1、绝密启用前2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 湖 南 卷 ）数 学 （ 理 工 农 医 类 ）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复 数 1z i i i 为 虚 数 单 位 在 复 平 面 上 对 应 的 点 位 于A 第 一 象 限 B 第 二 象 限 C 第 三 象 限 D 第 四 象 限2.某 学 校 有 男 、 女 学 生 各 500名 .为 了 解 男 女 学 生 在 学 习 兴 趣 与 业 余 爱
2、 好 方 面 是 否 存 在 显 著差 异 ， 拟 从 全 体 学 生 中 抽 取 100名 学 生 进 行 调 查 ， 则 宜 采 用 的 抽 样 方 法 是 A 抽 签 法 B 随 机 数 法 C 系 统 抽 样 法 D 分 层 抽 样 法3.在 锐 角 中 ABC ， 角 ,A B所 对 的 边 长 分 别 为 ,a b.若 2 sin 3 ,a B b A 则 角 等 于A 12 B 6 C 4 D 34.若 变 量 ,x y满 足 约 束 条 件 2 11y xx yy ， 2x y则 的 最 大 值 是A 5-2 B 0 C 53 D 525.函 数 2lnf x x 的 图 像
3、与 函 数 2 4 5g x x x 的 图 像 的 交 点 个 数 为A 3 B 2 C 1 D 06. 已 知 ,a b是 单 位 向 量 ， 0a b .若 向 量 c满 足 1,c a b c 则 的 取 值 范 围 是A 2-1, 2+1 ， B 2-1, 2+2 ， C 1, 2+1 ， D 1, 2+2 ，7 已 知 棱 长 为 1的 正 方 体 的 俯 视 图 是 一 个 面 积 为 1的 正 方 形 ， 则 该 正 方 体 的 正 视 图 的 面积 不 可 能 等 于A 1 B 2 C 2-12 D 2+128.在 等 腰 三 角 形 ABC 中 ， = 4AB AC ， 点
4、 P是 边 AB 上 异 于 ,A B的 一 点 ，光 线 从 点 P出 发 ， 经 ,BC CA反 射 后 又 回 到 原 点 P（ 如 图 1） .若 光 线 QR经 过 ABC 的 中 心 ， 则 AP 等 于A 2 B 1C 83 D 43 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分. （ 一 ） 选 做 题 （ 请 考 生 在 第 9、 10、 11三 题 中 任 选 两 题 作 答 ， 如 果 全 做 ， 则 按 前 两 题 计 分 ）9.在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy中 ， 若 直 线 , 3cos ,: (t ) C: 2sinx t xl y t
5、 a y 为 参 数 过 椭 圆( )为 参 数 的 右 顶 点 ， 则 常 数 a的 值 为 .10.已 知 2 2 2, , , 2 3 6, 4 9a b c R a b c a b c 则 的 最 小 值 为 .11.如 图 2， 在 半 径 为 7的 O 中 ,弦 , , 2,AB CD P PA PB 相 交 于 点1PD O ， 则 圆 心 到 弦 CD的 距 离 为 .（ 一 ） 必 做 题 （ 12-16题 ）12.若 20 9,T x dx T 则 常 数 的 值 为 . 13.执 行 如 图 3所 示 的 程 序 框 图 ， 如 果 输 入1, 2,a b a 则 输 出
6、 的 的 值 为 .14 设 1 2,F F 是 双 曲 线 2 22 2: 1( 0, 0)x yC a ba b 的 两 个 焦 点 ， P是 C上 一 点 ，若 21 6 ,PF PF a 且 1 2PFF 的 最 小 内 角 为 30， 则 C的 离 心 率 为 _。15 设 nS 为 数 列 na 的 前 n项 和 ， 1( 1) , ,2nn n nS a n N 则（ 1） 3a _；（ 2） 1 2 100S S S _。16 设 函 数 ( ) , 0, 0.x x xf x a b c c a c b 其 中 （ 1） 记 集 合 ( , , ) , ,M a b c a
7、b c a 不 能 构 成 一 个 三 角 形 的 三 条 边 长 ， 且 =b ， 则 ( , , )a b c M 所对 应 的 ( )f x 的 零 点 的 取 值 集 合 为 _。（ 2） 若 , ,a b c ABC是 的 三 条 边 长 ， 则 下 列 结 论 正 确 的 是 .（ 写 出 所 有 正 确 结论 的 序 号 ） ,1 , 0;x f x , , ,x x xx R xa b c 使 不 能 构 成 一 个 三 角 形 的 三 条 边 长 ； 若 1,2 , 0.ABC x f x 为 钝 角 三 角 形 ， 则 使三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字
8、说明、证明过程或演算步骤.17 （ 本 小 题 满 分 12分 ）已 知 函 数 2( ) sin( ) cos( ). ( ) 2sin6 3 2xf x x x g x 。 （ I） 若 是 第 一 象 限 角 ， 且 3 3( ) 5f 。 求 ( )g 的 值 ；（ II） 求 使 ( ) ( )f x g x 成 立 的 x的 取 值 集 合 。18 （ 本 小 题 满 分 12分 ） 某 人 在 如 图 4所 示 的 直 角 边 长 为 4米 的 三 角 形 地 块 的 每 个 格 点 （ 指 纵 、 横 的 交 叉 点 记 忆 三 角 形 的顶 点 ） 处 都 种 了 一 株 相
9、 同 品 种 的 作 物 。 根 据 历 年 的 种 植 经 验 ， 一 株 该 种 作 物 的 年 收 获 量 Y（ 单 位 ： kg）与 它 的 “相 近 ”作 物 株 数 X之 间 的 关 系 如 下 表 所 示 ：X 1 2 3 4Y 51 48 45 42这 里 ， 两 株 作 物 “相 近 ”是 指 它 们 之 间 的 直 线 距 离 不 超 过 1米 。（ I） 从 三 角 形 地 块 的 内 部 和 边 界 上 分 别 随 机 选 取 一 株 作 物 ， 求 它 们 恰 好 “相 近 ”的 概 率 ；（ II） 从 所 种 作 物 中 随 机 选 取 一 株 ， 求 它 的 年
10、 收 获 量 的 分 布 列 与 数 学 期 望 。 19 （ 本 小 题 满 分 12分 ）如 图 5， 在 直 棱 柱 11 1 1 /ABCD ABC D AD BC 中 ， ，190 , , 1, 3.BAD AC BD BC AD AA （ I） 证 明 ： 1AC B D ；（ II） 求 直 线 1 1 1BC ACD与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 。20 （ 本 小 题 满 分 13分 ）在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 将 从 点 M出 发 沿 纵 、 横 方 向 到 达 点 N的 任 一路 径 成 为 M 到 N 的 一 条 “L 路 径 ” 。 如
11、图 6 所 示 的 路 径1 2 3 1MM M M N MN N与 路 径 都 是 M到 N的 “L路 径 ”。 某 地 有 三 个 新 建 的 居民 区 ， 分 别 位 于 平 面 xOy内 三 点 (3,20), ( 10,0), (14,0)A B C 处 。 现 计 划 在 x轴 上 方 区 域 （ 包 含 x轴 ） 内 的 某 一 点 P处 修 建 一 个 文 化 中 心 。 （ I） 写 出 点 P到 居 民 区 A的 “L路 径 ”长 度 最 小 值 的 表 达 式 （ 不 要 求 证 明 ） ；（ II） 若 以 原 点 O为 圆 心 ， 半 径 为 1的 圆 的 内 部 是
12、 保 护 区 ， “L路 径 ”不 能进 入 保 护 区 ， 请 确 定 点 P的 位 置 ， 使 其 到 三 个 居 民 区 的 “L路 径 ”长 度 值 和 最 小 。21 （ 本 小 题 满 分 13分 ）过 抛 物 线 2: 2 ( 0)E x py p 的 焦 点 F 作 斜 率 分 别 为 1 2,k k 的 两 条 不 同 的 直 线 1 2,l l ， 且1 2 2k k ， 1l E与 相 交 于 点 A， B， 2l E与 相 交 于 点 C， D。 以 AB， CD为 直 径 的 圆 M， 圆 N（ M，N为 圆 心 ） 的 公 共 弦 所 在 的 直 线 记 为 l 。
13、（ I） 若 1 20, 0k k ， 证 明 ； 22FM FN P ；（ II） 若 点 M到 直 线 l 的 距 离 的 最 小 值 为 7 55 ， 求 抛 物 线 E的 方 程 。22 （ 本 小 题 满 分 13分 ） 已 知 0a ， 函 数 ( ) 2x af x x a 。（ I） 记 ( ) 0,4f x a在 区 间 上 的 最 大 值 为 g( ),求 ag( )的 表 达 式 ； （ II） 是 否 存 在 a ， 使 函 数 ( )y f x 在 区 间 0,4 内 的 图 像 上 存 在 两 点 ， 在 该 两 点 处 的 切 线 相互 垂 直 ？ 若 存 在 ，
14、 求 a的 取 值 范 围 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 。 参 考 答 案一 、 选 择 题1.B2.D3.D4.C5.B6.A7.C8.D二 、 填 空 题9.310.1211. 3212.313 914. 315. - 116 13 12100 116. x0 x 1 17.解 sin 6+cos 3 32 sin 12cos 12cos 32 sin 3sing2sin2 x2=1cos.( ) 3 1 1 3 3 3( ) sin cos cos sin 3sin ( ) 3sin2 2 2 2 5f x x x x x x f 51cos12sin2)(,54cos)
15、2,0(,53sin 2 g且( ) 21)6sin(cos21sin23cos1sin3)()( xxxxxxgxf Zkkkxkkx ,322,2652,626 完 18. 92p 46)( YE19.( ) ACBBABCDBDABCDBBDCBAABCD 111111 , 面且面是 直 棱 柱 DBACBDBDBBDBACBBBBDBDAC 11111 , ，面。面且又 （ ） 。的 夹 角与 平 面的 夹 角 即 直 线与 平 面直 线 111111 ,/ ACDADACDCBADBCCB 轴 正 半 轴 。为轴 正 半 轴 ，为点 ，量 解 题 。 设 原 点 在建 立 直 角 坐
16、 标 系 ， 用 向 XADYABA BDACyBDyACyCyBDDA ),0,3(),0,1()0,1(),0,0(),3,0,3(),0,0,3(,00,0 1 ， 则，设 ).3,0,3(),0,3,1(.30,0030 12 ADACyyyBDAC ），（），（的 一 个 法 向 量平 面则的 法 向 量 为设 平 面 303,313-.00, 111 ADnACDADn ACnnACD 7213733|,cos|sin003,313-1 ADnADnACD ），（），（的 一 个 法 向 量平 面 721 11 夹 角 的 正 弦 值 为与 平 面所 以 ACDBD20. （ ）
17、d=|x3|+|y20|， .,0 Rxy （ ） 本 问 考 查 分 析 解 决 应 用 问 题 的 能 力 ， 以 及 绝 对 值 的 基 本 知 识 。点 P到 A,B,C三 点 的 “L路 径 ”长 度 之 和 的 最 小 值 d= 水 平 距 离 之 和 的 最 小 值 h+ 垂 直距 离 之 和 的 最 小 值 v。 且 h和 v互 不 影 响 。 显 然 当 y=1时 ， v=20+1=21；时显 然 当 14,10 x ， 水 平 距 离 之 和 h=x(-10)+14x+|x-3| 24 ,且 当 x=3时 ，h=24.因 此 ,当 P(3,1)时 ， d=21+24=45.
18、所 以 ， 当 点 P(x,y)满 足 P(3,1)时 ,点 P到 A,B,C三 点 的 “L路 径 ”长 度 之 和 d的 最 小 值 为45.21. ( ) ，设 ),(),(),(),(),(),().2,0( 3434121244332211 yxNyxMyxDyxCyxByxApF 02,2 2 1211 pxpkxEpxkyl ：方 程 联 立 ， 化 简 整 理 得与 抛 物 线方 程 ：直 线 ),(2,20,2 211211212112221121 pkpkFMppkypkxxxpxxpkxx ),(2,2, 222223422134 pkpkFNppkypkxxx 同 理
19、.)1( 2121222221221 kkkkppkkpkkFNFM 22212122121212121 2)11(1)1(,122,0,0 ppkkkkpFNFMkkkkkkkkkk 所 以 ， 22pFNFM 成 立 . （ ） ,)2(221)2()2(21, 212121121 ppkppkpypyprrrNM 的 半 径 分 别 为、设 圆 ,2同理, 221211 ppkrppkr ., 21 rrNM 的 半 径 分 别 为、设 圆 则 21212212 )()( ryyxxNM 的 方 程 分 别 为、 ，的 方 程 为 ：， 直 线 lryyxx 22234234 )()(
20、0-)(2)(2 222123421223421212341234 rryyxxyyyxxx . 0)(-()()()(2)(2 12123412341234123412212212 rrrryyyyxxxxykkpxkkp 02)(1)()(2)(2)(2 222121222222122212212212212 kkkkpkkkkpkkpykkpxkkp 0202)(1)(2 22212221 yxkkpkkppyx 5575875 1)41()41(2|5 12|52|),( 21211212 1212 ppkkpyxdlyxM 的 距 离到 直 线点 yxp 168 2 抛 物 线 的
21、方 程 为22. ( ) 21231-)0(4,0)(4 aafxxfa 为上 单 调 递 减 ， 其 最 大 值在时 ，由 上 知 ， 当 上 单 调 递 增 。上 单 调 递 减 ， 在在时 ，当 4,0)(4 aaxfa );0()(4,1(,4,1(,21)0(243-1)4( fagaafaaf 的 最 大 值 为时 ，即 当解 得 ：令 )4()(1,0( faga 的 最 大 值 为时 ，当 时当 时当 ),1(,21 1,0(,243-1综上，g(a) a aaa（ II） 由 前 知 ， y=f(x)的 图 像 是 由 两 段 反 比 例 函 数 的 图 像 组 成 的 。
22、因 此 ， 若 在 图 像 上 存 在 两 点),(),( 2211 yxQyxP 满 足 题 目 要 求 ， 则 P,Q分 别 在 两 个 图 像 上 ， 且 1)()( 21 xfxf 。 40 2,)2( 3 ,2,)2( 3)( 22a axaax a axaxax axf 时当 时或当不 妨 设 )2)(2(38,(),0(,1)2( 3)2( 3 21212221 axaxaaxaxax aax a 8 2 42302 42334)(20 2 2 222 22122121 xa aax aaxaax aaxaxaaxxaxx )21,0(40311642 432 43421622 242 432821 4230 2 2222 2 aaaa aa aaxa xa axxa ax ax ， 且所 以 ， 当 )21,0(a 时 ， 函 数 ( )y f x 在 区 间 0,4 内 的 图 像 上 存 在 两 点 ， 在 该 两 点 处 的 切 线 相 互 垂 直 .
