2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学试卷（文史类）及答案解析.pdf

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1、2010 年普通高等学校招生全 国统一考试（湖南卷）数学（文史类） _班 姓名_ 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 . 1.复数 i1 2 等于 ( ) A i+1 B. i1 C. -1+i D. -1-i 2. 下列命题中的假命题是 ( ) A 0= xRx lg, B. 1= xRx tan, C. 0 3 xRx , D. 02 x Rx , 3某商品销售量 y（件）与销售价格 x（元 /件）负相关，则其回归方程可能是 ( ) A 20010 += xy B. 20010 += xy C. 20010

2、= xy D. 20010 = xy 4极坐标方程 cos= 和参数方程 += = ty tx 2 1 （ t 为参数）所表示的图形分别是 ( ) A直线、直线 B直线、圆 C圆、圆 D圆、直线 5设抛物线 y 2 =8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线的焦点的距离是 ( ) A 4 B. 6 C. 8 D. 12 6若非零向量 a、 b满足 | ba = ， 02 =+ bba )( ，则 a与 b的夹角为 ( ) A 30 0 B. 60 0 C. 120 0 D. 150 0 7在 ABC 中，角 CBA , 的所对的边长分别为 ,abc，若 acC 2120

3、0 = , ，则 ( ) A ab B. ab C. a=b D. a与 b 的大小关系不能确定 . 8. 函数 bxaxy += 2 与 |)|,(log | baabxy a b = 0 在同一直角坐标系中的图象可能是 ( ) 二 填空题：本大题共 7 个小题，每小题 5 分，共 35 分，把答案填在答题卡中对应题号后 的横线上。 C D 9 .已知集合 A=1,2,3,B=2, m， 4， A B=2,3，则 m= . 10.已知一种材料的最佳入量在 100g 到 200g 之间 .若用 0.618 法安排试验，则第一次试点 的加入量可以是 g. 11.在区间 -1,2上随机取一个数 x

4、，则 x0,1的概率为 12 . 图 1 是求实数 x 的绝对值的算法程序框图，则判断框可填 13.图 2 中的三个直角三角形是 一个体积为 20cm 3 的几何体的三视图， 则 h = cm 14. 若不同两点 P， Q 的坐标分别为 (a,b) ， (3-b,3-a),则线段 PQ 的垂直平分线 l 的斜率为 _, 圆 132 22 =+ )()( yx 关于直线 l 对称的圆的方程为 _. 15. 若规定 , 1021 aaaE L= 的子集 , m ttt aaa L 21 为 E 的第 k 个子集，其中 111 222 21 += m ttt k L ，则 （ 1） , 31 aa

5、是 E 的第 _个子集 ; (2) E 的第 211 个子集是 _. 三 解答题：每小题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明 .证明过程或演算步骤。 16 （本小题满分 12 分）已知函数 xxxf 2 22 sinsin)( = （）求函数 ()f x 的最小正周期； （ II）求函数 ()f x 的最大值及 ()f x 取最大值时 x 的集 合。 17.（本小题满分 12 分）为了对某课题进行研究，用分层抽样的方法从三所高校 A、 B、 C 的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人） （ I）求 x,y； （ II）若从高校 B、 C 抽取的人中选 2 人作

6、 专题发言，求这 2 人都来自高校 C 的概率 . 高校 相关人数 抽取人数 A 18 x B 36 2 C 54 y 开始 是 否 输出 -x 结束 输入 x 输出x 图 1 正视图 侧视图 俯视图 图 2 单位： cm h 5 6 18.（本小题满分 12 分） 如图 3 所示，在长方体 ABCD- 1 A 1 B 1 C 1 D 中， AB=AD , AA 1 = , M 是棱 C 1 C 的中点 . （）求异面直线 1 A 和 1 C 1 D 所成的角的正切 值 ; （）证明：平面 ABM平面 A 1 B 1 M. 19 （本小题满分 13 分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰

7、川上相距 8km 的A,B 两点各建一个考察基地.视冰川面为平面形，以过 A,B 两点的直线为 x轴，线段 AB的垂直平 分线为 y 轴建立平面直角坐标系（图 4）.考察范围为到 A,B 两点的距离之和不超过 10km 的 区域。 （）求考察区域边界曲线的方程； （）如图 4 所示，设线段 P 1P2是冰川的部分边界线（不考虑其他边界线） ，当冰川融化 时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动 0.2km,以后每年移动的距 离为前一年的 2 倍，问：经过多长时间，点 A恰好在冰川边界线上? 图 3 20 （本小题满分 13 分） 给出下面的数表序列： 表 1 表 2 表 3 1

8、 1 3 1 3 5 4 4 8 12 其中表 n(n=1,2,3, )有 n 行，第 1 行的 n 个数是 1,3,5， 2n-1，从第二行起，每 行中的每个数都等于它肩上的两数之和 . （）写出表 4，验证表 4 各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结 论推广到表 n（ n 3） （不要求证明） ； （）某个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列 1,4,12，记此数列为 b n ， 求和： )( * Nn bb b bb b bb b nn n + + + 1 2 32 4 21 3 L . 21.（本小题满分 13 分）已知函数 axax x a xf 151 +=

9、ln)()( , 其中 ,0 + = )()( )()( )( 1 164632 223 xxfe xeaaaxaxx xg x （e 是自然对数的 底数） ，是否存在 a，使 g(x)在a,-a上是减函数？若存在，求 a 的取值范围；若不存在， 请说明理由. 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（文史类） 参考答案 一、 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C A D B C A D 二、 9. 3 10. 161.8 或 138.2 11. 3 1 12.x0或 x0? 或 x 0 或 x 0？ 13. 4 14. -1 , x 2 +(y-1) 2 =1

10、15. 5； , 87521 aaaaa 三、 16解（） 因为 1 4 22212 += )sin()cos(sin)( xxxxf 所以函数 ()f x 的最小正周期 = 2 2 T （ II）由（）知，当 2 2 4 2 +=+ kx ，即 )( Zkkx += 8 时， ()f x 取最大值 12 . 因此函数 ()f x 取最大值时 x 的集合为 ,| Zkkxx += 8 17 解 : （ I）由题意可得 5436 2 18 yx = ，所以 x=1,y=3 （ II）记从高校 B 抽取的 2 人为 b 1 ,b 2 , 从高校 C 抽取的 3 人为 c 1 ,c 2 ,c 3 ,

11、则从高校 B、 C 抽取的 5 人中选 2 人作专题发言的基本事件有： （ b 1 ,b 2 ） ,（ b 1 ,c 1 ） , (b 1 ,c 2 ） , （ b 1 ,c 3 ） , （ b 2 ,c 1 ） , （ b 2 ,c 2 ） , （ b 2 ,c 3 ） ,( c 1 ,c 2 ), ( c 1 ,c 3 ), ( c 2 ,c 3 ) 共 10 种 . 设选中的 2 人都来自高校 C 的事件为 X,则 X 包含的基本事件有 ( c 1 ,c 2 ), ( c 1 ,c 3 ), ( c 2 ,c 3 ) 共 3 种 . 因此 10 3 =)(XP . 故选中的 2 人都来自

12、高校 C 的概率为 10 3 18.解 ）如图，因为 1111 ABDC / ，所以 11 BMA 异面 直线 1 A 和 1 C 1 D 所成的角，因为 1 A 1 B 平面 11 BBCC ， 所以 0 11 90= MBA ，而 1 A 1 B =1 ， 2 2 1 2 111 =+= MCCBMB ， 故 2 11 1 11 = BA MB BMAtan . 即异面直线 1 A 和 1 C 1 D 所成的角的正切值为 2 （）由 1 A 1 B 平面 11 BBCC ， BM 平面 11 BBCC ，得 1 A 1 B BM 由（）知， 2 1 =MB ， 2 22 =+= CMBCB

13、M ， 2 1 =BB ，所以 2 1 22 1 BBBMMB =+ ， 从而 BM B 1 M 又 1111 BMBBA =I , 再由 得 BM平面 A 1 B 1 M，而 BM平面 ABM， 因此平面 ABM平面 A 1 B 1 M. 19. 解（）设边界曲线上点的坐标为 P（x,y） ，则由|PA|+|PB|=10 知， 点 P 在以A、B 为焦点，长轴长为 2a=10 的椭圆上，此时短半轴 长 345 22 =b .所以考察区域边界曲线（如图）的方程 为 1 925 22 =+ yx （）易知过点 P 1 、 P 2 的直线方程为 4x-3y+47=0， 因此点 A 到直线 P 1

14、P 2 的距离为 5 31 34 4716 22 = + + = )( | d ， 设经过 n 年， 点 A 恰好在冰川边界线上， 则利用 等比数列求和公式可得 5 31 12 1220 = )(. n ，解得 n=5. 即经过 5 年，点 A 恰好在冰川边界线上. 20. 解： （）表 4 为 1 3 5 7 4 8 12 12 20 32 它的第 1,2,3,4 行中的数的平均数分别为 4,8,16,32. 它们构成首项为 4，公比为 2 的等比 数列. 将结这一论推广到表 n（ n 3） ，即 表 n 各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为 n，公比为 2 的等比数列. （）表 n

15、 第 1 行是 1,3,5， 2n-1，其平均数是 n n n = + )( 12531 L 由（）知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为 n，公比为 2的等比数 列（从而它的第 k 行中的数的平均数是 1 2 k n ） ，于是表 n 中最后一行的唯一一个数为 1 2 n n .因此 23221 1 1 2 21 1 2 1 21 12 21 2 212 22 + + + + = + + = + + = + + = kkkkkk k kk k kkkk kk kk k kk k bb b )()( )( )()( )( (k=1,2,3, ,n)，故 ) )( ()()( 23

16、0112 1 2 32 4 21 3 21 1 2 1 23 1 22 1 22 1 21 1 + + + + + =+ nn nn n nnbb b bb b bb b LL 2 21 1 4 + = n n )( 21. （） )(xf 的定义域为 ),( +0 ， 22 11 1 x xax x a x a xf )( )( + = += （ 1）若 -1a0,则当 0x )(xf ；当 -a x1 时， 01 时， 0 )(xf .故 )(xf 分别在 ),(),( + 10 a 上单调递增，在 ),( 1a 上单调递减. （2）若 a x e ，因此 0)(am ，而 )()( 2

17、2 += aaam ， 所以 2a ， 此时， 显然有 g(x)在a,-a上为减函数， 当且仅当 )(xf 在1,-a上为减函数， h(x)在a,1 上为减函数,且 )()( 11 feh ，由（）知，当 a-2 时， )(xf 在 ),( a1 上为减函数 又 4 1 30313411 2 + aaafeh )()( 不难知道， 0101 )(,)(, xmaxxhax 因 )()()( axxaxaxxm +=+= 2612266 2 ，令 0= )(xm ，则 x=a 或 x=-2,而 2a 于是 （1） 当a-2时， 若 a x )(xm ， 若 -2 x1,则 0 )(xm ,因而

18、)(xm 分别在 ),( 2a 上单调递增，在 ),( 12 上单调递减； （2）当a-2 时， 0 )(xm , )(xm 在 ),( 12 上单调递减. 综合（1）（2）知，当 2a 时， )(xm 在 , 1a 上的最大值为 81242 2 = aam )( ，所以， 2081240201 2 aaamxmax )()(, 又对 01 = )(, xmax ，只有当 a=-2 时在 x=-2 取得，亦即 0= )(xh 只有当 a=-2 时在 x=-2 取得. 因此，当 2a 时， h(x)在a,1 上为减函数，从而由，知 23 a 综上所述，存在 a，使g(x)在a,-a上是减函数，且 a 的取值范围为 , 23 .