x)logax的下方即可 当0a1时，由图像知显然不成立 当a1时，如图，要使在(1,2)上，f1(x)(x1)2的图像在f2(x)logax的下方，只需f1(2)f2(2) 即(21)2loga2，loga21，1a2.,【预测4】 已知函数f(x)|x24x3|. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)求m的取值范围，使得方程f(x)mx有四个不等实根,f(x)的图像如图所示 函数f(x)的单调区间有(，1、 1,2、2,3、3，)， 其中增区间有1,2、3，)， 减区间有(，1、2,3,小结,1.已学的画函数图像的基本方法 （1）描点法； （2）图象变换法：平移变换、对称变换2.画函数图像时可先确定函数的定义域、讨论函数 的性质（如单调性、奇偶性、特殊点等），再用描点法或图像变换得出图像,