2017年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学及答案解析.docx
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1、2017年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 ( 江 苏 卷 ) 数 学一 、 填 空 题 : 本 大 题 共 14 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 计 70 分 , 请 把 答 案 填 写 在 答 题 卡 相 应 位 置上 .1.已 知 集 合 A=1, 2, B=a, a2+3.若 A B=1, 则 实 数 a 的 值 为 .解 析 : 集 合 A=1, 2, B=a, a2+3.A B=1, a=1或 a 2+3=1,解 得 a=1.答 案 : 1.2.已 知 复 数 z=(1+i)(1+2i), 其 中 i 是 虚 数 单 位 , 则 z 的 模 是 .解
2、 析 : 利 用 复 数 的 运 算 法 则 、 模 的 计 算 公 式 即 可 得 出 .复 数 z=(1+i)(1+2i)=1+i2+3i=1-2+3i=-1+3i, |z| 2 21 3 10 .答 案 : 10 . 3.某 工 厂 生 产 甲 、 乙 、 丙 、 丁 四 种 不 同 型 号 的 产 品 , 产 量 分 别 为 200, 400, 300, 100 件 .为 检 验 产 品 的 质 量 , 现 用 分 层 抽 样 的 方 法 从 以 上 所 有 的 产 品 中 抽 取 60件 进 行 检 验 , 则 应 从丙 种 型 号 的 产 品 中 抽 取 件 .解 析 : 产 品
3、总 数 为 200+400+300+100=1000 件 , 而 抽 取 60 辆 进 行 检 验 , 抽 样 比 例 为60 61000 100 ,则 应 从 丙 种 型 号 的 产 品 中 抽 取 300 6100 =18件 .答 案 : 184.如 图 是 一 个 算 法 流 程 图 : 若 输 入 x 的 值 为 116 , 则 输 出 y 的 值 是 . 解 析 : 初 始 值 x= 116 , 不 满 足 x 1,所 以 y=2+log2 116 =2-log224=-2.答 案 : -2.5.若 tan 164 .则 tan = .解 析 : 直 接 根 据 两 角 差 的 正
4、切 公 式 计 算 即 可 tan tan tan 14tan 4 tan 11 tan ta 4 6n 1 , 6tan -6=tan +1,解 得 tan = 75 .答 案 : 75 .6.如 图 , 在 圆 柱 O1O2 内 有 一 个 球 O, 该 球 与 圆 柱 的 上 、 下 底 面 及 母 线 均 相 切 , 记 圆 柱 O1O2的 体 积 为 V 1, 球 O 的 体 积 为 V2, 则 12VV 的 值 是 .解 析 : 设 球 的 半 径 为 R, 则 球 的 体 积 为 : 343 R ,圆 柱 的 体 积 为 : R 2 2R=2 R3.则 31 32 24 3 32
5、V RRV .答 案 : 32 .7.记 函 数 f(x)= 26 x x 定 义 域 为 D.在 区 间 -4, 5上 随 机 取 一 个 数 x, 则 x D 的 概 率 是 .解 析 : 由 6+x-x2 0得 x2-x-6 0, 得 -2 x 3,则 D=-2, 3,则 在 区 间 -4, 5上 随 机 取 一 个 数 x, 则 x D 的 概 率 3 2 55 4 9P .答 案 : 59 .8.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 , 双 曲 线 2 2 13x y 的 右 准 线 与 它 的 两 条 渐 近 线 分 别 交 于 点 P,Q, 其 焦 点 是 F 1, F2,
6、则 四 边 形 F1PF2Q 的 面 积 是 .解 析 : 求 出 双 曲 线 的 准 线 方 程 和 渐 近 线 方 程 , 得 到 P, Q 坐 标 , 求 出 焦 点 坐 标 , 然 后 求 解 四边 形 的 面 积 .双 曲 线 2 2 13x y 的 右 准 线 : x= 32 , 双 曲 线 渐 近 线 方 程 为 : y= 33 x,所 以 P 3 32 2 , , Q 3 32 2 , , F 1(-2, 0).F2(2, 0).则 四 边 形 F1PF2Q的 面 积 是 : 2 32 41 3 .答 案 : 2 3.9.等 比 数 列 a n的 各 项 均 为 实 数 , 其
7、 前 n 项 为 Sn, 已 知 S3= 74 , S6= 634 , 则 a8= .解 析 : 设 等 比 数 列 an的 公 比 为 q 1, S3= 74 , S6= 634 , 31 1 71 4a qq , 61 11 634a qq ,解 得 1 14a , q=2.则 a 8= 14 27=32.答 案 : 32.10.某 公 司 一 年 购 买 某 种 货 物 600吨 , 每 次 购 买 x 吨 , 运 费 为 6万 元 /次 , 一 年 的 总 存 储 费 用为 4x 万 元 .要 使 一 年 的 总 运 费 与 总 存 储 费 用 之 和 最 小 , 则 x 的 值 是
8、.解 析 : 由 题 意 可 得 : 一 年 的 总 运 费 与 总 存 储 费 用 之 和 为 : 600 36006 4 2 4 240 x xx x g (万 元 ).当 且 仅 当 3600 4xx 时 取 等 号 . x 0, x=30.答 案 : 30.11.已 知 函 数 f(x)=x 3-2x+ex- 1xe , 其 中 e 是 自 然 对 数 的 底 数 .若 f(a-1)+f(2a2) 0.则 实 数 a的 取 值 范 围 是 .解 析 : 求 出 f(x)的 导 数 , 由 基 本 不 等 式 和 二 次 函 数 的 性 质 , 可 得 f(x)在 R 上 递 增 ; 再
9、 由 奇偶 性 的 定 义 , 可 得 f(x)为 奇 函 数 , 原 不 等 式 即 为 2a2 1-a, 运 用 二 次 不 等 式 的 解 法 即 可 得到 所 求 范 围 .函 数 f(x)=x3-2x+ex- 1xe 的 导 数 为 :f (x)=3x 2-2+ex+ 1xe -2+2 1x xe eg =0,可 得 f(x)在 R 上 递 增 ;又 f(-x)+f(x)=(-x)3+2x+e-x-ex+x3-2x+ex- 1xe =0,可 得 f(x)为 奇 函 数 ,则 f(a-1)+f(2a2) 0,即 有 f(2a 2) -f(a-1)=f(1-a),即 有 2a2 1-a,
10、解 得 -1 a 12 .答 案 : -1, 12 .12.如 图 , 在 同 一 个 平 面 内 , 向 量 OAuur, OBuuur, OCuuur的 模 分 别 为 1, 1, 2 , OAuur与 OCuuur的 夹角 为 , 且 tan =7, OBuuur与 OCuuur的 夹 角 为 45 .若 OC mOA nOB uuur uur uuur(m, n R), 则m+n= . 解 析 : 如 图 所 示 , 建 立 直 角 坐 标 系 .A(1, 0).由 OAuur与 OCuuur的 夹 角 为 , 且 tan =7. cos = 15 2 , sin = 75 2 . C
11、( 15 , 75 ).cos( +45 )= 22 (cos -sin )= 35 .sin( +45 )= 22 (sin +cos )= 45 . B( 35 , 45 ). OC mOA nOB uuur uur uuur(m, n R), 1 35 5m n , 7 405 5 n ,解 得 n= 74 , m= 54 .则 m+n=3.答 案 : 3.13.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 , A(-12, 0), B(0, 6), 点 P 在 圆 O: x 2+y2=50上 .若 PA PBuur uurg 20, 则 点 P的 横 坐 标 的 取 值 范 围 是 .解
12、析 : 根 据 题 意 , 设 P(x0, y0), 则 有 x02+y02=50,PA PBuur uurg =(-12-x0, -y0) (-x0, 6-y0)=(12+x0)x0-y0(6-y0)=12x0+6y+x02+y02 20,化 为 : 12x0-6y0+30 0,即 2x 0-y0+5 0, 表 示 直 线 2x+y+5 0 以 及 直 线 下 方 的 区 域 , 联 立 2 20 00 0 502 5 0 x yx y , 解 可 得 x0=-5或 x0=1,结 合 图 形 分 析 可 得 : 点 P的 横 坐 标 x0的 取 值 范 围 是 -5 2 , 1,答 案 :
13、-5 2 , 1.14.设 f(x)是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 1 的 函 数 , 在 区 间 0, 1)上 , 2x x Df x x x D , , 其 中集 合 D=x|x= 1nn , n N*, 则 方 程 f(x)-lgx=0的 解 的 个 数 是 . 解 析 : 在 区 间 0, 1)上 , 2x x Df x x x D , ,第 一 段 函 数 上 的 点 的 横 纵 坐 标 均 为 有 理 数 ,又 f(x)是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 1 的 函 数 , 在 区 间 1, 2)上 , 211x x Df x x x D , ,此 时 f(x)的 图
14、象 与 y=lgx有 且 只 有 一 个 交 点 ;同 理 :区 间 2, 3)上 , f(x)的 图 象 与 y=lgx 有 且 只 有 一 个 交 点 ;区 间 3, 4)上 , f(x)的 图 象 与 y=lgx 有 且 只 有 一 个 交 点 ;区 间 4, 5)上 , f(x)的 图 象 与 y=lgx 有 且 只 有 一 个 交 点 ;区 间 5, 6)上 , f(x)的 图 象 与 y=lgx 有 且 只 有 一 个 交 点 ; 区 间 6, 7)上 , f(x)的 图 象 与 y=lgx 有 且 只 有 一 个 交 点 ;区 间 7, 8)上 , f(x)的 图 象 与 y=l
15、gx 有 且 只 有 一 个 交 点 ;区 间 8, 9)上 , f(x)的 图 象 与 y=lgx 有 且 只 有 一 个 交 点 ;在 区 间 9, + )上 , f(x)的 图 象 与 y=lgx 无 交 点 ;故 f(x)的 图 象 与 y=lgx 有 8 个 交 点 ;即 方 程 f(x)-lgx=0 的 解 的 个 数 是 8. 答 案 : 8二 、 解 答 题 :本 大 题 共 6小 题 ,共 计 90分 .请 在 答 题 卡 指 定 区 域 内 作 答 , 解 答 时 应 写 出 文 字 说明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .15.如 图 , 在 三 棱 锥 A-BC
16、D 中 , AB AD, BC BD, 平 面 ABD 平 面 BCD, 点 E、 F(E 与 A、 D不 重 合 )分 别 在 棱 AD, BD上 , 且 EF AD. 求 证 : (1)EF 平 面 ABC.(2)AD AC.解 析 : (1)利 用 AB EF 及 线 面 平 行 判 定 定 理 可 得 结 论 .(2)通 过 取 线 段 CD上 点 G, 连 结 FG、 EG 使 得 FG BC, 则 EG AC, 利 用 线 面 垂 直 的 性 质 定 理可 知 FG AD, 结 合 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 可 知 AD 平 面 EFG, 从 而 可 得 结 论 .答 案
17、 : (1)因 为 AB AD, EF AD, 且 A、 B、 E、 F四 点 共 面 ,所 以 AB EF,又 因 为 EF平 面 ABC, AB平 面 ABC,所 以 由 线 面 平 行 判 定 定 理 可 知 : EF 平 面 ABC.(2)在 线 段 CD 上 取 点 G, 连 结 FG、 EG 使 得 FG BC, 则 EG AC, BC BD, 所 以 FG BC,又 平 面 ABD 平 面 BCD, FG 平 面 ABD, 所 以 FG AD, AD EF, 且 EF FG=F, AD 平 面 EFG, 所 以 AD EG, AD AC.16.已 知 向 量 ar=(cosx,
18、sinx), br=(3, 3 ), x 0, .(1)若 ar br, 求 x 的 值 .(2)记 f(x)=ar br, 求 f(x)的 最 大 值 和 最 小 值 以 及 对 应 的 x 的 值 . 解 析 : (1)根 据 向 量 的 平 行 即 可 得 到 tanx= 33 , 问 题 得 以 解 决 .(2)根 据 向 量 的 数 量 积 和 两 角 和 余 弦 公 式 和 余 弦 函 数 的 性 质 即 可 求 出 .答 案 : (1) ar=(cosx, sinx), br=(3, 3 ), ar br, 3 cosx=3sinx, tanx= 33 , x 0, , x= 5
19、6 . (2)f(x) 3 13 3 32 23 2 2 6a b cosx sinx cosx sinx cos x r rg , x 0, , x+ 6 6 , 76 , -1 cos(x+ 6 ) 32 ,当 x=0时 , f(x)有 最 大 值 , 最 大 值 3,当 x= 56 时 , f(x)有 最 小 值 , 最 大 值 -2 3 . 17.如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 椭 圆 E: 2 22 2 1x ya b (a b 0)的 左 、 右 焦 点 分 别 为F1, F2, 离 心 率 为 12 , 两 准 线 之 间 的 距 离 为 8.点 P
20、在 椭 圆 E 上 , 且 位 于 第 一 象 限 , 过 点 F1作 直 线 PF1的 垂 线 l1, 过 点 F2作 直 线 PF2的 垂 线 l2. (1)求 椭 圆 E 的 标 准 方 程 .(2)若 直 线 l1, l2的 交 点 Q在 椭 圆 E上 , 求 点 P的 坐 标 . 解 析 : (1)由 椭 圆 的 离 心 率 公 式 求 得 a=2c, 由 椭 圆 的 准 线 方 程 22ax c , 则 222 8ac ,即 可 求 得 a和 c的 值 , 则 b2=a2-c2=3, 即 可 求 得 椭 圆 方 程 .(2)方 法 一 : 设 P(x0, y0), 分 别 求 得
21、直 线 PF2的 斜 率 及 直 线 PF1的 斜 率 , 则 即 可 求 得 l2及 l1的 斜 率 及 方 程 , 联 立 求 得 Q 点 坐 标 , 由 Q 在 椭 圆 方 程 , 求 得 y02=x02-1, 联 立 即 可 求 得 P 点 坐标 ;方 法 二 : 设 P(m, n), 当 m 1 时 , 2 1PF nk m , 1 1PF nk m , 求 得 直 线 l 1及 l1的 方 程 ,联 立 求 得 Q点 坐 标 , 根 据 对 称 性 可 得 2 21m nn , 联 立 椭 圆 方 程 , 即 可 求 得 P点 坐 标 .答 案 : (1)由 题 意 可 知 : 椭
22、 圆 的 离 心 率 12ce a , 则 a=2c, 椭 圆 的 准 线 方 程 22ax c , 则 222 8ac , 由 解 得 : a=2, c=1,则 b 2=a2-c2=3, 椭 圆 的 标 准 方 程 : 2 2 14 3x y .(2)方 法 一 : 设 P(x0, y0), 则 直 线 PF2的 斜 率 2 00 1PF yk x ,则 直 线 l 2的 斜 率 02 0 1xk y , 直 线 l2的 方 程 0 0 1 1xy xy ,直 线 PF1的 斜 率 1 00 1PF yk x ,则 直 线 l1的 斜 率 01 0 1xk y , 直 线 l1的 方 程 0
23、 0 1 1xy xy ,联 立 0 00 0 1 11 1xy xyxy xy , 解 得 : 020 0 1x xxy y , 则 Q(-x 0, 20 0 1x y ),由 P, Q 在 椭 圆 上 , P, Q的 横 坐 标 互 为 相 反 数 , 纵 坐 标 应 相 等 , 则 200 0 1xy y , y02=x02-1, 则 2 20 02 20 0 14 3 1x yy x , 解 得 : 20 20 16797xy , 则 00 47773 7xy ,又 P 在 第 一 象 限 , 所 以 P的 坐 标 为 :P( 4 77 , 3 77 ). 方 法 二 : 设 P(m,
24、 n), 由 P 在 第 一 象 限 , 则 m 0, n 0,当 m=1时 , 2PFk 不 存 在 , 解 得 : Q与 F1重 合 , 不 满 足 题 意 ,当 m 1 时 , 2 1PF nk m , 1 1PF nk m ,由 l1 PF1, l2 PF2, 则 1 1l mk n , 2 1l mk n ,直 线 l 1的 方 程 1 1my xn , 直 线 l2的 方 程 1 1my xn ,联 立 解 得 : x=-m, 则 Q(-m, 2 1mn ),由 Q 在 椭 圆 方 程 , 由 对 称 性 可 得 : 2 21m nn ,即 m 2-n2=1, 或 m2+n2=1,
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