2010年普通高等学校招生全国统一考试(全国1卷)理科数学试卷(必修+选修2)及答案解析.pdf

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1、 绝密启用前 2010 年普通高等学校 招生全国统一考试(全国卷) 理科数学(必修+选修II) 本试卷分第 I 卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第 I 卷1 至2 页。第卷 3 至4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷 注意事项： 1答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效 。 3第 I 卷共 12 小题，每小题 5 分，共 6

2、0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 球的表面积公式 ( ) () ()PA B PA PB+= + 2 4SR= 如果事件 A、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ( ) () ()PAB PA PB=nullnull 球的体积公式 如果事件 A在一次试验中发生的概率是 p ，那么 3 3 4 VR= n次独立重复试验中事件 A恰好发生 k 次的概率 其中R 表示球的半径 () (1 ) ( 0,1,2, ) kk nk nn Pk Cp p k n = 一、选择题 (1)复数 32 23 i i + = (A)i (

3、B) i (C)12-13i (D) 12+13i (2)记 cos( 80 ) k=,那么 tan100= A. 2 1 k k B. - 2 1 k k C. 2 1 k k D. - 2 1 k k (3)若变量 ,x y满足约束条件 1, 0, 20, y xy xy + 则 2zx y= 的最大值为 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 （4）已知各项均为正数的等比数列 n a ， 123 aaa =5， 789 aaa=10，则 456 aaa= (A) 52 (B) 7 (C) 6 (D) 42 (5) 353 (1 2 ) (1 )x x+的展开式 中 x 的系数是 (A)

4、-4 (B) -2 (C) 2 (D) 4 (6)某校开设 A 类选修课 3 门，B 类选择课 4 门，一位同学从中共选 3 门，若要求两类课程 中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30 种 (B)35 种 (C)42 种 (D)48 种 （7）正方体ABCD- 111 1 ABCD中，B 1 B 与平面 AC 1 D 所成角的余弦值为 A 2 3 B 3 3 C 2 3 D 6 3 （8）设 a= 3 log 2,b=In2,c= 1 2 5 ,则 A abc Bbca C cab D cba (9)已知 1 F 、 2 F 为双曲线 C: 22 1xy=的左、右焦点，点 p 在 C

5、上， 1 F p 2 F = 0 60 ，则 P 到 x 轴的距离为 (A) 3 2 (B) 6 2 (C) 3 (D) 6 （10）已知函数 () |lg |f xx= ,若 0ab,且f(a)=f(b),则 a+2b的取值范围是 (A)(2 2, )+ (B)2 2, )+ (C)(3, )+ (D)3, )+ （11）已知圆 O 的半径为 1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A、B 为俩切点，那么 PA PB uuuvuuv 的 最小值为 (A) 42+ (B) 32+ (C) 422+ (D) 322+ （12）已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若 AB=CD=2,则

6、四面体 ABCD 的体积的 最大值为 (A) 23 3 (B) 43 3 (C) 23 (D) 83 3 绝密启用前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修II) 第卷 注意事项： 1答题前，考生先在答题卡上用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2第卷共 2 页，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上作答无效 。 3。第卷共 l0 小题，共 90 分。 二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分把答案填在题中横线上 (注意：在试

7、题卷上作答无效) (13)不等式 2 21 1x x+的解集是 . (14)已知 为第三象限的角， 3 cos2 5 = ,则 tan( 2 ) 4 + = . (15)直线 1y = 与曲线 2 yx xa=+有四个 交点，则 a的取值范围是 . (16)已知 F是椭圆 C 的一个焦点， B是短轴的一个端点，线段 BF的延长线交 C 于点 D ， cot cotaba Ab B+= + 且 BF 2FD= uur uur ，则 C 的离心率为 . 三解答题：本大题共 6 小题，共70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 (17)(本小题满分 10 分)(注意：在试题卷上作答无效 ) 已

8、知 ABCV 的内角 A ， B及其对边 a ， b 满足 cot cotaba Ab B+ =+， 求内角 C (18)(本小题满分 12 分)（注意：在试题卷上作答无效 ) 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审若能通过两位初审专家的评审， 则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评 审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录 用设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 05，复审的稿件能通过评审的概率为 03 各专家独立评审 (I)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率； (II)记 X 表示投到该杂志的 4 篇稿件中被

9、 录用的篇数，求 X 的分布列及期望 （19） （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效 ） 如图，四棱锥 S-ABCD 中，SD 底面 ABCD，AB/DC，AD DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为 棱 SB 上的一点，平面 EDC 平面SBC . （）证明：SE=2EB； （）求二面角 A-DE-C的大小 . (20)(本小题满分 12 分) （注意：在试题卷上作答无效 ） 已知函数 () ( 1)ln 1f xx xx=+ +. （）若 2 ( ) 1xfx x ax+，求 a的取值范围； （）证明： (1)()0 xfx . （21）(本小题满分 12 分) （注

10、意：在试题卷上作答无效 ） 已知抛物线 2 :4Cy x= 的焦点为 F，过点 (1,0)K 的直线 l与 C 相交于 A、 B两点， 点A关于 x轴的对称点为 D . （）证明：点 F 在直线 BD 上； （）设 8 9 FA FB = uuuruuur null ，求 BDK 的内切圆 M 的方程 . （22）(本小题满分 12 分) （注意：在试题卷上作答无效 ） 已知数列 n a 中， 11 1 1, n n aac a + = .来源:学*科*网 （）设 51 , 22 n n cb a = ，求数列 n b 的通项公式； （）求使不等式 1 3 nn aa + 成立的 c的取值范围

11、 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷） 理科数学试题(必修+选修)参考答案 一、选择题 1. A 2. B 3. B 4. A 5. C 6. A 7. D 8. C 9. B 10. C 11. D 12. B 二、填空题 13. |0 2xx 14. 1 7 15. 5 (1, ) 4 16. 3 3 三、解答题 17. 解： 由 cot cotaba Ab B+= + 及正弦定理得 sin sin cos cos sin cos cos sin AB AB AABB +=+ = 从而 sin cos cos sin cos sin sin cos 4444 AABB = s

12、in( ) sin( ) 44 A B = 又 0 AB+ ，则 2 (,) 111 E + 2 ( , , ), (0,2,0) 111 DE DC = + uuur uuur 设平面 CDE的法向量 m=(x,y,z) 由 ,mDEmDC,得 0mDE=， 0mDC= 故 2 0,2 0 111 xyz y += + . 令 2x= ，则 (2,0, )m =. 由平面DEC平面SBC 得mn, 0,2 0, 2mn = = =null 故 SE=2EB （）由（）知 222 (,) 333 E ，取 DE 的中点F，则 111 2 1 1 (,), (, , ) 333 3 3 3 FF

13、A= uuur ， 故 0FA DE = uuur uuur null ，由此得 FA DE 又 24 2 (,) 33 3 EC = uuur ，故 0EC DE = uuur uuur null ，由此得 EC DE ， 向量 FA uuur 与 EC uuur 的夹角等于二面角 A DE C 的平面角 于是 1 cos( , ) 2| FA EC FA EC FA EC = uuur uuur uuuruuur null uuuruur 所以，二面角 ADEC的大小为 120 o 20.解： （） 11 () ln 1 ln x fx x x x + =+=+， () ln 1xfx x

14、 x =+, 题设 2 () 1xfx x ax +等价于 ln x xa . 令 () lngx x x=，则 1 () 1gx x = 当 01x ， () 0gx ；当 1x 时， () 0gx ， 1x = 是 ()gx的最大值点， () (1) 1gx g = 综上， a的取值范围是 ) 1,+. ()由（）知， () (1) 1gx g = 即 ln 1 0 xx + . 当 01x 时， ()(1)ln1ln(ln1)0fx x x x x x x x= + += + + ； 当 1x 时， () ln (ln 1)fx x x x x=+ + 1 ln (ln 1)xx x x

15、 =+ + 11 ln (ln 1)xx xx = + 0 所以 (1)()0 xfx 21. 解： 设 11 (,)Ax y ， 22 (,)B xy， 11 (, )Dx y ， l的方程为 1( 0)xmy m= . （）将 1x my=代入 2 4y x= 并整理得 2 440ymy += 从而 12 12 4, 4yy myy+ = 直线 BD 的方程为 21 22 21 () yy y yxx xx + = 即 2 2 2 21 4 () 4 y yy x yy = 令 0y = ，得 12 1 4 yy x= 所以点 F(1,0)在直线 BD上 （）由（）知， 2 12 1 2

16、(1)(1)42x x my my m+ =+= 12 1 2 (1)(1)1.x x my my= = 因为 11 (1,),FA x y= uur 22 (1,)FB x y= uur ， 2 12 121212 (1)(1) ( )1484FA FB x x y y x x x x m= + = += uur uur 故 2 8 84 9 m = ， 解得 4 3 m= 所以 l的方程为 3430,3430 xy xy+= += 又由（）知 2 21 4 (4 ) 4 4 7 3 yy m= = 故直线 BD 的斜率 21 43 7 yy = ， 因而直线 BD的方程为 3730,3730.xy xy+= 因为 KF 为 BKD 的平分线，故可设圆心 (,0)( 1 1)Mt t 由得 用数学归纳法证明：当 2c 时 1nn aa + ，命题成立； （）设当 n=k 时， 1kk aa + = 故由（） （）知，当 c2 时 1nn aa + 2 时，令 2 4 2 cc a + = ，由 1 11 nn nn aa c aa + + +=得 n aa 当 10 2,3 3 n caa 时， 3a ，且 1 n aa 时， 11 3, 3 nn aa a a + 因此 10 3 c 不符合要求 所以 c 的取值范围是 10 (2, 3