2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-湖南卷.pdf

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1、 2007 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 理工农医类 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择）题两部分，满分 150 分 .考试用时 120 分钟 . 参考公式 : 如果事件 A 、 B 互斥，那么 ()()()PA B PA PB+ =+ 如果事件 A 、 B 相互独立，那么 )()()( BPAPABP = 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的 概率是 () (1 ) kk nk nn Pk CP P = 球的体积公式 3 4 3 VR= ,球的表面积公式 2 4SR= ，其中 R 表示球的半径 一、选择题：本大题共 10 小

2、题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1复数 2 2i 1+i 等于（ ） A 4i B 4i C 2i D 2i 2不等式 2 0 1 x x + 的解集是（ ） A (1)(12 ， B 12 ， C (1)2) +， D (12 ， 3设 M N， 是两个集合，则“ MN= ”是“ MN ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 4 设 ,ab nullnull 是非零向量， 若函数 () ( )( )f xxabaxb=+ null nullnull null 的图象是一条直线， 则必有 （

3、） A ab nullnull B /ab nullnull C |ab= null null D |ab null null 5设随机变量 服从标准正态分布 (0 1)N ， ，已知 ( 1.96) 0.025 = ，则 (| | 1.96)P ， ， ， 的图象和函数 2 () loggx x= 的图象的交点个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7下列四个命题中，不正确 的是（ ） A若函数 ()f x 在 0 x x= 处连续，则 00 lim ( ) lim ( ) xx xx f xfx + = B函数 2 2 () 4 x fx x + = 的不连续点是 2x = 和 2

4、x = C若函数 ()f x ， ()gx满足 lim () () 0 x fx gx = ，则 lim ( ) lim ( ) xx f xgx = D 1 11 lim 12 x x x = 8棱长为 1 的正方体 111 1 ABCD A B C D 的 8 个顶点都在球 O 的表面上， EF， 分别是棱 1 AA ， 1 DD 的中点，则直线 EF 被球 O 截得的线段长为（ ） A 2 2 B 1 C 2 1 2 + D 2 9设 12 FF， 分别是椭圆 22 22 1 xy ab +=（ 0ab）的左、右焦点，若在其右准线上存在 ,P 使线段 1 PF 的中垂线过点 2 F ，则

5、椭圆离心率的取值范围是（ ） A 2 0 2 ， B 3 0 3 ， C 2 1 2 ， D 3 1 3 ， 10设集合 123456M = ， ， ， ， ， ， 12 k SS Snull， 都是 M 的含两个元素的子集，且满足：对 任意的 iii Sab= ， ， jjj Sab= ， （ ij ， 1 2 3 ij k null、， ， ），都有 min min jj ii ii j j ab ab ba b a ，（ min x y， 表示两个数 x y， 中的较小者） ，则 k 的最大值 是（ ） A 10 B 11 C 12 D 13 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5

6、分，共 25 分把答案填在横线上 11圆心为 (1 1)， 且与直线 4xy+=相切的圆的方程是 12在 ABC 中，角 A BC， 所对的边分别为 abc， ，若 1a = ， b= 7 ， 3c = ， 3 C = ，则 B = 13函数 3 () 12f xxx=在区间 33 ， 上的最小值是 14设集合 1 ( ) | | 2 | 2 Axyy x=， ， ( ) | B xy y x b= +， ， AB ， （ 1） b 的取值范围是 ； （ 2）若 ()x yAB ， ，且 2x y+ 的最大值为 9，则 b 的值是 15将杨辉三角中的奇数换成 1，偶数换成 0，得到如图 1 所

7、示的 0-1 三角数表从上往下 数，第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行，第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行，第 n 次全 行的数都为 1 的是第 行；第 61 行中 1 的个数是 第 1 行 1 1 第 2 行 1 0 1 第 3 行 1 1 1 1 第 4 行 1 0 0 0 1 第 5 行 1 1 0 0 1 1 图 1 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 () cos 12 fx x =+ ， 1 () 1 sin2 2 gx x=+ （ I）设 0 x x= 是函数 ()y f

8、x= 图象的一条对称轴，求 0 ()gx 的值 （ II）求函数 () () ()hx f x gx= + 的单调递增区间 17 （本小题满分 12 分） 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人 员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有 60%， 参加过计算机培训的有 75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择 相互之间没有影响 （ I）任选 1 名下岗人员，求该人参加过培训的概率； （ II）任选 3 名下岗人员，记 为 3 人中参加过培训的人数，求 的分布列和期望 18 （本小题满分 12 分） 如

9、图 2， EF， 分别是矩形 ABCD 的边 AB CD， 的中点， G 是 EF 上的一点，将 GAB ， GCD 分别沿 ABCD， 翻折成 1 GAB ， 2 GCD ，并连结 12 GG ，使得平面 1 GAB 平 面 ABCD ， 12 GG AD/ ，且 12 GG AD 连结 2 BG ，如图 3 图 2 图 3 （ I）证明：平面 1 GAB 平面 12 GADG ； （ II）当 12AB = ， 25BC = ， 8EG = 时，求直线 2 BG 和平面 12 GADG 所成的角 19 （本小题满分 12 分） 如图 4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点 P 和居

10、民区 O 的公路，点 P 所在 的山坡面与山脚所在水平面 所成的二面角为 （ 090 nullnull ） ，且 2 sin 5 = ，点 P 到平 面 的距离 0.4PH = （ km） 沿山脚原有一段笔直的公路 AB 可供利用从点 O 到山脚修 路的造价为 a 万元 /km，原有公路改建费用为 2 a 万元 /km当山坡上公路长度为 l km （ 12l）时，其造价为 2 (1)la+ 万元已知 OA AB ， PB AB ， 1.5(km)AB = ， 3(km)OA = （ I）在 AB 上求一点 D ，使沿折线 PDAO 修建公路的总造价最小； （ II） 对于（ I）中得到的点 D

11、 ，在 DA 上求一点 E ，使沿折线 PDEO 修建公路的总造价 最小 （ III）在 AB 上是否存在两个不同的点 D， E，使沿折线 PD E O 修建公路的总造价小于 （ II）中得到的最小总造价，证明你的结论 20 （本小题满分 12 分） 已知双曲线 22 2xy=的左、右焦点分别为 1 F ， 2 F ，过点 2 F 的动直线与双曲线相交于 A B， 两点 （ I）若动点 M 满足 1111 FM FA FB FO=+ nullnullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull （其中 O 为坐标

12、原点） ，求点 M 的轨迹方程； 1 G 2 G D F C B A E A E B C F D G （ II）在 x 轴上是否存在定点 C ，使 CA nullnullnullnull CB nullnullnullnull 为常数？若存在，求出点 C 的坐标；若不存 在，请说明理由 21 （本小题满分 13 分） 已知 () nn n Aa b， （ nN*）是曲线 x y e= 上的点， 1 aa= ， n S 是数列 n a 的前 n 项和， 且满足 22 2 1 3 nnn SnaS =+， 0 n a ， 234n = ， ， （ I）证明：数列 2n n b b + （ 2n ）

13、是常数数列； （ II）确定 a 的取值集合 M ，使 aM 时，数列 n a 是单调递增数列； （ III）证明：当 aM 时，弦 1nn AA + （ nN*）的斜率随 n 单调递增 2007 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（理工农医类）参考答案 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1 C 2 D 3 B 4 A 5 C 6 B 7 C 8 D 9 D 10 B 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在横线上 11 22 (1)(1) 2xy+= 12 5 6 13

14、 16 14 （ 1） 1 )+， （ 2） 9 2 15 21 n ， 32 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16解： （ I）由题设知 1 () 1 cos(2 ) 26 fx x=+ + 因为 0 x x= 是函数 ()y fx= 图象的一条对称轴，所以 0 2 6 x + k= ， 即 0 2 6 xk=（ k Z ） 所以 00 11 ()1 sin2 1 sin( ) 226 gx x k=+ =+ 当 k 为偶数时， 0 1 13 ()1 sin 1 2644 gx =+ = = ， 当 k 为奇数时， 0 1 15 ()1 s

15、in 1 26 44 gx =+ =+ = （ II） 1 1 () () () 1 cos2 1 sin2 26 hx f x gx x x =+=+ + 1 31 3 1 3 cos 2 sin 2 cos2 sin 2 26 2222 xx xx =+= + 1 3 sin 2 232 x =+ 当 2 22 23 2 kxk + +，即 5 12 12 kxk + （ kZ ）时， 函数 1 3 () sin2 232 hx x =+ 是增函数， 故函数 ()hx的单调递增区间是 5 12 12 kk + ， （ kZ ） 17解：任选 1 名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件

16、A ， “该人参加过计算机培 训”为事件 B ，由题设知，事件 A 与 B 相互独立，且 () 0.6PA= ， ( ) 0.75PB= （ I）解法一：任选 1 名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是 1 ( ) () () 0.40.25 0.1PPAB PAPB= = 所以该人参加过培训的概率是 21 110.10.9PP= = = 解法二：任选 1 名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是 3 ( ) ( ) 0.6 0.25 0.4 0.75 0.45PPABPAB=+=+= 该人参加过两项培训的概率是 4 ( ) 0.6 0.75 0.45PPAB= 所以该人参加过培训的概率是 5

17、34 0.45 0.45 0.9PPP=+= + = （ II）因为每个人的选择是相互独立的，所以 3 人中参加过培训的人数 服从二项分布 (3 0.9)B ， ， 3 3 () 0.90.1 kk k PkC = ， 0123k = ， ， ，即 的分布列是 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0. 243 0.729 的期望是 1 0.027 2 0.243 3 0.729 2.7E = + + = （或 的期望是 30.9 2.7E = =） 18解：解法一： （）因为平面 1 GAB 平面 ABCD ，平面 1 GAB平面 ABCD AB= ， AD AB ， AD 平面 AB

18、CD ，所以 AD 平面 1 GAB，又 AD 平面 12 GADG ，所以 平面 1 GAB 平面 12 GADG （ II）过点 B 作 1 BHAG 于点 H ，连结 2 GH 由（ I）的结论可知， BH 平面 12 GADG ， 所以 2 BGH 是 2 BG 和平面 12 GADG 所成的角 因为平面 1 GAB 平面 ABCD ，平面 1 GAB 平面 ABCD AB= ， 1 GE AB ， 1 GE 平面 1 GAB，所以 1 GE 平面 ABCD ，故 1 GE EF 因为 12 GG AD ， AD EF= ，所以可在 EF 上取一点 O ，使 12 EO G G= ，又

19、因为 12 GG AD EO ，所以四边形 12 GEOG 是矩形 由题设 12AB = ， 25BC = ， 8EG = ，则 17GF = 所以 21 8GO GE= = ， 2 17GF= ， 22 17 8 15OF =， 12 10GG EO= 因为 AD 平面 1 GAB， 12 GG AD ，所以 12 GG 平面 1 GAB，从而 12 1 GG GB 1 G 2 G D F C B A E O H 故 222 2222 211 6 8 10 200BG BE EG G G=+ =+=， 2 10 2BG = 又 22 1 6810AG =+=，由 11 BHAG GEAB=i

20、i得 812 48 10 5 BH = 故 2 2 48 1 12 2 sin 525 10 2 BH BG H BG = 即直线 2 BG 与平面 12 GADG 所成的角是 12 2 arcsin 25 解法二： （ I） 因为平面 1 GAB 平面 ABCD ， 平面 1 GAB平面 ABCD AB= ， 1 GE AB ， 1 GE平面 1 GAB， 所以 1 GE 平面 ABCD ， 从而 1 GE AD 又 AB AD ， 所以 AD 平面 1 GAB因为 AD 平面 12 GADG ，所以平面 1 GAB 平面 12 GADG （ II）由（ I）可知， 1 GE 平面 ABCD

21、 故可以 E 为原点，分别以直线 1 EB EF EG， 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系（如图） ， 由题设 12AB = ， 25BC = ， 8EG = ，则 6EB = ， 25EF = ， 1 8EG = ，相关各点的坐标分别是 (600)A ， ， ， ( 6 25 0)D ， ， 1 (0 0 8)G ， ， ， (600)B ， ， 所以 (0 25 0)AD = nullnullnullnull ， ， 1 (6 0 8)AG = nullnullnullnullnull ， ， 设 ()nxyz= null ， 是平面 12 GADG 的一个法向量， 由 1

22、 0 0 nAD nAG = = null nullnullnullnull i null nullnullnullnullnull i ， . 得 25 0 680 y xz = += ， 故可取 (4 0 3)n = null ， ， 过点 2 G 作 2 GO 平面 ABCD 于点 O ，因为 22 GC GD= ，所以 OC OD= ，于是点 O 在 y 轴上 因为 12 GG AD ，所以 12 GG EF ， 21 8GO GE= = 设 2 (0 8)Gm， （ 025m ） ，由 22 2 17 8 (25 )m=+ ，解得 10m = ， 所以 2 (0 10 8) (6 0

23、 0) ( 6 10 8)BG = nullnullnullnullnull ， ， ， 设 2 BG 和平面 12 GADG 所成的角是 ，则 2 22222 2 |24 24| 122 sin 25 6108 43 BG n BG n = = + + nullnullnullnullnull null i nullnullnullnullnull null i i 故直线 2 BG 与平面 12 GADG 所成的角是 12 2 arcsin 25 19解： （ I）如图， PH ， HB ， PB AB ， 由三垂线定理逆定理知， AB HB ，所以 PBH 是 山坡与 所成二面角的平面角

24、， 则 PBH = ， 1 sin PH PB = 设 (km)BD x= ， 01.5x 则 22 2 1PD x PB x=+=+1 2 ， 1 G 2 G D F C B A E O x y z A O E D B H P 记总造价为 1 ()f x 万元， 据题设有 22 1 111 () ( 1 ) ( 3) 4 f xPD ADAOax x a=+=+ 2 143 3 416 x aa = + + 当 1 4 x = ，即 1 (km) 4 BD = 时，总造价 1 ()f x 最小 （ II）设 (km)AE y= ， 5 0 4 y，总造价为 2 ()f y 万元，根据题设有

25、22 2 13 1 () 1 3 22 4 f yPD y ya =+ 2 43 3 216 y y aa =+ 则 () 2 2 1 2 3 y f ya y = + ，由 2 () 0fy = ，得 1y = 当 (0 1)y ， 时， 2 () 0fy ， 2 ()f y 在 5 1 4 ， 内是增函数 故当 1y = ，即 1AE = （ km）时总造价 2 ()f y 最小，且最小总造价为 67 16 a万元 （ III）解法一：不存在这样的点 D， E 事实上，在 AB 上任取不同的两点 D， E为使总造价最小， E 显然不能位于 D 与 B 之 间故可设 E位于 D与 A 之间，

26、且 BD= 1 (km)x ， 1 (km)AE y= ， 12 3 0 2 xy+，总 造价为 S 万元，则 22 11 11 11 3 4 xy Sx y a =+ 类似于（ I） 、 （ II）讨论知， 2 1 1 1 216 x x ， 2 1 1 3 3 22 y y + ，当且仅当 1 1 4 x = ， 1 1y = 同时成立时，上述两个不等 式等号同时成立，此时 1 (km) 4 BD= ， 1(km)AE = ， S 取得最小值 67 16 a ，点 DE， 分 别与点 DE， 重合，所以不存在这样的点 DE ， ，使沿折线 PD E O 修建公路的总造价 小于（ II）中得

27、到的最小总造价 解法二：同解法一得 2211 11 11 3 4 xy Sx y a =+ ( ) ( ) 2 22 11111 11 43 33 3 44 16 x ayyyyaa = + + + + 22 1111 14 23( 3 )( 3 ) 41 y yy ya a + + + 67 16 a= 当且仅当 1 1 4 x = 且 22 1111 3( 3 )( 3 )yyyy+ + ，即 11 1 1 4 xy= =， 同时成立时， S 取得 最小值 67 16 a，以上同解法一 20解：由条件知 1 (20)F ， ， 2 (2 0)F ， ，设 11 ()Ax y， ， 22 (

28、)B xy， 解法一： （ I）设 ()M xy， ，则 则 1 (2)FM x y=+ nullnullnullnullnull ， ， 11 1 (2)FA x y=+ nullnullnullnull ， ， 12 21 (2) (20)FB x y FO=+ = nullnullnullnull nullnullnullnull ， ， ，由 1111 FM FA FB FO=+ nullnullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull 得 12 12 26xxx yy y +=+ + =+ ， 即

29、12 12 4xx x yy y += += ， 于是 AB 的中点坐标为 4 22 x y ， 当 AB 不与 x 轴垂直时， 12 12 2 4 8 2 2 y yy y x x xx = ，即 12 12 () 8 y yy xx x = 又因为 AB， 两点在双曲线上，所以 22 11 2xy = ， 22 22 2xy = ，两式相减得 1212 121 2 ()()()( )x xxx y yy y+=+，即 12 12 ()(4)()x xx y yy = 将 12 12 () 8 y y yxx x = 代入上式，化简得 22 (6) 4xy = 当 AB 与 x 轴垂直时，

30、12 2xx=，求得 (8 0)M ， ，也满足上述方程 所以点 M 的轨迹方程是 22 (6) 4xy= （ II）假设在 x 轴上存在定点 (0)Cm， ，使 CA CB nullnullnullnullnullnullnullnull i 为常数 当 AB 不与 x 轴垂直时，设直线 AB 的方程是 (2)( 1)ykx k= 代入 22 2xy=有 22 2 2 (1 ) 4 (4 2) 0kx kx k+= 则 12 x x， 是上述方程的两个实根，所以 2 12 2 4 1 k xx k += ， 2 12 2 42 1 k xx k + = ， 于是 2 12 12 ()()(2

31、)(2)CA CB x m x m k x x= + nullnullnullnullnullnullnullnull 22 12 1 2 (1) (2 )( )4kxxkmxxkm=+ + + 22 22 22 (1)(42)4(2 ) 4 11 kk kkm km + + = 2 22 22 2(1 2 ) 2 4 4 2(1 2 ) mk m mm m kk + = += + + 因为 CA CB nullnullnullnullnullnullnullnull 是与 k 无关的常数，所以 44 0m = ，即 1m = ，此时 CA CB nullnullnullnullnullnul

32、lnullnull = 1 当 AB 与 x 轴垂直时，点 AB， 的坐标可分别设为 (2 2)， ， (2 2)， ， 此时 (1 2 ) (1 2 ) 1CA CB = nullnullnullnullnullnullnullnull i ， 故在 x 轴上存在定点 (1 0)C ， ，使 CA CB nullnullnullnullnullnullnullnull 为常数 解法二： （ I）同解法一的（ I）有 12 12 4xx x yy y + = += ， 当 AB 不与 x 轴垂直时，设直线 AB 的方程是 (2)( 1)ykx k= 代入 22 2xy=有 22 2 2 (1

33、) 4 (4 2) 0kx kx k+= 则 12 x x， 是上述方程的两个实根，所以 2 12 2 4 1 k xx k += 2 12 12 2 44 (4) 4 11 kk yykxx k += += = 由得 2 2 4 4 1 k x k = 2 4 1 k y k = 当 0k 时， 0y ，由得， 4x k y = ，将其代入有 2 22 2 4 4 4( 4) (4) (4) 1 x yxy y x x y y = 整理得 22 (6) 4xy = 当 0k = 时，点 M 的坐标为 (4 0)， ，满足上述方程 当 AB 与 x 轴垂直时， 12 2xx=，求得 (8 0)

34、M ， ，也满足上述方程 故点 M 的轨迹方程是 22 (6) 4xy= （ II）假设在 x 轴上存在定点点 (0)Cm， ，使 CA CB nullnullnullnullnullnullnullnull i 为常数， 当 AB 不与 x 轴垂直时，由（ I）有 2 12 2 4 1 k xx k + =， 2 12 2 42 1 k xx k + = 以上同解法一的（ II） 21解： （ I）当 2n 时，由已知得 22 2 1 3 nn n SS na = 因为 1 0 nnn aSS = ，所以 2 1 3 nn SS n += 于是 2 1 3( 1) nn SS n + +=

35、+ 由得 1 63 nn aan + +=+ 于是 21 69 nn aa n + +=+ 由得 2 6 nn aa + =， 所以 2 2 62 n nn n a aan a n b e ee be + + + = =，即数列 2 (2) n n b n b + 是常数数列 （ II）由有 21 12SS+=，所以 2 12 2aa= 由有 32 15aa+ = ， 43 21aa+=，所以 3 32aa=+ ， 4 18 2aa= 而 表明：数列 2 k a 和 21 k a + 分别是以 2 a ， 3 a 为首项， 6 为公差的等差数列， 所以 22 6( 1) k aa k=+ ，

36、21 3 6( 1) k aak + =+ ， 22 4 6( 1)( ) k aakk + = +N* ， 数列 n a 是单调递增数列 12 aa且 22122kk k aa a + + 对任意的 kN*成立 12 aa且 234 6( 1) 6( 1) 6( 1)ak ak ak+ 1234 aaaa 915 12 2 3 2 18 2 44 aaaaa+ 即所求 a 的取值集合是 915 44 Ma a = 时， () 0gx ， ()gx在 0 ()x +， 上为增函数， 当 0 x x 时， () 0gx =，从而 ( ) 0fx ，所以 ()f x 在 0 ()x， 和 0 ()

37、x +， 上 都是增函数 由（ II）知， aM 时，数列 n a 单调递增， 取 0 n x a= ，因为 12nn n aa a + ，所以 1 1 nn aa n nn ee k aa + + = 2 2 nn aa nn ee aa + + 取 02n x a + = ，因为 12nn n aa a + 所以 1nn kk + ，即弦 1 () nn AA n + N* 的斜率随 n 单调递增 解法二：设函数 1 1 () n ax n ee fx x a + + = ，同解法一得， ()f x 在 1 () n a + ， 和 1 () n a + +， 上都是 增函数， 所以 11 1 1 lim nn n n n aa ax a n na nn n ee ee ke aa xa + + + = = 故 1nn kk + ，即弦 1 () nn AA n + N* 的斜率随 n 单调递增