2020年新高考全国卷Ⅱ数学试题（海南卷）及答案解析.docx

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1、试 卷 第 1页 ， 总 24页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 绝密启用前2020年新高考全国卷数学试题（海南卷）试卷副标题考 试 范 围 ： xxx； 考 试 时 间 ： 100分 钟 ； 命 题 人 ： xxx学 校 :_姓 名 ： _班 级 ： _考 号 ： _题 号 一 二 三 四 总 分得 分注 意 事 项 ：1 答 题 前 填 写 好 自 己 的 姓 名 、 班 级 、 考 号 等 信 息 $2 请 将 答 案 正 确 填 写 在 答 题 卡 上第 I 卷 （ 选 择 题 ）请 点 击 修 改 第 I卷 的 文 字 说 明 评 卷 人 得 分 一

2、 、 单 选 题1 设 集 合 A2， 3， 5， 7， B=1， 2， 3， 5， 8， 则 A B =（ ）A 1， 3， 5， 7 B 2， 3 C 2， 3， 5 D 1， 2， 3， 5，7， 8【 答 案 】 C【 解 析 】【 分 析 】 根 据 集 合 交 集 的 运 算 可 直 接 得 到 结 果 .【 详 解 】因 为 A2， 3， 5， 7， B=1， 2， 3， 5， 8，所 以 2,3,5A B故 选 ： C【 点 睛 】本 题 考 查 的 是 集 合 交 集 的 运 算 ， 较 简 单 .2 (1 2 )(2 )i i =（ ） A 4 5i B 5i C -5i

3、D 2 3i【 答 案 】 B【 解 析 】【 分 析 】 试 卷 第 2页 ， 总 24页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 直 接 计 算 出 答 案 即 可 .【 详 解 】 2(1 2 )(2 ) 2 4 2 5i i i i i i 故 选 ： B【 点 睛 】本 题 考 查 的 是 复 数 的 计 算 ， 较 简 单 .3 在 ABC 中 ， D是 AB边 上 的 中 点 ， 则 CB=（ ）A 2CD CA B 2CD CA C 2CD CA D 2CD CA 【 答 案 】 C 【 解 析 】【 分 析 】根 据 向 量 的 加 减 法 运 算 法 则 算

4、 出 即 可 .【 详 解 】 2 2 2CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA 故 选 ： C【 点 睛 】本 题 考 查 的 是 向 量 的 加 减 法 ， 较 简 单 .4 要 安 排 3名 学 生 到 2个 乡 村 做 志 愿 者 ， 每 名 学 生 只 能 选 择 去 一 个 村 ， 每 个 村 里 至 少有 一 名 志 愿 者 ， 则 不 同 的 安 排 方 法 共 有 （ ）A 2种 B 3种 C 6种 D 8种【 答 案 】 C【 解 析 】【 分 析 】 首 先 将 3名 学 生 分 成 两 个 组 ， 然 后 将 2组 学 生 安 排 到 2个 村 即

5、可 .【 详 解 】第 一 步 ， 将 3名 学 生 分 成 两 个 组 ， 有 1 23 2 3C C 种 分 法 试 卷 第 3页 ， 总 24页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 第 二 步 ， 将 2组 学 生 安 排 到 2个 村 ， 有 22 2A 种 安 排 方 法所 以 ， 不 同 的 安 排 方 法 共 有 3 2 6 种故 选 ： C【 点 睛 】解 答 本 类 问 题 时 一 般 采 取 先 组 后 排 的 策 略 .5 已 知 函 数 2( ) lg( 4 5)f x x x 在 ( , )a 上 单 调 递 增 ， 则 a的 取 值 范

6、 围 是 （ ）A (2, ) B 2, ) C (5, ) D 5, )【 答 案 】 D【 解 析 】 【 分 析 】首 先 求 出 f x 的 定 义 域 ， 然 后 求 出 2( ) lg( 4 5)f x x x 的 单 调 递 增 区 间 即 可 .【 详 解 】由 2 4 5 0 x x 得 5x 或 1x 所 以 f x 的 定 义 域 为 , 1 (5, ) 因 为 2 4 5y x x 在 (5, ) 上 单 调 递 增所 以 2( ) lg( 4 5)f x x x 在 (5, ) 上 单 调 递 增 所 以 5a故 选 ： D【 点 睛 】在 求 函 数 的 单 调 区

7、 间 时 一 定 要 先 求 函 数 的 定 义 域 .6 日 晷 是 中 国 古 代 用 来 测 定 时 间 的 仪 器 ， 利 用 与 晷 面 垂 直 的 晷 针 投 射 到 晷 面 的 影 子 来测 定 时 间 把 地 球 看 成 一 个 球 (球 心 记 为 O)， 地 球 上 一 点 A的 纬 度 是 指 OA与 地 球 赤 道所 在 平 面 所 成 角 ， 点 A处 的 水 平 面 是 指 过 点 A且 与 OA垂 直 的 平 面 .在 点 A处 放 置 一 个日 晷 ， 若 晷 面 与 赤 道 所 在 平 面 平 行 ， 点 A处 的 纬 度 为 北 纬 40， 则 晷 针 与

8、点 A处 的 水 平面 所 成 角 为 （ ） 试 卷 第 4页 ， 总 24页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 A 20 B 40C 50 D 90【 答 案 】 B 【 解 析 】【 分 析 】画 出 过 球 心 和 晷 针 所 确 定 的 平 面 截 地 球 和 晷 面 的 截 面 图 ， 根 据 面 面 平 行 的 性 质 定 理 和 线面 垂 直 的 定 义 判 定 有 关 截 线 的 关 系 ， 根 据 点 A处 的 纬 度 ， 计 算 出 晷 针 与 点 A处 的 水 平面 所 成 角 .【 详 解 】画 出 截 面 图 如 下 图 所 示 ， 其 中 C

9、D是 赤 道 所 在 平 面 的 截 线 ； l是 点 A处 的 水 平 面 的 截 线 ，依 题 意 可 知 OA l ； AB 是 晷 针 所 在 直 线 .m是 晷 面 的 截 线 ， 依 题 意 依 题 意 ,晷 面 和 赤 道平 面 平 行 ， 晷 针 与 晷 面 垂 直 ， 根 据 平 面 平 行 的 性 质 定 理 可 得 可 知 /m CD、 根 据 线 面 垂 直 的 定 义 可 得 AB m .由 于 40 , /AOC m CD ， 所 以 40OAG AOC ，由 于 90OAG GAE BAE GAE ，所 以 40BAE OAG ， 也 即 晷 针 与 点 A处 的

10、 水 平 面 所 成 角 为 40BAE .故 选 ： B 【 点 睛 】 试 卷 第 5页 ， 总 24页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 本 小 题 主 要 考 查 中 国 古 代 数 学 文 化 ， 考 查 球 体 有 关 计 算 ， 涉 及 平 面 平 行 ， 线 面 垂 直 的 性质 ， 属 于 中 档 题 .7 某 中 学 的 学 生 积 极 参 加 体 育 锻 炼 ， 其 中 有 96%的 学 生 喜 欢 足 球 或 游 泳 ， 60%的 学 生喜 欢 足 球 ， 82%的 学 生 喜 欢 游 泳 ， 则 该 中 学 既 喜 欢 足 球 又 喜

11、欢 游 泳 的 学 生 数 占 该 校 学 生总 数 的 比 例 是 （ ）A 62% B 56%C 46% D 42%【 答 案 】 C【 解 析 】【 分 析 】 记 “ 该 中 学 学 生 喜 欢 足 球 ” 为 事 件 A， “ 该 中 学 学 生 喜 欢 游 泳 ” 为 事 件 B ， 则 “ 该 中学 学 生 喜 欢 足 球 或 游 泳 ” 为 事 件 A B ， “ 该 中 学 学 生 既 喜 欢 足 球 又 喜 欢 游 泳 ” 为 事 件A B ， 然 后 根 据 积 事 件 的 概 率 公 式 ( )P A B ( ) ( ) ( )P A P B P A B 可 得 结 果

12、 .【 详 解 】记 “ 该 中 学 学 生 喜 欢 足 球 ” 为 事 件 A， “ 该 中 学 学 生 喜 欢 游 泳 ” 为 事 件 B ， 则 “ 该 中学 学 生 喜 欢 足 球 或 游 泳 ” 为 事 件 A B ， “ 该 中 学 学 生 既 喜 欢 足 球 又 喜 欢 游 泳 ” 为 事 件A B ，则 ( ) 0.6P A ， ( ) 0.82P B ， 0.96P A B ， 所 以 ( )P A B ( ) ( ) ( )P A P B P A B 0.6 0.82 0.96 0.46 所 以 该 中 学 既 喜 欢 足 球 又 喜 欢 游 泳 的 学 生 数 占 该 校

13、 学 生 总 数 的 比 例 为 46%.故 选 ： C.【 点 睛 】本 题 考 查 了 积 事 件 的 概 率 公 式 ， 属 于 基 础 题 .8 若 定 义 在 R的 奇 函 数 f(x)在 ( ,0) 单 调 递 减 ， 且 f(2)=0， 则 满 足 ( 1 0)xf x 的 x的 取 值 范 围 是 （ ）A )1,1 3, B 3, 1 , 01 C 1,0 1, ) D 1,0 1,3 【 答 案 】 D【 解 析 】【 分 析 】 试 卷 第 6页 ， 总 24页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 首 先 根 据 函 数 奇 偶 性 与 单 调 性 ，

14、 得 到 函 数 ( )f x 在 相 应 区 间 上 的 符 号 ， 再 根 据 两 个 数 的乘 积 大 于 等 于 零 ， 分 类 转 化 为 对 应 自 变 量 不 等 式 ， 最 后 求 并 集 得 结 果 .【 详 解 】因 为 定 义 在 R上 的 奇 函 数 ( )f x 在 ( ,0) 上 单 调 递 减 ， 且 (2) 0f ，所 以 ( )f x 在 (0, ) 上 也 是 单 调 递 减 ， 且 ( 2) 0f ， (0) 0f ，所 以 当 ( , 2) (0,2)x 时 ， ( ) 0f x ， 当 ( 2,0) (2, )x 时 ， ( ) 0f x ，所 以 由

15、 ( 1 0)xf x 可 得 ：02 1 0 x x 或 00 1 2x x 或 0 x 解 得 1 0 x 或 1 3x ，所 以 满 足 ( 1 0)xf x 的 x的 取 值 范 围 是 1,0 1,3 ，故 选 ： D.【 点 睛 】本 题 考 查 利 用 函 数 奇 偶 性 与 单 调 性 解 抽 象 函 数 不 等 式 ， 考 查 分 类 讨 论 思 想 方 法 ， 属 中 档题 .评 卷 人 得 分 二 、 多 选 题 9 我 国 新 冠 肺 炎 疫 情 进 入 常 态 化 ， 各 地 有 序 推 进 复 工 复 产 ， 下 面 是 某 地 连 续 11天 复 工复 产 指 数

16、 折 线 图 ， 下 列 说 法 正 确 的 是 （ ） A 这 11天 复 工 指 数 和 复 产 指 数 均 逐 日 增 加 ;B 这 11天 期 间 ， 复 产 指 数 增 量 大 于 复 工 指 数 的 增 量 ;C 第 3天 至 第 11天 复 工 复 产 指 数 均 超 过 80%; 试 卷 第 7页 ， 总 24页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 D 第 9天 至 第 11天 复 产 指 数 增 量 大 于 复 工 指 数 的 增 量 ;【 答 案 】 CD【 解 析 】【 分 析 】注 意 到 折 线 图 中 有 递 减 部 分 ， 可 判 定

17、 A错 误 ； 注 意 考 查 第 1天 和 第 11天 的 复 工 复 产 指数 的 差 的 大 小 ， 可 判 定 B错 误 ； 根 据 图 象 ， 结 合 复 工 复 产 指 数 的 意 义 和 增 量 的 意 义 可 以判 定 CD正 确 .【 详 解 】由 图 可 知 ， 第 1天 到 第 2天 复 工 指 数 减 少 ， 第 7天 到 第 8天 复 工 指 数 减 少 ， 第 10天 到第 11复 工 指 数 减 少 ， 第 8天 到 第 9天 复 产 指 数 减 少 ， 故 A错 误 ； 由 图 可 知 ， 第 一 天 的 复 产 指 标 与 复 工 指 标 的 差 大 于 第

18、11天 的 复 产 指 标 与 复 工 指 标 的 差 ，所 以 这 11天 期 间 ， 复 产 指 数 增 量 小 于 复 工 指 数 的 增 量 ， 故 B错 误 ;由 图 可 知 ， 第 3天 至 第 11天 复 工 复 产 指 数 均 超 过 80%， 故 C正 确 ;由 图 可 知 ， 第 9天 至 第 11天 复 产 指 数 增 量 大 于 复 工 指 数 的 增 量 ， 故 D正 确 ;【 点 睛 】本 题 考 查 折 线 图 表 示 的 函 数 的 认 知 与 理 解 ， 考 查 理 解 能 力 ， 识 图 能 力 ， 推 理 能 力 ， 难 点在 于 指 数 增 量 的 理

19、解 与 观 测 ， 属 中 档 题 .10 已 知 曲 线 2 2: 1C mx ny .（ ） A 若 mn0， 则 C是 椭 圆 ， 其 焦 点 在 y轴 上B 若 m=n0， 则 C是 圆 ， 其 半 径 为 nC 若 mn0， 则 C是 两 条 直 线【 答 案 】 ACD【 解 析 】【 分 析 】结 合 选 项 进 行 逐 项 分 析 求 解 ， 0m n 时 表 示 椭 圆 ， 0m n 时 表 示 圆 ， 0mn 时 表 示 双 曲 线 ， 0, 0m n 时 表 示 两 条 直 线 .【 详 解 】对 于 A， 若 0m n ， 则 2 2 1mx ny 可 化 为 2 2

20、11 1x ym n ， 试 卷 第 8页 ， 总 24页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 因 为 0m n ， 所 以 1 1m n ，即 曲 线 C表 示 焦 点 在 y轴 上 的 椭 圆 ， 故 A正 确 ；对 于 B， 若 0m n ， 则 2 2 1mx ny 可 化 为 2 2 1x y n ，此 时 曲 线 C表 示 圆 心 在 原 点 ， 半 径 为 nn 的 圆 ， 故 B不 正 确 ；对 于 C， 若 0mn ， 则 2 2 1mx ny 可 化 为 2 2 11 1x ym n ，此 时 曲 线 C表 示 双 曲 线 ， 由 2 2 0mx ny

21、可 得 my xn ， 故 C正 确 ；对 于 D， 若 0, 0m n ， 则 2 2 1mx ny 可 化 为 2 1y n ，ny n ， 此 时 曲 线 C表 示 平 行 于 x轴 的 两 条 直 线 ， 故 D正 确 ；故 选 ： ACD.【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 曲 线 方 程 的 特 征 ， 熟 知 常 见 曲 线 方 程 之 间 的 区 别 是 求 解 的 关 键 ， 侧 重 考 查 数 学 运 算 的 核 心 素 养 .11 下 图 是 函 数 y=sin(x+)的 部 分 图 像 ， 则 sin(x+)= （ ） A sin( 3x ） B sin( 2 )3

22、x C cos(2 6x ） D 5cos( 2 )6 x【 答 案 】 BC【 解 析 】【 分 析 】 试 卷 第 9页 ， 总 24页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 首 先 利 用 周 期 确 定 的 值 ， 然 后 确 定 的 值 即 可 确 定 函 数 的 解 析 式 ， 最 后 利 用 诱 导 公 式可 得 正 确 结 果 .【 详 解 】由 函 数 图 像 可 知 ： 22 3 6 2T ， 则 2 2 2T ， 所 以 不 选 A,当 2 53 62 12x 时 ， 1y 5 32 212 2 k k Z ，解 得 ： 22 3k k Z ，

23、即 函 数 的 解 析 式 为 ：2sin 2 2 sin 2 cos 2 sin 23 6 2 6 3y x k x x x .而 5cos 2 cos( 2 )6 6x x 故 选 ： BC.【 点 睛 】已 知 f(x) Asin(x )(A 0， 0)的 部 分 图 象 求 其 解 析 式 时 ， A 比 较 容 易 看 图 得 出 ，困 难 的 是 求 待 定 系 数 和 ， 常 用 如 下 两 种 方 法 ：(1)由 2T 即 可 求 出 ； 确 定 时 ， 若 能 求 出 离 原 点 最 近 的 右 侧 图 象 上 升 (或 下 降 )的 “零 点 ”横 坐 标 x0， 则 令

24、x0 0(或 x0 )， 即 可 求 出 .(2)代 入 点 的 坐 标 ， 利 用 一 些 已 知 点 (最 高 点 、 最 低 点 或 “零 点 ”)坐 标 代 入 解 析 式 ， 再 结 合图 形 解 出 和 ， 若 对 A， 的 符 号 或 对 的 范 围 有 要 求 ， 则 可 用 诱 导 公 式 变 换 使 其 符 合要 求 .12 已 知 a0， b0， 且 a+b=1， 则 （ ）A 2 2 12a b B 12 2a b C 2 2log log 2a b D 2a b 【 答 案 】 ABD【 解 析 】【 分 析 】根 据 1a b ， 结 合 基 本 不 等 式 及 二

25、 次 函 数 知 识 进 行 求 解 . 试 卷 第 10页 ， 总 24页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 【 详 解 】对 于 A， 22 2 2 21 2 2 1a b a a a a 212 1 12 2 2a ，当 且 仅 当 12a b 时 ， 等 号 成 立 ， 故 A正 确 ；对 于 B， 2 1 1a b a ， 所 以 1 12 2 2a b ， 故 B正 确 ；对 于 C， 22 2 2 2 2 1log log log log log 22 4a ba b ab ，当 且 仅 当 12a b 时 ， 等 号 成 立 ， 故 C不 正 确 ； 对

26、于 D， 因 为 2 1 2 1 2a b ab a b ，所 以 2a b ， 当 且 仅 当 12a b 时 ， 等 号 成 立 ， 故 D正 确 ；故 选 ： ABD【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 不 等 式 的 性 质 ， 综 合 了 基 本 不 等 式 ， 指 数 函 数 及 对 数 函 数 的 单 调 性 ， 侧 重考 查 数 学 运 算 的 核 心 素 养 . 第 II 卷 （ 非 选 择 题 ）请 点 击 修 改 第 II卷 的 文 字 说 明 评 卷 人 得 分 三 、 解 答 题13 已 知 公 比 大 于 1的 等 比 数 列 na 满 足 2 4 320, 8a

27、a a （ 1） 求 na 的 通 项 公 式 ；（ 2） 求 11 2 2 3 1( 1)n n na a a a a a .【 答 案 】 （ 1） 2nna ； （ 2） 2 38 2( 1)5 5nn 【 解 析 】【 分 析 】(1)由 题 意 得 到 关 于 首 项 、 公 比 的 方 程 组 ， 求 解 方 程 组 得 到 首 项 、 公 比 的 值 即 可 确 定 数 列的 通 项 公 式 ；(2)首 先 求 得 数 列 1 11 n n na a 的 通 项 公 式 ， 然 后 结 合 等 比 数 列 前 n 项 和 公 式 求 解 其 试 卷 第 11页 ， 总 24页外

28、装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 前 n 项 和 即 可 .【 详 解 】(1) 设 等 比 数 列 na 的 公 比 为 q(q1)， 则 32 4 1 123 1 208a a a q a qa a q ，整 理 可 得 ： 22 5 2 0q q ，11, 2, 2q q a ，数 列 的 通 项 公 式 为 ： 12 2 2n nna .(2)由 于 ： 1 1 2 11 1 11 2 21 1 2n nn n nn n na a ， 故 ：1 1 2 2 3 1( 1)n n na a a a a a 3 5 7 9 1 2 12 2 2 2 ( 1)

29、2n n 3 2 2 322 1 2 8 2( 1)5 51 2 n nn .【 点 睛 】等 比 数 列 基 本 量 的 求 解 是 等 比 数 列 中 的 一 类 基 本 问 题 ， 解 决 这 类 问 题 的 关 键 在 于 熟 练 掌握 等 比 数 列 的 有 关 公 式 并 能 灵 活 运 用 ， 等 差 数 列 与 等 比 数 列 求 和 公 式 是 数 列 求 和 的 基 础 .14 已 知 椭 圆 C： 2 22 2 1( 0)x y a ba b 过 点 M（ 2， 3） ,点 A为 其 左 顶 点 ， 且 AM的斜 率 为 12 ，（ 1） 求 C的 方 程 ；（ 2） 点

30、 N为 椭 圆 上 任 意 一 点 ， 求 AMN的 面 积 的 最 大 值 .【 答 案 】 （ 1） 2 2 116 12x y ； （ 2） 18. 【 解 析 】【 分 析 】(1)由 题 意 分 别 求 得 a,b 的 值 即 可 确 定 椭 圆 方 程 ；(2)首 先 利 用 几 何 关 系 找 到 三 角 形 面 积 最 大 时 点 N 的 位 置 ， 然 后 联 立 直 线 方 程 与 椭 圆 方程 ， 结 合 判 别 式 确 定 点 N 到 直 线 AM 的 距 离 即 可 求 得 三 角 形 面 积 的 最 大 值 .【 详 解 】 试 卷 第 12页 ， 总 24页 外

31、装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 (1)由 题 意 可 知 直 线 AM 的 方 程 为 ： 13 ( 2)2y x ， 即 2 4 x y .当 y=0时 ， 解 得 4x ， 所 以 a=4，椭 圆 2 22 2: 1 0 x yC a ba b 过 点 M(2， 3)， 可 得 24 9 116 b ，解 得 b2=12.所 以 C 的 方 程 ： 2 2 116 12x y .(2)设 与 直 线 AM 平 行 的 直 线 方 程 为 ： 2x y m ，如 图 所 示 ， 当 直 线 与 椭 圆 相 切 时 ， 与 AM 距 离 比 较 远 的 直 线 与 椭 圆

32、的 切 点 为 N， 此 时 AMN 的 面 积 取 得 最 大 值 . 联 立 直 线 方 程 2x y m 与 椭 圆 方 程 2 2 116 12x y ，可 得 ： 2 23 2 4 48m y y ，化 简 可 得 ： 2 216 12 3 48 0y my m ，所 以 2 2144 4 16 3 48 0m m ， 即 m2=64， 解 得 m=8，与 AM 距 离 比 较 远 的 直 线 方 程 ： 2 8x y ，直 线 AM 方 程 为 ： 2 4 x y ， 点 N 到 直 线 AM 的 距 离 即 两 平 行 线 之 间 的 距 离 ，利 用 平 行 线 之 间 的 距

33、 离 公 式 可 得 ： 8 4 12 551 4d ，由 两 点 之 间 距 离 公 式 可 得 2 2| | (2 4) 3 3 5AM . 试 卷 第 13页 ， 总 24页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 所 以 AMN 的 面 积 的 最 大 值 ： 1 12 53 5 182 5 .【 点 睛 】解 决 直 线 与 椭 圆 的 综 合 问 题 时 ， 要 注 意 ：(1)注 意 观 察 应 用 题 设 中 的 每 一 个 条 件 ， 明 确 确 定 直 线 、 椭 圆 的 条 件 ；(2)强 化 有 关 直 线 与 椭 圆 联 立 得 出 一 元

34、二 次 方 程 后 的 运 算 能 力 ， 重 视 根 与 系 数 之 间 的 关 系 、弦 长 、 斜 率 、 三 角 形 的 面 积 等 问 题 15 如 图 ， 四 棱 锥 PABCD的 底 面 为 正 方 形 ， PD底 面 ABCD 设 平 面 PAD与 平 面PBC的 交 线 为 l （ 1） 证 明 ： l 平 面 PDC；（ 2） 已 知 PDAD1， Q为 l上 的 点 ， QB= 2， 求 PB与 平 面 QCD所 成 角 的 正 弦 值 【 答 案 】 （ 1） 证 明 见 解 析 ； （ 2） 63 .【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 利 用 线 面 平 行 的 判

35、 定 定 理 以 及 性 质 定 理 ， 证 得 /AD l， 利 用 线 面 垂 直 的 判 定 定 理证 得 AD平 面 PDC ， 从 而 得 到 l 平 面 PDC ； （ 2） 根 据 题 意 ， 建 立 相 应 的 空 间 直 角 坐 标 系 ， 得 到 相 应 点 的 坐 标 ， 设 出 点 ( ,0,1)Q m ，之 后 求 得 平 面 QCD的 法 向 量 以 及 向 量 PB的 坐 标 ， 求 得 cos ,n PB ， 即 可 得 到 直 线PB与 平 面 QCD所 成 角 的 正 弦 值 .【 详 解 】（ 1） 证 明 ：在 正 方 形 ABCD中 ， /AD BC，

36、因 为 AD平 面 PBC ， BC平 面 PBC ， 试 卷 第 14页 ， 总 24页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 所 以 /AD 平 面 PBC ，又 因 为 AD平 面 PAD， 平 面 PAD平 面 PBC l ，所 以 /AD l，因 为 在 四 棱 锥 P ABCD 中 ， 底 面 ABCD是 正 方 形 ， 所 以 , ,AD DC l DC 且 PD 平 面 ABCD， 所 以 , ,AD PD l PD 因 为 CD PD D所 以 l 平 面 PDC ；（ 2） 如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 D xyz ， 因 为 1PD AD

37、， 则 有 (0,0,0), (0,1,0), (1,0,0), (0,0,1), (1,1,0)D C A P B ，设 ( ,0,1)Q m ， 则 有 (0,1,0), ( ,0,1), (1,1, 1)DC DQ m PB ，因 为 QB= 2， 所 以 有 2 2 2( 1) (0 1) (1 0) 2 1m m 设 平 面 QCD的 法 向 量 为 ( , , )n x y z ，则 00DC nDQ n ， 即 0 0yx z ，令 1x ， 则 1z ， 所 以 平 面 QCD的 一 个 法 向 量 为 (1,0, 1)n ， 则 2 2 2 2 2 21 0 1 2 6cos

38、 , .32 31 0 ( 1) 1 1 1n PBn PB n PB 根 据 直 线 的 方 向 向 量 与 平 面 法 向 量 所 成 角 的 余 弦 值 的 绝 对 值 即 为 直 线 与 平 面 所 成 角 的正 弦 值 ， 所 以 直 线 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 等 于 6|cos , | 3n PB r uur所 以 直 线 PB与 平 面 QCD所 成 角 的 正 弦 值 为 63 . 试 卷 第 15页 ， 总 24页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 【 点 睛 】该 题 考 查 的 是 有 关 立 体 几 何 的 问 题 ，

39、涉 及 到 的 知 识 点 有 线 面 平 行 的 判 定 和 性 质 ， 线 面 垂直 的 判 定 和 性 质 ， 利 用 空 间 向 量 求 线 面 角 ， 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 ， 属 于 中 档 题 目 .16 在 3ac ， sin 3c A ， 3c b 这 三 个 条 件 中 任 选 一 个 ， 补 充 在 下 面 问 题中 ， 若 问 题 中 的 三 角 形 存 在 ， 求 c的 值 ； 若 问 题 中 的 三 角 形 不 存 在 ， 说 明 理 由 问 题 ： 是 否 存 在 ABC ， 它 的 内 角 , ,A B C 的 对 边 分 别 为 , ,a b

40、 c， 且 sin 3sinA B= ，6C ， _?注 ： 如 果 选 择 多 个 条 件 分 别 解 答 ， 按 第 一 个 解 答 计 分 【 答 案 】 详 见 解 析 【 解 析 】【 分 析 】解 法 一 ： 由 题 意 结 合 所 给 的 条 件 ， 利 用 正 弦 定 理 角 化 边 ， 得 到 a,b 的 比 例 关 系 ， 根 据 比例 关 系 ， 设 出 长 度 长 度 ， 由 余 弦 定 理 得 到 c的 长 度 ， 根 据 选 择 的 条 件 进 行 分 析 判 断 和 求解 .解 法 二 ： 利 用 诱 导 公 式 和 两 角 和 的 三 角 函 数 公 式 求 得

41、 tanA的 值 ， 得 到 角 , ,A B C 的 值 ，然 后 根 据 选 择 的 条 件 进 行 分 析 判 断 和 求 解 .【 详 解 】 解 法 一 ：由 sin 3sinA B= 可 得 ： 3ab ，不 妨 设 3 , 0a m b m m ，则 ： 2 2 2 2 2 232 cos 3 2 3 2c a b ab C m m m m m ， 即 c m .选 择 条 件 的 解 析 ：据 此 可 得 ： 23 3 3ac m m m ， 1m ， 此 时 1c m .选 择 条 件 的 解 析 ： 据 此 可 得 ： 2 2 2 2 2 22 3 1cos 2 2 2b

42、c a m m mA bc m ，则 ： 21 3sin 1 2 2A ， 此 时 ： 3sin 32c A m ， 则 ： 2 3c m .选 择 条 件 的 解 析 ： 试 卷 第 16页 ， 总 24页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 可 得 1c mb m ， c b ，与 条 件 3c b矛 盾 ， 则 问 题 中 的 三 角 形 不 存 在 .解 法 二 ： 3 , ,6sinA sinB C B A C , 3sin 3sin 6sinA A C A , 3 13sin 3 3 2 2sinA A C sinA cosA ， 3sinA cosA , 3t

43、anA , 23A , 6B C , 若 选 ， 3ac , 3 3a b c , 23 3c , c=1;若 选 ， 3csinA ,则 3 32c , 2 3c ;若 选 ,与 条 件 3c b 矛 盾 .【 点 睛 】在 处 理 三 角 形 中 的 边 角 关 系 时 ， 一 般 全 部 化 为 角 的 关 系 ， 或 全 部 化 为 边 的 关 系 题 中 若出 现 边 的 一 次 式 一 般 采 用 到 正 弦 定 理 ， 出 现 边 的 二 次 式 一 般 采 用 到 余 弦 定 理 应 用 正 、余 弦 定 理 时 ， 注 意 公 式 变 式 的 应 用 解 决 三 角 形 问

44、题 时 ， 注 意 角 的 限 制 范 围 17 为 加 强 环 境 保 护 ， 治 理 空 气 污 染 ， 环 境 监 测 部 门 对 某 市 空 气 质 量 进 行 调 研 ， 随 机 抽查 了 100天 空 气 中 的 PM2.5和 2SO 浓 度 （ 单 位 ： 3g/m ） ， 得 下 表 ： （ 1） 估 计 事 件 “该 市 一 天 空 气 中 PM2.5浓 度 不 超 过 75， 且 2SO 浓 度 不 超 过 150”的 概 率 ；（ 2） 根 据 所 给 数 据 ， 完 成 下 面 的 2 2 列 联 表 ： 试 卷 第 17页 ， 总 24页外 装 订 线 学校:_姓名：

45、_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 （ 3） 根 据 （ 2） 中 的 列 联 表 ， 判 断 是 否 有 99%的 把 握 认 为 该 市 一 天 空 气 中 PM2.5浓 度与 2SO 浓 度 有 关 ？附 ： 22 ( )( )( )( )( )n ad bcK a b c d a c b d ， 【 答 案 】 （ 1） 0.64； （ 2） 答 案 见 解 析 ； （ 3） 有 .【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 根 据 表 格 中 数 据 以 及 古 典 概 型 的 概 率 公 式 可 求 得 结 果 ；（ 2） 根 据 表 格 中 数 据 可 得 2 2 列 联 表 ；（

46、3） 计 算 出 2K ， 结 合 临 界 值 表 可 得 结 论 .【 详 解 】（ 1） 由 表 格 可 知 ， 该 市 100天 中 ， 空 气 中 的 2.5PM 浓 度 不 超 过 75， 且 2SO 浓 度 不 超 过 150的 天 数 有 32 6 18 8 64 天 ，所 以 该 市 一 天 中 ， 空 气 中 的 2.5PM 浓 度 不 超 过 75， 且 2SO 浓 度 不 超 过 150的 概 率 为64 0.64100 ；（ 2） 由 所 给 数 据 ， 可 得 2 2 列 联 表 为 ： 试 卷 第 18页 ， 总 24页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 2SO 2.5PM 0,150 150,475 合 计 0,75 64 16 80 75,115 10 10 20合 计 74 26 100（ 3） 根 据 2 2 列 联 表 中 的 数 据 可 得2 2 2 ( ) 100 (64 10 16 10)( )( )( )( ) 80 20 74 26n ad bcK a b c d a c b d 3600 7.4844 6.635481 ，因 为 根 据 临 界 值 表 可 知 ， 有 99%的 把 握 认 为 该 市 一 天 空 气 中 2.5PM 浓 度 与 2SO 浓 度有 关 .【 点 睛 】本 题 考 查 了