1、2017年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 江 苏 卷 ） 数 学一 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 计 70 分 ， 请 把 答 案 填 写 在 答 题 卡 相 应 位 置上 .1.已 知 集 合 A=1， 2， B=a， a2+3.若 A B=1， 则 实 数 a 的 值 为 .解 析 ： 集 合 A=1， 2， B=a， a2+3.A B=1， a=1或 a 2+3=1，解 得 a=1.答 案 ： 1.2.已 知 复 数 z=(1+i)(1+2i)， 其 中 i 是 虚 数 单 位 ， 则 z 的 模 是 .解
2、 析 ： 利 用 复 数 的 运 算 法 则 、 模 的 计 算 公 式 即 可 得 出 .复 数 z=(1+i)(1+2i)=1+i2+3i=1-2+3i=-1+3i， |z| 2 21 3 10 .答 案 ： 10 . 3.某 工 厂 生 产 甲 、 乙 、 丙 、 丁 四 种 不 同 型 号 的 产 品 ， 产 量 分 别 为 200， 400， 300， 100 件 .为 检 验 产 品 的 质 量 ， 现 用 分 层 抽 样 的 方 法 从 以 上 所 有 的 产 品 中 抽 取 60件 进 行 检 验 ， 则 应 从丙 种 型 号 的 产 品 中 抽 取 件 .解 析 ： 产 品
3、总 数 为 200+400+300+100=1000 件 ， 而 抽 取 60 辆 进 行 检 验 ， 抽 样 比 例 为60 61000 100 ，则 应 从 丙 种 型 号 的 产 品 中 抽 取 300 6100 =18件 .答 案 ： 184.如 图 是 一 个 算 法 流 程 图 ： 若 输 入 x 的 值 为 116 ， 则 输 出 y 的 值 是 . 解 析 ： 初 始 值 x= 116 ， 不 满 足 x 1，所 以 y=2+log2 116 =2-log224=-2.答 案 ： -2.5.若 tan 164 .则 tan = .解 析 ： 直 接 根 据 两 角 差 的 正
4、切 公 式 计 算 即 可 tan tan tan 14tan 4 tan 11 tan ta 4 6n 1 ， 6tan -6=tan +1，解 得 tan = 75 .答 案 ： 75 .6.如 图 ， 在 圆 柱 O1O2 内 有 一 个 球 O， 该 球 与 圆 柱 的 上 、 下 底 面 及 母 线 均 相 切 ， 记 圆 柱 O1O2的 体 积 为 V 1， 球 O 的 体 积 为 V2， 则 12VV 的 值 是 .解 析 ： 设 球 的 半 径 为 R， 则 球 的 体 积 为 ： 343 R ，圆 柱 的 体 积 为 ： R 2 2R=2 R3.则 31 32 24 3 32
5、V RRV .答 案 ： 32 .7.记 函 数 f(x)= 26 x x 定 义 域 为 D.在 区 间 -4， 5上 随 机 取 一 个 数 x， 则 x D 的 概 率 是 .解 析 ： 由 6+x-x2 0得 x2-x-6 0， 得 -2 x 3，则 D=-2， 3，则 在 区 间 -4， 5上 随 机 取 一 个 数 x， 则 x D 的 概 率 3 2 55 4 9P .答 案 ： 59 .8.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 双 曲 线 2 2 13x y 的 右 准 线 与 它 的 两 条 渐 近 线 分 别 交 于 点 P，Q， 其 焦 点 是 F 1， F2，
6、则 四 边 形 F1PF2Q 的 面 积 是 .解 析 ： 求 出 双 曲 线 的 准 线 方 程 和 渐 近 线 方 程 ， 得 到 P， Q 坐 标 ， 求 出 焦 点 坐 标 ， 然 后 求 解 四边 形 的 面 积 .双 曲 线 2 2 13x y 的 右 准 线 ： x= 32 ， 双 曲 线 渐 近 线 方 程 为 ： y= 33 x，所 以 P 3 32 2 ， ， Q 3 32 2 ， ， F 1(-2， 0).F2(2， 0).则 四 边 形 F1PF2Q的 面 积 是 ： 2 32 41 3 .答 案 ： 2 3.9.等 比 数 列 a n的 各 项 均 为 实 数 ， 其
7、 前 n 项 为 Sn， 已 知 S3= 74 ， S6= 634 ， 则 a8= .解 析 ： 设 等 比 数 列 an的 公 比 为 q 1， S3= 74 ， S6= 634 ， 31 1 71 4a qq ， 61 11 634a qq ，解 得 1 14a ， q=2.则 a 8= 14 27=32.答 案 ： 32.10.某 公 司 一 年 购 买 某 种 货 物 600吨 ， 每 次 购 买 x 吨 ， 运 费 为 6万 元 /次 ， 一 年 的 总 存 储 费 用为 4x 万 元 .要 使 一 年 的 总 运 费 与 总 存 储 费 用 之 和 最 小 ， 则 x 的 值 是
8、.解 析 ： 由 题 意 可 得 ： 一 年 的 总 运 费 与 总 存 储 费 用 之 和 为 ： 600 36006 4 2 4 240 x xx x g (万 元 ).当 且 仅 当 3600 4xx 时 取 等 号 . x 0， x=30.答 案 ： 30.11.已 知 函 数 f(x)=x 3-2x+ex- 1xe ， 其 中 e 是 自 然 对 数 的 底 数 .若 f(a-1)+f(2a2) 0.则 实 数 a的 取 值 范 围 是 .解 析 ： 求 出 f(x)的 导 数 ， 由 基 本 不 等 式 和 二 次 函 数 的 性 质 ， 可 得 f(x)在 R 上 递 增 ； 再
9、 由 奇偶 性 的 定 义 ， 可 得 f(x)为 奇 函 数 ， 原 不 等 式 即 为 2a2 1-a， 运 用 二 次 不 等 式 的 解 法 即 可 得到 所 求 范 围 .函 数 f(x)=x3-2x+ex- 1xe 的 导 数 为 ：f (x)=3x 2-2+ex+ 1xe -2+2 1x xe eg =0，可 得 f(x)在 R 上 递 增 ；又 f(-x)+f(x)=(-x)3+2x+e-x-ex+x3-2x+ex- 1xe =0，可 得 f(x)为 奇 函 数 ，则 f(a-1)+f(2a2) 0，即 有 f(2a 2) -f(a-1)=f(1-a)，即 有 2a2 1-a，
10、解 得 -1 a 12 .答 案 ： -1， 12 .12.如 图 ， 在 同 一 个 平 面 内 ， 向 量 OAuur， OBuuur， OCuuur的 模 分 别 为 1， 1， 2 ， OAuur与 OCuuur的 夹角 为 ， 且 tan =7， OBuuur与 OCuuur的 夹 角 为 45 .若 OC mOA nOB uuur uur uuur(m， n R)， 则m+n= . 解 析 ： 如 图 所 示 ， 建 立 直 角 坐 标 系 .A(1， 0).由 OAuur与 OCuuur的 夹 角 为 ， 且 tan =7. cos = 15 2 ， sin = 75 2 . C
11、( 15 ， 75 ).cos( +45 )= 22 (cos -sin )= 35 .sin( +45 )= 22 (sin +cos )= 45 . B( 35 ， 45 ). OC mOA nOB uuur uur uuur(m， n R)， 1 35 5m n ， 7 405 5 n ，解 得 n= 74 ， m= 54 .则 m+n=3.答 案 ： 3.13.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， A(-12， 0)， B(0， 6)， 点 P 在 圆 O： x 2+y2=50上 .若 PA PBuur uurg 20， 则 点 P的 横 坐 标 的 取 值 范 围 是 .解
12、析 ： 根 据 题 意 ， 设 P(x0， y0)， 则 有 x02+y02=50，PA PBuur uurg =(-12-x0， -y0) (-x0， 6-y0)=(12+x0)x0-y0(6-y0)=12x0+6y+x02+y02 20，化 为 ： 12x0-6y0+30 0，即 2x 0-y0+5 0， 表 示 直 线 2x+y+5 0 以 及 直 线 下 方 的 区 域 ， 联 立 2 20 00 0 502 5 0 x yx y ， 解 可 得 x0=-5或 x0=1，结 合 图 形 分 析 可 得 ： 点 P的 横 坐 标 x0的 取 值 范 围 是 -5 2 ， 1，答 案 ：
13、-5 2 ， 1.14.设 f(x)是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 1 的 函 数 ， 在 区 间 0， 1)上 ， 2x x Df x x x D ， ， 其 中集 合 D=x|x= 1nn ， n N*， 则 方 程 f(x)-lgx=0的 解 的 个 数 是 . 解 析 ： 在 区 间 0， 1)上 ， 2x x Df x x x D ， ，第 一 段 函 数 上 的 点 的 横 纵 坐 标 均 为 有 理 数 ，又 f(x)是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 1 的 函 数 ， 在 区 间 1， 2)上 ， 211x x Df x x x D ， ，此 时 f(x)的 图
14、象 与 y=lgx有 且 只 有 一 个 交 点 ；同 理 ：区 间 2， 3)上 ， f(x)的 图 象 与 y=lgx 有 且 只 有 一 个 交 点 ；区 间 3， 4)上 ， f(x)的 图 象 与 y=lgx 有 且 只 有 一 个 交 点 ；区 间 4， 5)上 ， f(x)的 图 象 与 y=lgx 有 且 只 有 一 个 交 点 ；区 间 5， 6)上 ， f(x)的 图 象 与 y=lgx 有 且 只 有 一 个 交 点 ； 区 间 6， 7)上 ， f(x)的 图 象 与 y=lgx 有 且 只 有 一 个 交 点 ；区 间 7， 8)上 ， f(x)的 图 象 与 y=l
15、gx 有 且 只 有 一 个 交 点 ；区 间 8， 9)上 ， f(x)的 图 象 与 y=lgx 有 且 只 有 一 个 交 点 ；在 区 间 9， + )上 ， f(x)的 图 象 与 y=lgx 无 交 点 ；故 f(x)的 图 象 与 y=lgx 有 8 个 交 点 ；即 方 程 f(x)-lgx=0 的 解 的 个 数 是 8. 答 案 ： 8二 、 解 答 题 :本 大 题 共 6小 题 ,共 计 90分 .请 在 答 题 卡 指 定 区 域 内 作 答 ， 解 答 时 应 写 出 文 字 说明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .15.如 图 ， 在 三 棱 锥 A-BC
16、D 中 ， AB AD， BC BD， 平 面 ABD 平 面 BCD， 点 E、 F(E 与 A、 D不 重 合 )分 别 在 棱 AD， BD上 ， 且 EF AD. 求 证 ： (1)EF 平 面 ABC.(2)AD AC.解 析 ： (1)利 用 AB EF 及 线 面 平 行 判 定 定 理 可 得 结 论 .(2)通 过 取 线 段 CD上 点 G， 连 结 FG、 EG 使 得 FG BC， 则 EG AC， 利 用 线 面 垂 直 的 性 质 定 理可 知 FG AD， 结 合 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 可 知 AD 平 面 EFG， 从 而 可 得 结 论 .答 案
17、 ： (1)因 为 AB AD， EF AD， 且 A、 B、 E、 F四 点 共 面 ，所 以 AB EF，又 因 为 EF平 面 ABC， AB平 面 ABC，所 以 由 线 面 平 行 判 定 定 理 可 知 ： EF 平 面 ABC.(2)在 线 段 CD 上 取 点 G， 连 结 FG、 EG 使 得 FG BC， 则 EG AC， BC BD， 所 以 FG BC，又 平 面 ABD 平 面 BCD， FG 平 面 ABD， 所 以 FG AD， AD EF， 且 EF FG=F， AD 平 面 EFG， 所 以 AD EG， AD AC.16.已 知 向 量 ar=(cosx，
18、sinx)， br=(3， 3 )， x 0， .(1)若 ar br， 求 x 的 值 .(2)记 f(x)=ar br， 求 f(x)的 最 大 值 和 最 小 值 以 及 对 应 的 x 的 值 . 解 析 ： (1)根 据 向 量 的 平 行 即 可 得 到 tanx= 33 ， 问 题 得 以 解 决 .(2)根 据 向 量 的 数 量 积 和 两 角 和 余 弦 公 式 和 余 弦 函 数 的 性 质 即 可 求 出 .答 案 ： (1) ar=(cosx， sinx)， br=(3， 3 )， ar br， 3 cosx=3sinx， tanx= 33 ， x 0， ， x= 5
19、6 . (2)f(x) 3 13 3 32 23 2 2 6a b cosx sinx cosx sinx cos x r rg ， x 0， ， x+ 6 6 ， 76 ， -1 cos(x+ 6 ) 32 ，当 x=0时 ， f(x)有 最 大 值 ， 最 大 值 3，当 x= 56 时 ， f(x)有 最 小 值 ， 最 大 值 -2 3 . 17.如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 椭 圆 E： 2 22 2 1x ya b (a b 0)的 左 、 右 焦 点 分 别 为F1， F2， 离 心 率 为 12 ， 两 准 线 之 间 的 距 离 为 8.点 P
20、在 椭 圆 E 上 ， 且 位 于 第 一 象 限 ， 过 点 F1作 直 线 PF1的 垂 线 l1， 过 点 F2作 直 线 PF2的 垂 线 l2. (1)求 椭 圆 E 的 标 准 方 程 .(2)若 直 线 l1， l2的 交 点 Q在 椭 圆 E上 ， 求 点 P的 坐 标 . 解 析 ： (1)由 椭 圆 的 离 心 率 公 式 求 得 a=2c， 由 椭 圆 的 准 线 方 程 22ax c ， 则 222 8ac ，即 可 求 得 a和 c的 值 ， 则 b2=a2-c2=3， 即 可 求 得 椭 圆 方 程 .(2)方 法 一 ： 设 P(x0， y0)， 分 别 求 得
21、直 线 PF2的 斜 率 及 直 线 PF1的 斜 率 ， 则 即 可 求 得 l2及 l1的 斜 率 及 方 程 ， 联 立 求 得 Q 点 坐 标 ， 由 Q 在 椭 圆 方 程 ， 求 得 y02=x02-1， 联 立 即 可 求 得 P 点 坐标 ；方 法 二 ： 设 P(m， n)， 当 m 1 时 ， 2 1PF nk m ， 1 1PF nk m ， 求 得 直 线 l 1及 l1的 方 程 ，联 立 求 得 Q点 坐 标 ， 根 据 对 称 性 可 得 2 21m nn ， 联 立 椭 圆 方 程 ， 即 可 求 得 P点 坐 标 .答 案 ： (1)由 题 意 可 知 ： 椭
22、 圆 的 离 心 率 12ce a ， 则 a=2c， 椭 圆 的 准 线 方 程 22ax c ， 则 222 8ac ， 由 解 得 ： a=2， c=1，则 b 2=a2-c2=3， 椭 圆 的 标 准 方 程 ： 2 2 14 3x y .(2)方 法 一 ： 设 P(x0， y0)， 则 直 线 PF2的 斜 率 2 00 1PF yk x ，则 直 线 l 2的 斜 率 02 0 1xk y ， 直 线 l2的 方 程 0 0 1 1xy xy ，直 线 PF1的 斜 率 1 00 1PF yk x ，则 直 线 l1的 斜 率 01 0 1xk y ， 直 线 l1的 方 程 0
23、 0 1 1xy xy ，联 立 0 00 0 1 11 1xy xyxy xy ， 解 得 ： 020 0 1x xxy y ， 则 Q(-x 0， 20 0 1x y )，由 P， Q 在 椭 圆 上 ， P， Q的 横 坐 标 互 为 相 反 数 ， 纵 坐 标 应 相 等 ， 则 200 0 1xy y ， y02=x02-1， 则 2 20 02 20 0 14 3 1x yy x ， 解 得 ： 20 20 16797xy ， 则 00 47773 7xy ，又 P 在 第 一 象 限 ， 所 以 P的 坐 标 为 ：P( 4 77 ， 3 77 ). 方 法 二 ： 设 P(m，
24、 n)， 由 P 在 第 一 象 限 ， 则 m 0， n 0，当 m=1时 ， 2PFk 不 存 在 ， 解 得 ： Q与 F1重 合 ， 不 满 足 题 意 ，当 m 1 时 ， 2 1PF nk m ， 1 1PF nk m ，由 l1 PF1， l2 PF2， 则 1 1l mk n ， 2 1l mk n ，直 线 l 1的 方 程 1 1my xn ， 直 线 l2的 方 程 1 1my xn ，联 立 解 得 ： x=-m， 则 Q(-m， 2 1mn )，由 Q 在 椭 圆 方 程 ， 由 对 称 性 可 得 ： 2 21m nn ，即 m 2-n2=1， 或 m2+n2=1，
25、由 P(m， n)， 在 椭 圆 方 程 ， 2 22 21 14 3m nm n ， 解 得 ： 22 16797mn ， 或 2 22 21 14 3m nm n ， 无 解 ， 又 P 在 第 一 象 限 ， 所 以 P的 坐 标 为 ：P( 4 7 37 77， ).18.如 图 ， 水 平 放 置 的 正 四 棱 柱 形 玻 璃 容 器 和 正 四 棱 台 形 玻 璃 容 器 的 高 均 为 32cm， 容 器 的 底 面 对 角 线 AC 的 长 为 10 7 cm， 容 器 的 两 底 面 对 角 线 EG， E 1G1的 长 分 别 为 14cm 和62cm.分 别 在 容 器
26、 和 容 器 中 注 入 水 ， 水 深 均 为 12cm.现 有 一 根 玻 璃 棒 l， 其 长 度 为40cm.(容 器 厚 度 、 玻 璃 棒 粗 细 均 忽 略 不 计 ) (1)将 l 放 在 容 器 中 ， l的 一 端 置 于 点 A处 ， 另 一 端 置 于 侧 棱 CC1上 ， 求 l没 入 水 中 部 分 的长 度 .(2)将 l 放 在 容 器 中 ， l的 一 端 置 于 点 E处 ， 另 一 端 置 于 侧 棱 GG1上 ， 求 l没 入 水 中 部 分 的长 度 .解 析 ： (1)设 玻 璃 棒 在 CC1上 的 点 为 M， 玻 璃 棒 与 水 面 的 交 点
27、 为 N， 过 N 作 NP MC， 交 AC 于点 P， 推 导 出 CC1 平 面 ABCD， CC1 AC， NP AC， 求 出 MC=30cm， 推 导 出 ANP AMC， 由此 能 出 玻 璃 棒 l没 入 水 中 部 分 的 长 度 .(2)设 玻 璃 棒 在 GG 1上 的 点 为 M， 玻 璃 棒 与 水 面 的 交 点 为 N， 过 点 N作 NP EG， 交 EG于 点 P，过 点 E 作 EQ E1G1， 交 E1G1于 点 Q， 推 导 出 EE1G1G 为 等 腰 梯 形 ， 求 出 E1Q=24cm， E1E=40cm，由 正 弦 定 理 求 出 sin GEM
28、= 35 ， 由 此 能 求 出 玻 璃 棒 l 没 入 水 中 部 分 的 长 度 .答 案 ： (1)设 玻 璃 棒 在 CC1上 的 点 为 M， 玻 璃 棒 与 水 面 的 交 点 为 N，在 平 面 ACM中 ， 过 N作 NP MC， 交 AC于 点 P， ABCD-A1B1C1D1为 正 四 棱 柱 ， CC1 平 面 ABCD， 又 AC平 面 ABCD， CC1 AC， NP AC， NP=12cm， 且 AM2=AC2+MC2， 解 得 MC=30cm， NP MC， ANP AMC， 1240 30AN NP ANAM MC ， ， 得 AN=16cm. 玻 璃 棒 l没
29、 入 水 中 部 分 的 长 度 为 16cm.(2)设 玻 璃 棒 在 GG1上 的 点 为 M， 玻 璃 棒 与 水 面 的 交 点 为 N，在 平 面 E 1EGG1中 ， 过 点 N作 NP EG， 交 EG 于 点 P，过 点 E作 EQ E1G1， 交 E1G1于 点 Q， EFGH-E 1F1G1H1为 正 四 棱 台 ， EE1=GG1， EG E1G1，EG E1G1， EE1G1G 为 等 腰 梯 形 ， 画 出 平 面 E1EGG1的 平 面 图 ， E1G1=62cm， EG=14cm， EQ=32cm， NP=12cm， E1Q=24cm，由 勾 股 定 理 得 ：
30、E1E=40cm， sin EE 1G1= 45 ， sin EGM=sin EE1G1= 45 ， cos EGM= 35 ，根 据 正 弦 定 理 得 ： sin sinEM EGEGM EMG ， sin EMG= 725 ， cos EMG= 2425 ， sin GEM=sin( EGM+ EMG)=sin EGMcos EMG+cos EGMsin EMG= 35 ， 12 203sin 5NPEN GEM cm. 玻 璃 棒 l没 入 水 中 部 分 的 长 度 为 20cm. 19.对 于 给 定 的 正 整 数 k， 若 数 列 an满 足 ： an-k+an-k+1+ +a
31、n-1+an+1+ +an+k-1+an+k=2kan对 任 意 正整 数 n(n k)总 成 立 ， 则 称 数 列 an是 “ P(k)数 列 ” .(1)证 明 ： 等 差 数 列 an是 “ P(3)数 列 ” .(2)若 数 列 an既 是 “ P(2)数 列 ” ， 又 是 “ P(3)数 列 ” ， 证 明 ： an是 等 差 数 列 .解 析 ： (1) 由 题 意 可 知 根 据 等 差 数 列 的 性 质 ，an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=(an-3+an+3)+(an-2+an+2)+(an-1+an+1)=2 3an， 根 据 “ P(k)数
32、 列 ” 的 定 义 ，可 得 数 列 an是 “ P(3)数 列 ” .(2)由 已 知 条 件 结 合 (1)中 的 结 论 ， 可 得 到 a n从 第 3 项 起 为 等 差 数 列 ， 再 通 过 判 断 a2与 a3的 关 系 和 a1与 a2的 关 系 ， 可 知 an为 等 差 数 列 .答 案 ： (1)证 明 ： 设 等 差 数 列 an首 项 为 a1， 公 差 为 d， 则 an=a1+(n-1)d， 则 an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=(an-3+an+3)+(an-2+an+2)+(an-1+an+1)=2an+2an+2an，=2 3a
33、n， 等 差 数 列 an是 “ P(3)数 列 ” .(2)证 明 ： 当 n 4 时 ， 因 为 数 列 an是 P(3)数 列 ， 则 an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an， ，因 为 数 列 an是 “ P(2)数 列 ” ， 所 以 an-3+an-2+an+an+1=4an-1， ，a n-1+an+an+2+an+3=4an+1， ， + - ， 得 2an=4an-1+4an+1-6an， 即 2an=an-1+an+1， (n 4)，因 此 n 4 从 第 3 项 起 为 等 差 数 列 ， 设 公 差 为 d， 注 意 到 a2+a3+a5+a
34、6=4a4，所 以 a2=4a4-a3-a5-a6=4(a3+d)-a3-(a3+2d)-(a3+3d)=a3-d，因 为 a1+a2+a4+a5=4a3， 所 以 a1=4a3-a2-a4-a5=4(a2+d)-a2-(a2+2d)-(a2+3d)=a2-d，也 即 前 3 项 满 足 等 差 数 列 的 通 项 公 式 ，所 以 an为 等 差 数 列 .20.已 知 函 数 f(x)=x 3+ax2+bx+1(a 0， b R)有 极 值 ， 且 导 函 数 f (x)的 极 值 点 是 f(x)的 零点 .(极 值 点 是 指 函 数 取 极 值 时 对 应 的 自 变 量 的 值 )
35、(1)求 b 关 于 a 的 函 数 关 系 式 ， 并 写 出 定 义 域 .(2)证 明 ： b2 3a.(3)若 f(x)， f (x)这 两 个 函 数 的 所 有 极 值 之 和 不 小 于 72 ， 求 a的 取 值 范 围 .解 析 ： (1)通 过 对 f(x)=x3+ax2+bx+1 求 导 可 知 g(x)=f (x)=3x2+2ax+b， 进 而 再 求 导 可 知 g(x)=6x+2a， 通 过 令 g (x)=0 进 而 可 知 f (x)的 极 小 值 点 为 x= 3a ， 从 而 f( 3a )=0， 整理 可 知 b= 22 39a a (a 0)， 结 合
36、f(x)=x 3+ax2+bx+1(a 0， b R)有 极 值 可 知 f (x)=0 有 两个 不 等 的 实 根 ， 进 而 可 知 a 3.(2)通 过 (1)构 造 函 数 42 3 32 24 5 9 13 4 27 2781 3 81a ah a b a a aa a ， 结 合 a 3 可 知 h(a) 0， 从 而 可 得 结 论 .(3)通 过 (1)可 知 f (x)的 极 小 值 为 23 3a af b ， 利 用 韦 达 定 理 及 完 全 平 方 关 系 可 知y=f(x) 的 两 个 极 值 之 和 为 34 2 227 3a ab ， 进 而 问 题 转 化
37、为 解 不 等 式 2 3 24 2 72 33 27 3 9 2a a ab ab a ， 因 式 分 解 即 得 结 论 .答 案 ： (1)因 为 f(x)=x3+ax2+bx+1，所 以 g(x)=f (x)=3x2+2ax+b， g (x)=6x+2a， 令 g (x)=0， 解 得 x= 3a .由 于 当 x 3a 时 g (x) 0， g(x)=f (x)单 调 递 增 ；当 x 3a 时 g (x) 0， g(x)=f (x)单 调 递 减 ；所 以 f (x)的 极 小 值 点 为 x= 3a ，由 于 导 函 数 f (x)的 极 值 点 是 原 函 数 f(x)的 零
38、点 ，所 以 f( 3a )=0， 即 3 3 1 027 9 3a a ab ， 所 以 22 39ab a (a 0).因 为 f(x)=x3+ax2+bx+1(a 0， b R)有 极 值 ，所 以 f (x)=3x2+2ax+b=0的 实 根 ，所 以 4a2-12b 0， 即 22 2 93aa a 0， 解 得 a 3，所 以 22 39ab a (a 3).(2)证 明 ： 由 (1)可 知 42 3 32 24 5 9 13 4 27 2781 3 81a ah a b a a aa a ， 由 于 a 3， 所 以 h(a) 0， 即 b2 3a.(3)由 (1)可 知 f
39、(x)的 极 小 值 为 2( )3 3a af b ，设 x1， x2是 y=f(x)的 两 个 极 值 点 ， 则 x1+x2= 23a ， x1x2= 3b ，所 以 f(x1)+f(x2)=x13+x23+a(x12+x22)+b(x1+x2)+2=(x 1+x2)(x1+x2)2-3x1x2+a(x1+x2)2-2x1x2+b(x1+x2)+2= 34 2 227 3a ab ，又 因 为 f(x)， f (x)这 两 个 函 数 的 所 有 极 值 之 和 不 小 于 72 ，所 以 2 3 24 2 3 723 27 3 9 2a a ab ab a ，因 为 a 3， 所 以
40、2a 3-63a-54 0，所 以 2a(a2-36)+9(a-6) 0， 所 以 (a-6)(2a2+12a+9) 0，由 于 a 3 时 2a2+12a+9 0，所 以 a-6 0， 解 得 a 6，所 以 a的 取 值 范 围 是 (3， 6.选 做 题 本 题 包 括 A、 B、 C、 D 四 小 题 ， 请 选 定 其 中 两 小 题 ， 并 在 相 应 的 答 题 区 域 内 作 答 若多 做 ， 则 按 作 答 的 前 两 小 题 评 分 .解 答 时 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .A.选 修 4-1： 几 何 证 明 选 讲 (本 小 题
41、 满 分 10分 )21.如 图 ， AB为 半 圆 O 的 直 径 ， 直 线 PC切 半 圆 O于 点 C， AP PC， P 为 垂 足 . 求 证 ： (1) PAC= CAB.(2)AC2=AP AB.解 析 ： (1)利 用 弦 切 角 定 理 可 得 ： ACP= ABC.利 用 圆 的 性 质 可 得 ACB=90 .再 利 用 三 角 形内 角 和 定 理 即 可 证 明 .(2)由 (1)可 得 ： APC ACB， 即 可 证 明 .答 案 ： (1) 直 线 PC切 半 圆 O于 点 C， ACP= ABC. AB 为 半 圆 O 的 直 径 ， ACB=90 . AP
42、 PC， APC=90 . PAC=90 - ACP， CAB=90 - ABC， PAC= CAB.(2)由 (1)可 得 ： APC ACB， AC APAB AC . AC2=AP AB.B.选 修 4-2： 矩 阵 与 变 换 (本 小 题 满 分 10分 )22.已 知 矩 阵 A= 0 11 0 ， B= 1 00 2 .(1)求 AB.(2)若 曲 线 C 1： 2 2 18 2x y 在 矩 阵 AB对 应 的 变 换 作 用 下 得 到 另 一 曲 线 C2， 求 C2的 方 程 .解 析 ： (1)按 矩 阵 乘 法 规 律 计 算 .(2)求 出 变 换 前 后 的 坐
43、标 变 换 规 律 ， 代 入 曲 线 C1的 方 程 化 简 即 可 .答 案 ： (1)AB= 0 1 1 01 0 0 2 0 21 0 . (2)设 点 P(x， y)为 曲 线 C1的 任 意 一 点 ，点 P 在 矩 阵 AB 的 变 换 下 得 到 点 P (x0， y0)，则 0 2 21 0 x yy x ， 即 x0=2y， y0=x， x=y0， y= 02x ， 2 20 0 18 8y x ， 即 x 02+y02=8， 曲 线 C2的 方 程 为 x2+y2=8.C.选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程 (本 小 题 满 分 10分 )23.在 平 面
44、直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 直 线 l 的 参 数 方 程 为 82x tty (t 为 参 数 )， 曲 线 C 的参 数 方 程 为 222 2x sy s (s 为 参 数 ).设 P 为 曲 线 C 上 的 动 点 ， 求 点 P 到 直 线 l 的 距 离 的 最 小 值 .解 析 ： 求 出 直 线 l的 直 角 坐 标 方 程 ， 代 入 距 离 公 式 化 简 得 出 距 离 d 关 于 参 数 s的 函 数 ， 从 而得 出 最 短 距 离 .答 案 ： 直 线 l 的 直 角 坐 标 方 程 为 x-2y+8=0， P 到 直 线 l 的 距 离 22 2
45、42 4 8 225 5ss sd ， 当 s= 2 时 ， d 取 得 最 小 值 45 455 .D.选 修 4-5： 不 等 式 选 讲 (本 小 题 满 分 10分 ) 24.已 知 a， b， c， d为 实 数 ， 且 a2+b2=4， c2+d2=16， 证 明 ac+bd 8.解 析 ： a2+b2=4， c2+d2=16， 令 a=2cos ， b=2sin ， c=4cos ， d=4sin .代 入 ac+bd化 简 ，利 用 三 角 函 数 的 单 调 性 即 可 证 明 .另 解 ： 由 柯 西 不 等 式 可 得 ： (ac+bd)2 (a2+b2)(c2+d2)，
46、 即可 得 出 .答 案 ： a2+b2=4， c2+d2=16，令 a=2cos ， b=2sin ， c=4cos ， d=4sin . ac+bd=8(cos cos +sin sin )=8cos( - ) 8.当 且 仅 当 cos( - )=1 时 取 等 号 .因 此 ac+bd 8.另 解 ： 由 柯 西 不 等 式 可 得 ： (ac+bd) 2 (a2+b2)(c2+d2)=4 16=64， 当 且 仅 当 a bc d 时 取 等 号 . -8 ac+bd 8.必 做 题 每 小 题 10 分 .25.如 图 ， 在 平 行 六 面 体 ABCD-A1B1C1D1中 ，
47、AA1 平 面 ABCD， 且 AB=AD=2， AA1= 3 ， BAD=120 . (1)求 异 面 直 线 A1B 与 AC1所 成 角 的 余 弦 值 .(2)求 二 面 角 B-A1D-A的 正 弦 值 .解 析 ： (1)在 平 面 ABCD内 ， 过 A 作 Ax AD， 由 AA1 平 面 ABCD， 可 得 AA1 Ax， AA1 AD， 以A为 坐 标 原 点 ， 分 别 以 Ax、 AD、 AA1所 在 直 线 为 x、 y、 z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 .结 合 已 知 求出 A， B， C， D， A1， C1的 坐 标 ， 进 一 步 求 出 1AB
48、uuur， 1ACuuur， DBuuur， 1DAuuur的 坐 标 .直 接 利 用 两 法 向 量 所 成 角 的 余 弦 值 可 得 异 面 直 线 A1B与 AC1所 成 角 的 余 弦 值 .(2)求 出 平 面 BA 1D 与 平 面 A1AD 的 一 个 法 向 量 ， 再 由 两 法 向 量 所 成 角 的 余 弦 值 求 得 二 面 角B-A1D-A的 余 弦 值 ， 进 一 步 得 到 正 弦 值 .答 案 ： (1)在 平 面 ABCD内 ， 过 A 作 Ax AD， AA1 平 面 ABCD， AD、 Ax平 面 ABCD， AA1 Ax， AA1 AD，以 A 为
49、坐 标 原 点 ， 分 别 以 Ax、 AD、 AA1所 在 直 线 为 x、 y、 z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 . AB=AD=2， AA1= 3 ， BAD=120 ， A(0， 0， 0)， B( 3 ， -1， 0)， C( 3 ， 1， 0)， D(0， 2， 0)，A1(0， 0， 3 )， C1( 3 ， 1， 3 ).1 ( 3 3)1AB uuur ， ， ，1 ( 3 3)1AC uuur ， ， ， ( 3 3 )0DB uuur ， ， ，1DAuuur=(0， -2， 3 ). 1 11 1 1 1 1 177 7AB ACAB AC AB Aos Cc uuur uuuruuu
