2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理数-含答案.docx
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1、绝密启用前2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 ( 湖 南 卷 )数 学 ( 理 工 农 医 类 )本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共5页,时量120分钟,满分150分。一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复 数 1z i i i 为 虚 数 单 位 在 复 平 面 上 对 应 的 点 位 于A 第 一 象 限 B 第 二 象 限 C 第 三 象 限 D 第 四 象 限2.某 学 校 有 男 、 女 学 生 各 500名 .为 了 解 男 女 学 生 在 学 习 兴 趣 与 业 余 爱
2、 好 方 面 是 否 存 在 显 著差 异 , 拟 从 全 体 学 生 中 抽 取 100名 学 生 进 行 调 查 , 则 宜 采 用 的 抽 样 方 法 是 A 抽 签 法 B 随 机 数 法 C 系 统 抽 样 法 D 分 层 抽 样 法3.在 锐 角 中 ABC , 角 ,A B所 对 的 边 长 分 别 为 ,a b.若 2 sin 3 ,a B b A 则 角 等 于A 12 B 6 C 4 D 34.若 变 量 ,x y满 足 约 束 条 件 2 11y xx yy , 2x y则 的 最 大 值 是A 5-2 B 0 C 53 D 525.函 数 2lnf x x 的 图 像
3、与 函 数 2 4 5g x x x 的 图 像 的 交 点 个 数 为A 3 B 2 C 1 D 06. 已 知 ,a b是 单 位 向 量 , 0a b .若 向 量 c满 足 1,c a b c 则 的 取 值 范 围 是A 2-1, 2+1 , B 2-1, 2+2 , C 1, 2+1 , D 1, 2+2 ,7 已 知 棱 长 为 1的 正 方 体 的 俯 视 图 是 一 个 面 积 为 1的 正 方 形 , 则 该 正 方 体 的 正 视 图 的 面积 不 可 能 等 于A 1 B 2 C 2-12 D 2+128.在 等 腰 三 角 形 ABC 中 , = 4AB AC , 点
4、 P是 边 AB 上 异 于 ,A B的 一 点 ,光 线 从 点 P出 发 , 经 ,BC CA反 射 后 又 回 到 原 点 P( 如 图 1) .若 光 线 QR经 过 ABC 的 中 心 , 则 AP 等 于A 2 B 1C 83 D 43 二、填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分. ( 一 ) 选 做 题 ( 请 考 生 在 第 9、 10、 11三 题 中 任 选 两 题 作 答 , 如 果 全 做 , 则 按 前 两 题 计 分 )9.在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy中 , 若 直 线 , 3cos ,: (t ) C: 2sinx t xl y t
5、 a y 为 参 数 过 椭 圆( )为 参 数 的 右 顶 点 , 则 常 数 a的 值 为 .10.已 知 2 2 2, , , 2 3 6, 4 9a b c R a b c a b c 则 的 最 小 值 为 .11.如 图 2, 在 半 径 为 7的 O 中 ,弦 , , 2,AB CD P PA PB 相 交 于 点1PD O , 则 圆 心 到 弦 CD的 距 离 为 .( 一 ) 必 做 题 ( 12-16题 )12.若 20 9,T x dx T 则 常 数 的 值 为 . 13.执 行 如 图 3所 示 的 程 序 框 图 , 如 果 输 入1, 2,a b a 则 输 出
6、 的 的 值 为 .14 设 1 2,F F 是 双 曲 线 2 22 2: 1( 0, 0)x yC a ba b 的 两 个 焦 点 , P是 C上 一 点 ,若 21 6 ,PF PF a 且 1 2PFF 的 最 小 内 角 为 30, 则 C的 离 心 率 为 _。15 设 nS 为 数 列 na 的 前 n项 和 , 1( 1) , ,2nn n nS a n N 则( 1) 3a _;( 2) 1 2 100S S S _。16 设 函 数 ( ) , 0, 0.x x xf x a b c c a c b 其 中 ( 1) 记 集 合 ( , , ) , ,M a b c a
7、b c a 不 能 构 成 一 个 三 角 形 的 三 条 边 长 , 且 =b , 则 ( , , )a b c M 所对 应 的 ( )f x 的 零 点 的 取 值 集 合 为 _。( 2) 若 , ,a b c ABC是 的 三 条 边 长 , 则 下 列 结 论 正 确 的 是 .( 写 出 所 有 正 确 结论 的 序 号 ) ,1 , 0;x f x , , ,x x xx R xa b c 使 不 能 构 成 一 个 三 角 形 的 三 条 边 长 ; 若 1,2 , 0.ABC x f x 为 钝 角 三 角 形 , 则 使三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字
8、说明、证明过程或演算步骤.17 ( 本 小 题 满 分 12分 )已 知 函 数 2( ) sin( ) cos( ). ( ) 2sin6 3 2xf x x x g x 。 ( I) 若 是 第 一 象 限 角 , 且 3 3( ) 5f 。 求 ( )g 的 值 ;( II) 求 使 ( ) ( )f x g x 成 立 的 x的 取 值 集 合 。18 ( 本 小 题 满 分 12分 ) 某 人 在 如 图 4所 示 的 直 角 边 长 为 4米 的 三 角 形 地 块 的 每 个 格 点 ( 指 纵 、 横 的 交 叉 点 记 忆 三 角 形 的顶 点 ) 处 都 种 了 一 株 相
9、 同 品 种 的 作 物 。 根 据 历 年 的 种 植 经 验 , 一 株 该 种 作 物 的 年 收 获 量 Y( 单 位 : kg)与 它 的 “相 近 ”作 物 株 数 X之 间 的 关 系 如 下 表 所 示 :X 1 2 3 4Y 51 48 45 42这 里 , 两 株 作 物 “相 近 ”是 指 它 们 之 间 的 直 线 距 离 不 超 过 1米 。( I) 从 三 角 形 地 块 的 内 部 和 边 界 上 分 别 随 机 选 取 一 株 作 物 , 求 它 们 恰 好 “相 近 ”的 概 率 ;( II) 从 所 种 作 物 中 随 机 选 取 一 株 , 求 它 的 年
10、 收 获 量 的 分 布 列 与 数 学 期 望 。 19 ( 本 小 题 满 分 12分 )如 图 5, 在 直 棱 柱 11 1 1 /ABCD ABC D AD BC 中 , ,190 , , 1, 3.BAD AC BD BC AD AA ( I) 证 明 : 1AC B D ;( II) 求 直 线 1 1 1BC ACD与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 。20 ( 本 小 题 满 分 13分 )在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 将 从 点 M出 发 沿 纵 、 横 方 向 到 达 点 N的 任 一路 径 成 为 M 到 N 的 一 条 “L 路 径 ” 。 如
11、图 6 所 示 的 路 径1 2 3 1MM M M N MN N与 路 径 都 是 M到 N的 “L路 径 ”。 某 地 有 三 个 新 建 的 居民 区 , 分 别 位 于 平 面 xOy内 三 点 (3,20), ( 10,0), (14,0)A B C 处 。 现 计 划 在 x轴 上 方 区 域 ( 包 含 x轴 ) 内 的 某 一 点 P处 修 建 一 个 文 化 中 心 。 ( I) 写 出 点 P到 居 民 区 A的 “L路 径 ”长 度 最 小 值 的 表 达 式 ( 不 要 求 证 明 ) ;( II) 若 以 原 点 O为 圆 心 , 半 径 为 1的 圆 的 内 部 是
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