2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学理及答案解析.docx

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1、第 1 页 共 23 页 第 卷 (共 50 分 )一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 10 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ，只 有 一 项 是 符 合 要 求 的(1)已 知 集 合 2 4 3 0A x x x ， 2 4B x x ,则 A B=A.(1， 3)B.(1， 4)C.(2， 3)D.(2， 4) 答 案 ： C2.若 复 数 Z 满 足 1z ii ， 其 中 i 为 虚 数 为 单 位 ， 则 z =A.1-iB.1+iC.-1-iD.-1+i答 案 ： A 解 析 ： 因 为 1z ii ， 所

2、 以 ， 1 1z i i i 所 以 ， 1z i 故 选 ： A.3.要 得 到 函 数 sin 4 3y x 的 图 象 ， 只 需 要 将 函 数 sin 4y x 的 图 象A.向 左 平 移 12 个 单 位 第 2 页 共 23 页 B.向 右 平 移 12 个 单 位C.向 左 平 移 3 个 单 位D.向 右 平 移 3 个 单 位答 案 ： B 4.已 知 ABCD的 边 长 为 a ， ABC=60o ,则 BD CD ( )A.- 32a2B.- 34a2C.34a2D.32a2答 案 ： D 解 析 ：因 为 BD CD BD BA BA BC BA 2 2 2 23

3、cos60 2BA BC BA a a a 故 选 D.5.不 等 式 1 5 2x x 的 解 集 是 ( )A.(-， 4)B.(-， 1)C.(1， 4) 第 3 页 共 23 页 D.(1， 5)答 案 ： A 6.已 知 x,y满 足 约 束 条 件 020 x yx yy ， 若 z=ax+y的 最 大 值 为 4， 则 a=( ).A.3B.2C.-2D.-3【 答 案 】 B【 解 析 】 第 4 页 共 23 页 考 点 ： 简 单 的 线 性 规 划 问 题 .7.在 梯 形 ABCD 中 ， 2ABC ， AD/BC， BC=2AD=2AB=2.将 梯 形 ABCD 绕

4、AD所 在 的 直 线 旋转 一 周 而 形 成 的 曲 面 所 围 成 的 几 何 体 的 体 积 为A.23B.43C.53D.2 答 案 ： C【 解 析 】试 题 分 析 ： 直 角 梯 形 ABCD绕 AD所 在 的 直 线 旋 转 一 周 而 形 成 的 曲 面 所 围 成 的 几 何 体 是 一 个 底面 半 径 为 1， 母 线 长 为 2 的 圆 柱 挖 去 一 个 底 面 半 径 同 样 是 1、 高 为 1 的 圆 锥 后 得 到 的 组 合 体 ，所 以 该 组 合 体 的 体 积 为 ： 2 21 51 2 1 13 3V V V 圆 柱 圆 锥 第 5 页 共 23

5、 页 故 选 C.考 点 ： 1、 空 间 几 何 体 的 结 构 特 征 ； 2、 空 间 几 何 体 的 体 积 .8.已 知 某 批 零 件 的 长 度 误 差 (单 位 ： 毫 米 )服 从 正 态 分 布 N(0， 3)， 从 中 随 机 取 一 件 ， 其 长 度误 差 落 在 区 间 (3,6)内 的 概 率 为(附 ： 若 随 机 变 量 服 从 正 态 分 布 N( ， )， 则 P( - + )=68.26%， P( -2 +2 )=95.44%.)A.4.56%B.13.59%C.27.18% D.31.74%答 案 ： B解 析 ： 用 表 示 零 件 的 长 度 ，

6、根 据 正 态 分 布 的 性 质 得 ： 13 6 6 6 3 32P P P 0.9544 0.6826 0.13592 故 选 B.考 点 ： 正 态 分 布 的 概 念 与 正 态 密 度 曲 线 的 性 质 .9.一 条 光 纤 从 点 (-2， -3)射 出 ， 经 y轴 反 射 后 与 圆 （ x+3)2 + 2)2 1 相 切 ， 则 反射 光 线 所 在 直 线 的 斜 率 为 ( ) A. 53或 35B.- 32 或 23C. 54或 45D. 43或 34答 案 ： D 第 6 页 共 23 页 考 点 ： 1、 圆 的 标 准 方 程 ； 2、 直 线 的 方 程 ；

7、 3、 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 .10.设 函 数 f(x)= 31 ,x 12 , 1 ,则 满 足 2f af f a 的 a取 值 范 围 是 ()A.23,1B.0,1C.23 , +）D.1, +）答 案 ： C 考 点 ： 1、 分 段 函 数 ； 2、 指 数 函 数 . 第 7 页 共 23 页 第 卷 (共 100分 )二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 5 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 25分 。11.观 察 下 列 各 式 ：C10 =400 1 13 3 4C C 0 1 2 25 5 5 4 ;C C C 0 1 2 3 37 7 7 7 4

8、C C C C 照 此 规 律 ， 当 nN 时 ，0 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1nn n n nC C C C .答 案 ： 14n解 析 ： 由 归 纳 推 理 得 ： 0 1 2 1 12 1 2 1 2 1 2 1 4n nn n n nC C C C 考 点 ： 1、 合 情 推 理 ； 2、 组 合 数 .12.若 “ 0, ,tan4x x m ” 是 真 命 题 ， 则 实 数 m 的 最 小 值 为 . 答 案 ： 1 考 点 ： 1、 命 题 ； 2、 正 切 函 数 的 性 质 .13.执 行 右 边 的 程 序 框 图 ， 输 出 的 T 的 值 为 .

9、第 8 页 共 23 页 答 案 ： 116解 析 ： 初 始 条 件 1, 1, 3n T n 成 立 方 ；运 行 第 一 次 ： 10 1 31 1 , 2, 32 2T xdx n n 成 立 ；运 行 第 二 次 ： 1 203 3 1 11, 3, 32 2 3 6T x dx n n 不 成 立 ；输 出 T 的 值 ： 11.6 结 束所 以 答 案 应 填 ： 11.6考 点 ： 1、 程 序 框 图 ； 2、 定 积 分 . 14.已 知 函 数 ( ) ( 0, 1)xf x a b a a 的 定 义 域 和 值 域 都 是 1,0 ， 则 a b 答 案 ： 32 第

10、 9 页 共 23 页 考 点 ： 指 数 函 数 的 性 质 .15.平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 双 曲 线 2 21 2 2: 1 0, 0 x yC a ba b 的 渐 近 线 与 抛 物 线 22 : 2 0C x py p 交 于 O， 若 OAB 的 垂 心 为 2C 的 焦 点 ， 则 1C 的 离 心 率 为 .答 案 ： 32解 析 ： 设 OA 所 在 的 直 线 方 程 为 by xa ,则 OB 所 在 的 直 线 方 程 为 by xa 解 方 程 组 2 2by xax py 得 ： 2222pbx apby a ， 所 以 点 A 的 坐 标 为

11、222 2,pb pba a 抛 物 线 的 焦 点 F 的 坐 标 为 : 0, 2p 因 为 F 是 ABC 的 垂 心 ， 所 以 1OB AFk k 所 以 ， 2 22 22 52 12 4pb pb ba pba aa 所 以 ， 2 22 2 2 9 31 4 2c be ea a 第 10 页 共 23 页 所 以 ， 答 案 应 填 ： 32 .考 点 ： 1、 双 曲 线 的 标 准 方 程 与 几 何 性 质 ； 2、 抛 物 线 的 标 准 方 程 与 几 何 性 质 .三 、 解 答 题 ： 本 答 题 共 6 小 题 ， 共 75分 。16.(本 小 题 满 分 1

12、2分 )设 f(x)=sin cos cosx x 2(x+ 4 ).( )求 f(x)的 单 调 区 间 ；( )在 锐 角 ABC 中 ， 角 A,B,C,的 对 边 分 别 为 a,b,c,若 f( 2A )=0,a=1,求 ABC 面 积 的 最大 值 。 第 11 页 共 23 页 因 此 1 2 3sin2 4bc A 所 以 ABC 面 积 的 最 大 值 为 2 34考 点 ： 1、 诱 导 公 式 ； 2、 三 角 函 数 的 二 倍 角 公 式 ； 3、 余 弦 定 理 ； 4、 基 本 不 等 式 .17. (本 小 题 满 分 12 分 ) 第 12 页 共 23 页

13、如 图 ， 在 三 棱 台 DEF-ABC中 ， AB=2DE,G,H分 别 为 AC,BC的 中 点 。 ( )求 证 ： BC/平 面 FGH；( )若 CF 平 面 ABC， AB BC， CF=DE, BAC= 045 ,求 平 面 FGH 与 平 面 ACFD 所 成 的 角 (锐角 )的 大 小 . 第 13 页 共 23 页 则 O 为 CD 的 中 点又 H 为 BC 的 中 点所 以 / /OH BD又 OH 平 面 ,HDF BD 平 面 ,HDF所 以 / /BD 平 面 HDF 证 法 二 ：在 三 棱 台 DEF ABC 中 ， 由 2 ,BC EF H 为 BC 的

14、 中 点可 得 / / , ,BH EF BH EF所 以 四 边 形 BHFE 为 平 行 四 边 形可 得 / /BE HF在 ABC 中 ， G 为 AC 的 中 点 ， H 为 BC 的 中 点 ，所 以 / /GH AB又 GH HF H ， 所 以 平 面 / /FGH 平 面 ABED 因 为 BD平 面 ABED所 以 / /BD 平 面 FGH(II)解 法 一 ： 设 2AB ， 则 1CF 在 三 棱 台 DEF ABC 中 ， 第 14 页 共 23 页 G 为 AC 的 中 点由 12DF AC GC ，可 得 四 边 形 DGCF 为 平 行 四 边 形 ，因 此

15、/ /DG CF又 FC 平 面 ABC所 以 DG 平 面 ABC在 ABC 中 ， 由 , 45AB BC BAC ， G 是 AC 中 点 ，所 以 ,AB BC GB GC 因 此 , ,GB GC GD 两 两 垂 直 ,以 G 为 坐 标 原 点 ， 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 G xyz 所 以 0,0,0 , 2,0,0 , 0, 2,0 , 0,0,1G B C D可 得 2 2, ,0 , 0, 2,12 2H F 故 2 2, ,0 , 0, 2,12 2GH GF 设 , ,n x y z 是 平 面 FGH 的 一 个 法 向 量 ， 则

16、第 15 页 共 23 页 由 0,0,n GHn GF 可 得 02 0 x yy z 可 得 平 面 FGH 的 一 个 法 向 量 1, 1, 2n 因 为 GB 是 平 面 ACFD 的 一 个 法 向 量 ， 2,0,0GB 所 以 2 1cos , 2| | | | 2 2GB nGB n GB n 所 以 平 面 与 平 面 所 成 的 解 (锐 角 )的 大 小 为 60解 法 二 ： 作 HM AC 于 点 M ， 作 MN GF 于 点 N ， 连 接 NH由 FC 平 面 ABC ， 得 HM FC又 FC AC C所 以 HM 平 面 ACFD因 此 GF NH所 以

17、MNH 即 为 所 求 的 角 在 BGC 中 , 1 2/ / , ,2 2MH BG MH BG 第 16 页 共 23 页 由 GNM GCF 考 点 ： 1、 空 间 直 线 与 平 面 的 位 置 关 系 ； 2、 二 面 角 的 求 法 ； 3、 空 间 向 量 在 解 决 立 体 几 何 问题 中 的 应 用 .18.(本 小 题 满 分 12分 )设 数 列 na 的 前 n 项 和 为 nS .已 知 2 nS =3n +3.(I)求 na 的 通 项 公 式 ；(II)若 数 列 nb 满 足 3logn n na b a ， 求 nb 的 前 n 项 和 nT .解 析

18、： (I)利 用 数 列 前 n 项 和 nS 与 通 项 na 的 关 系 求 解 ；(II)结 合 第 (I)问 的 结 果 ， 利 用 关 系 式 3logn n na b a 求 出 数 列 nb 的 通 项 公 式 ， 并 结 合 其 通项 的 结 构 特 征 ， 采 用 错 位 相 减 法 求 其 前 n 项 和 nT .答 案 ：(I)因 为 2 3 3nnS 所 以 ， 12 3 3a ， 故 1 3,a 第 17 页 共 23 页 当 1n 时 ， 112 3 3,nnS 考 点 ： 1、 数 列 前 n 项 和 nS 与 通 项 na 的 关 系 ； 2、 特 殊 数 列

19、的 求 和 问 题 .19.(本 小 题 满 分 12分 )若 n是 一 个 三 位 正 整 数 ， 且 n的 个 位 数 字 大 于 十 位 数 字 ， 十 位 数 字 大 于 百 位 数 字 ， 则 称 n为“ 三 位 递 增 数 ” (如 137,359,567 等 ).在 某 次 数 学 趣 味 活 动 中 ， 每 位 参 加 者 需 从 所 有 的 “ 三位 递 增 数 ” 中 随 机 抽 取 1 个 数 ， 且 只 能 抽 取 一 次 .得 分 规 则 如 下 ： 若 抽 取 的 “ 三 位 递 增 数 ”的 三 个 数 字 之 积 不 能 被 5 整 除 ， 参 加 者 得 0

20、分 ； 若 能 被 5整 除 ， 但 不 能 被 10整 除 ， 得 1 分 ；若 能 被 10整 除 ， 得 1 分 .(I)写 出 所 有 个 位 数 字 是 5 的 “ 三 位 递 增 数 ” ； 第 18 页 共 23 页 (II)若 甲 参 加 活 动 ， 求 甲 得 分 X 的 分 布 列 和 数 学 期 望 EX . 考 点 ： 1、 新 定 义 ； 2、 古 典 概 型 ； 3、 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 与 数 学 期 望 ； 4、 组 合 的 应 用 .20.(本 小 题 满 分 13分 )平 面 直 角 坐 标 系 剐 中 ， 已 知 椭 圆 ： 2a2

21、 + 22 1a )的 离 心 率 为 32 ， 左 、 右 焦点 分 别 是 1、 2.以 1为 圆 心 以 3 为 半 径 的 圆 与 以 2为 圆 心 1 为 半 径 的 圆 相 交 ， 且 交 点 在椭 圆 上 .( )求 椭 圆 的 方 程 ；( )设 椭 圆 242 + 242 1, 为 椭 圆 上 任 意 一 点 ， 过 点 的 直 线 + 交 第 19 页 共 23 页 椭 圆 于 , 两 点 ， 射 线 剐 交 椭 圆 于 点 .( i )求 剐剐的 值 ；(ii)求 面 积 的 最 大 值 . (II)由 (I)知 椭 圆 E的 方 程 为 2 2 116 4x y (i)

22、设 0 0,P x y ， OQOP ， 由 题 意 知 0 0,Q x y 因 为 2 20 0 14x y 第 20 页 共 23 页 又 2 20 0 116 4x y ， 即 22 20 0 14 4x y 所 以 2 ， 即 2OQOP (ii)设 1 1 2 2, , ,A x y B x y将 y kx m 代 入 椭 圆 E的 方 程 ，可 得 2 2 21 4 8 4 16 0k x kmx m 由 0 ， 可 得 2 24 16m k 则 有 21 2 1 22 28 4 16,1 4 1 4km mx x x xk k 所 以 2 21 2 24 16 41 4k mx

23、x k 因 为 直 线 y kx m 与 轴 交 点 的 坐 标 为 0,m所 以 OAB 的 面 积 2 22 2 22 16 412 1 4k m mS m x x k 2 2 2 2 22 2 22 (16 4 ) 2 41 4 1 4 1 4k m m m mk k k 令 2 21 4m tk 将 y kx m 代 入 椭 圆 C 的 方 程可 得 2 2 21 4 8 4 4 0k x kmx m 由 0 ， 可 得 2 21 4m k 由 可 知 0 1t 因 此 22 4 2 4S t t t t 故 2 3S 当 且 仅 当 1t ， 即 2 21 4m k 时 取 得 最

24、大 值 2 3 第 21 页 共 23 页 由 (i)知 ， ABQ 面 积 为 3S所 以 ABQ 面 积 的 最 大 值 为 6 3 .考 点 ： 1、 椭 圆 的 标 准 方 程 与 几 何 性 质 ； 2、 直 线 与 椭 圆 位 置 关 系 综 合 问 题 ； 3、 函 数 的 最 值问 题 .21.(本 小 题 满 分 14分 )设 函 数 2ln 1f x x a x x ， 其 中 a R .( )讨 论 函 数 f x 极 值 点 的 个 数 ， 并 说 明 理 由 ； ( )若 0, 0 x f x 成 立 ， 求 a的 取 值 范 围 .答 案 ：(I)： 当 0a 时

25、， 函 数 f x 在 1, 上 有 唯 一 极 值 点 ；当 80 9a 时 ， 函 数 f x 在 1, 上 无 极 值 点 ；当 89a 时 ， 函 数 f x 在 1, 上 有 两 个 极 值 点 ；(II)a的 取 值 范 围 是 0,1 . 21 2 121 1ax ax af x ax ax x 令 22 1g x ax ax a 第 22 页 共 23 页 (1)当 0a 时 ， 1 0g x ， 0f x 在 1, 上 恒 成 立所 以 ， 函 数 f x 在 1, 上 单 调 递 增 无 极 值 ；(2)当 0a 时 ， 22 1 92 1 2 14 8ag x ax ax

26、 a a x 若 91 08a ， 即 ： 80 9a ， 则 0g x 在 1, 上 恒 成 立 ，从 而 0f x 在 1, 上 恒 成 立 ， 函 数 f x 在 1, 上 单 调 递 增 无 极 值 ；若 91 08a ， 即 ： 89a ， 由 于 1 1 0, 1 2 1 0g g a 则 g x 在 在 1, 上 有 两 个 零 点 ， 从 而 函 数 f x 在 1, 上 有 两 个 极 值 点 1 2,x x且 1 214x x ；(3)当 0a 时 ， g x 在 11, 4 上 单 调 递 增 ， 在 1 ,4 上 单 调 递 减 ，且 1 91 1 0, 1 04 8a

27、g g ，所 以 ， g x 在 在 1, 上 有 唯 一 零 点 ，从 而 函 数 f x 在 1, 上 有 唯 一 极 值 点 . 综 上 ：当 0a 时 ， 函 数 f x 在 1, 上 有 唯 一 极 值 点 ；当 80 9a 时 ， 函 数 f x 在 1, 上 无 极 值 点 ；当 89a 时 ， 函 数 f x 在 1, 上 有 两 个 极 值 点 ；(II)由 (I)知 ，(1)当 80 9a 时 ， 函 数 f x 在 0, 上 单 调 递 增 ，因 为 0 0f 第 23 页 共 23 页考 点 ： 1、 导 数 在 研 究 函 数 性 质 中 的 应 用 ； 2、 分 类 讨 论 的 思 想 .