2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学理及答案解析.docx
《2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学理及答案解析.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学理及答案解析.docx(15页珍藏版)》请在麦多课文档分享上搜索。
1、2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 ( 湖 南 卷 ) 数 学 理一 、 选 择 题 : 本 大 题 共 8 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 40分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 , 只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.(5分 )复 数 z=i (1+i)(i为 虚 数 单 位 )在 复 平 面 上 对 应 的 点 位 于 ( )A.第 一 象 限B.第 二 象 限C.第 三 象 限D.第 四 象 限解 析 : z=i (1+i)=-1+i, 故 复 数 z 对 应 的 点 为 (-1, 1), 在 复 平 面 的 第
2、 二 象 限 ,答 案 : B. 2.(5分 )某 学 校 有 男 、 女 学 生 各 500名 , 为 了 解 男 、 女 学 生 在 学 习 兴 趣 与 业 余 爱 好 方 面 是 否存 在 显 著 差 异 , 拟 从 全 体 学 生 中 抽 取 100名 学 生 进 行 调 查 , 则 宜 采 用 的 抽 样 方 法 是 ( )A.抽 签 法B.随 机 数 法C.系 统 抽 样 法D.分 层 抽 样 法解 析 : 总 体 由 男 生 和 女 生 组 成 , 比 例 为 500: 500=1: 1, 所 抽 取 的 比 例 也 是 1: 1.故 拟 从 全 体 学 生 中 抽 取 100名
3、 学 生 进 行 调 查 , 则 宜 采 用 的 抽 样 方 法 是 分 层 抽 样 法 .答 案 : D3.(5分 )在 锐 角 ABC中 , 角 A, B所 对 的 边 长 分 别 为 a, b.若 2asinB= b, 则 角 A 等 于( ) A.B.C.D.解 析 : 在 ABC中 , 2asinB= b, 由 正 弦 定 理 = =2R得 : 2sinAsinB= sinB, sinA= , 又 ABC为 锐 角 三 角 形 , A= .答 案 : D. 4.(5分 )若 变 量 x, y满 足 约 束 条 件 , 则 x+2y的 最 大 值 是 ( ) A.B.0C.D.解 析
4、: 作 出 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 , 得 到 如 图 的 ABC及 其 内 部 , 其 中 A(- , -1), B( , ), C(2, -1)设 z=F(x, y)=x+2y, 将 直 线 l: z=x+2y进 行 平 移 ,当 l 经 过 点 B 时 , 目 标 函 数 z达 到 最 大 值 z 最 大 值 =F( , )=答 案 : C5.(5分 )函 数 f(x)=2lnx的 图 象 与 函 数 g(x)=x 2-4x+5的 图 象 的 交 点 个 数 为 ( )A.3B.2C.1D.0解 析 : 在 同 一 坐 标 系 下 , 画 出 函 数 f(x)=2ln
5、x 的 图 象 与 函 数 g(x)=x2-4x+5 的 图 象 如 图 : 由 图 可 知 , 两 个 函 数 图 象 共 有 2 个 交 点 .答 案 : B.6.(5分 )已 知 , 是 单 位 向 量 , , 若 向 量 满 足 , 则 的 取 值范 围 为 ( )A.B.C.D.解 析 : 令 , , , 如 图 所 示 : 则 , 又 , 所 以 点 C 在 以 点 D 为 圆 心 、 半 径 为 1 的 圆 上 ,易 知 点 C 与 O、 D 共 线 时 达 到 最 值 , 最 大 值 为 +1, 最 小 值 为 -1, 所 以 的 取值 范 围 为 -1, +1.答 案 : A
6、.7.(5分 )已 知 棱 长 为 1 的 正 方 体 的 俯 视 图 是 一 个 面 积 为 1的 正 方 形 , 则 该 正 方 体 的 正 视 图 的面 积 不 可 能 是 ( )A.1B.C. D.解 析 : 水 平 放 置 的 正 方 体 , 当 正 视 图 为 正 方 形 时 , 其 面 积 最 小 为 1; 当 正 视 图 为 对 角 面 时 ,其 面 积 最 大 为 .因 此 满 足 棱 长 为 1 的 正 方 体 的 俯 视 图 是 一 个 面 积 为 1的 正 方 形 , 则 该 正 方 体 的 正 视 图 的 面 积的 范 围 为 .因 此 可 知 : A, B, D皆
7、有 可 能 , 而 1, 故 C不 可 能 .答 案 : C.8.(5分 )在 等 腰 直 角 三 角 形 ABC中 , AB=AC=4, 点 P是 边 AB 边 上 异 于 AB的 一 点 , 光 线 从 点 P出 发 , 经 BC, CA 反 射 后 又 回 到 点 P(如 图 ), 若 光 线 QR 经 过 ABC的 重 心 , 则 AP等 于 ( ) A.2B.1C.D.解 析 : 建 立 如 图 所 示 的 坐 标 系 : 可 得 B(4, 0), C(0, 4), 故 直 线 BC的 方 程 为 x+y=4, ABC的 重 心 为 ( , ), 设 P(a, 0), 其 中 0 a
8、 4,则 点 P关 于 直 线 BC 的 对 称 点 P1(x, y), 满 足 , 解 得 , 即 P1(4, 4-a), 易 得 P 关 于 y轴 的 对 称 点 P2(-a, 0),由 光 的 反 射 原 理 可 知 P1, Q, R, P2四 点 共 线 ,直 线 QR的 斜 率 为 k= = , 故 直 线 QR的 方 程 为 y= (x+a),由 于 直 线 QR过 ABC的 重 心 ( , ), 代 入 化 简 可 得 3a2-4a=0,解 得 a= , 或 a=0(舍 去 ), 故 P( , 0), 故 AP=答 案 : D二 、 填 空 题 : 本 大 题 共 8 小 题 ,
9、 考 生 作 答 7 小 题 , 第 小 题 5 分 , 共 35分 .(一 )选 做 题 (请 考 生 在 第 9, 10, 11三 题 中 任 选 两 题 作 答 、 如 果 全 做 , 则 按 前 两 题 记 分 )(二 )必 做 题 (12 16题 )9.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 , 若 直 线 l: , (t为 参 数 )过 椭 圆 C: (为 参 数 )的 右 顶 点 , 则 常 数 a 的 值 为 .解 析 : 由 直 线 l: , 得 y=x-a, 再 由 椭 圆 C: , 得 , 2+ 2得 , .所 以 椭 圆 C: 的 右 顶 点 为 (3, 0).因 为
10、 直 线 l过 椭 圆 的 右 顶 点 , 所 以 0=3-a, 所 以 a=3.答 案 : 3.10.(5分 )已 知 a, b, c R, a+2b+3c=6, 则 a2+4b2+9c2的 最 小 值 为 .解 析 : a+2b+3c=6, 根 据 柯 西 不 等 式 , 得 (a+2b+3c) 2=(1 a+1 2b+1 3c)2 (12+12+12)a2+(2b)2+(3c)2,化 简 得 62 3(a2+4b2+9c2), 即 36 3(a2+4b2+9c2), a2+4b2+9c2 12,当 且 仅 当 a: 2b: 3c=1: 1: 1时 , 即 a=2, b=1, c= 时 等
11、 号 成 立由 此 可 得 : 当 且 仅 当 a=2, b=1, c= 时 , a2+4b2+9c2的 最 小 值 为 12答 案 : 12点 评 : 本 题 给 出 等 式 a+2b+3c=6, 求 式 子 a 2+4b2+9c2的 最 小 值 .着 重 考 查 了 运 用 柯 西 不 等 式11.(5分 )如 图 , 在 半 径 为 的 O中 , 弦 AB, CD相 交 于 点 P, PA=PB=2, PD=1, 则 圆 心 O到 弦 CD的 距 离 为 . 解 析 : 由 相 交 弦 定 理 得 , AP PB=CP PD, 2 2=CP 1, 解 得 : CP=4, 又 PD=1,
12、CD=5,又 O的 半 径 为 , 则 圆 心 O 到 弦 CD的 距 离 为 d= = = .答 案 : .12.(5分 )若 , 则 常 数 T的 值 为 .解 析 : = =9, 解 得 T=3,答 案 : 3.13.(5分 )执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 , 如 果 输 入 a=1, b=2, 则 输 出 的 a 的 值 为 . 解 析 : 程 序 在 运 行 过 程 中 各 变 量 的 聚 会 如 下 表 示 :是 否 继 续 循 环 a b循 环 前 /1 2第 一 圈 是 3 2第 二 圈 是 5 2第 三 圈 是 7 2第 四 圈 是 9 2第 五 圈 否故 最
13、终 输 出 的 a值 为 9.答 案 : 9. 14.(5分 )设 F1, F2是 双 曲 线 C: (a 0, b 0)的 两 个 焦 点 , P 是 C 上 一 点 , 若|PF1|+|PF2|=6a, 且 PF1F2的 最 小 内 角 为 30 , 则 C的 离 心 率 为 .解 析 : 因 为 F1、 F2是 双 曲 线 的 两 个 焦 点 , P 是 双 曲 线 上 一 点 , 且 满 足 |PF1|+|PF2|=6a,不 妨 设 P 是 双 曲 线 右 支 上 的 一 点 , 由 双 曲 线 的 定 义 可 知 |PF1|-|PF2|=2a所 以 |F1F2|=2c, |PF1|=
14、4a, |PF2|=2a, PF 1F2的 最 小 内 角 PF1F2=30 , 由 余 弦 定 理 , |PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2-2|F1F2|PF1|cos PF1F2,即 4a2=4c2+16a2-2c 4a , c2-2 ca+3a2=0, c= a, 所 以 e= = .答 案 : .15.(5分 )设 S n为 数 列 an的 前 n 项 和 , Sn=(-1)nan- , n N*, 则(1)a3= ;(2)S1+S2+ +S100= .解 析 : (1)由 , n N*,当 n=1时 , 有 , 得 .当 n 2 时 , .即 .若 n 为 偶 数 , 则 .
15、所 以 (n为 正 奇 数 ); 若 n 为 奇 数 , 则 = .所 以 (n 为 正 偶 数 ).所 以 (1) .答 案 : - ;(2)因 为 (n为 正 奇 数 ), 所 以 - ,又 (n为 正 偶 数 ), 所 以 .则 . , . 则 . .所 以 , S1+S2+S3+S4+ +S99+S100= . 答 案 : .16.(5分 )设 函 数 f(x)=ax+bx-cx, 其 中 c a 0, c b 0.(1)记 集 合 M=(a, b, c)|a, b, c 不 能 构 成 一 个 三 角 形 的 三 条 边 长 , 且 a=b, 则 (a, b, c) M所 对 应 的
16、 f(x)的 零 点 的 取 值 集 合 为 .(2)若 a, b, c 是 ABC的 三 条 边 长 , 则 下 列 结 论 正 确 的 是 .(写 出 所 有 正 确 结 论 的 序号 ) x (- , 1), f(x) 0; x R, 使 a x, bx, cx不 能 构 成 一 个 三 角 形 的 三 条 边 长 ; 若 ABC为 钝 角 三 角 形 , 则 x (1, 2), 使 f(x)=0.解 析 : (1)由 集 合 M 中 的 元 素 满 足 的 条 件 , 得 到 c a+b=2a, 求 得 的 范 围 , 解 出 函 数f(x)=ax+bx-cx的 零 点 , 利 用 不
17、 等 式 可 得 零 点 x 的 取 值 集 合 ;(2)对 于 , 把 函 数 式 f(x)=ax+bx-cx变 形 为 , 利 用 指 数 函 数 的 单 调 性 即 可 证 得 结论 成 立 ;对 于 , 利 用 取 特 值 法 说 明 命 题 是 正 确 的 ;对 于 , 由 ABC为 钝 角 三 角 形 说 明 f(2) 0, 又 f(1) 0, 由 零 点 的 存 在 性 定 理 可 得 命 题 正 确 . 答 案 : (1)因 为 c a, 由 c a+b=2a, 所 以 , 则 .令 f(x)=ax+bx-cx= .得 , 所 以 .所 以 0 x 1.故 答 案 为 x|0
18、x 1;(2)因 为 , 又 ,所 以 对 x (- , 1), .所 以 命 题 正 确 ;令 x=-1, a=2, b=4, c=5.则 ax= , bx= , cx= .不 能 构 成 一 个 三 角 形 的 三 条 边 长 .所 以 命 题 正 确 ;若 三 角 形 为 钝 角 三 角 形 , 则 a 2+b2-c2 0.f(1)=a+b-c 0, f(2)=a2+b2-c2 0.所 以 x (1, 2), 使 f(x)=0.所 以 命 题 正 确 .答 案 : .三 、 解 答 题 : 本 大 题 共 6 小 题 , 共 75分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过
19、程 或 演 算 步 骤 .17.(12分 )已 知 函 数 , .(I)若 是 第 一 象 限 角 , 且 , 求 g( )的 值 ;(II)求 使 f(x) g(x)成 立 的 x的 取 值 集 合 . 解 析 : (I)根 据 两 角 和 与 差 的 三 角 函 数 公 式 化 简 , 得 f(x)= sinx, 结 合 解出 sin = , 利 用 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 算 出 cos = .由 二 倍 角 的 余 弦 公 式 进 行 降 次 ,可 得 g(x)=1-cosx, 即 可 算 出 g( )=1-cos = ;(II)f(x) g(x), 即 sinx
20、1-cosx, 移 项 采 用 辅 助 角 公 式 化 简 整 理 , 得 2sin(x+ ) 1,再 根 据 正 弦 函 数 的 图 象 与 性 质 , 即 可 求 出 使 f(x) g(x)成 立 的 x的 取 值 集 合 .答 案 : sin(x- )=sinxcos -cosxsin = sinx- cosx,cos(x- )=cosxcos +sinxsin = cosx+ sinx, =( sinx- cosx)+( cosx+ sinx)=sinx,而 =1-cosx.(I) , sin = , 解 之 得 sin = , 是 第 一 象 限 角 , cos = = ,因 此 ,
21、 g( )= =1-cos = , (II)f(x) g(x), 即 sinx 1-cosx, 移 项 , 得 sinx+cosx 1, 化 简 得 2sin(x+ ) 1, sin(x+ ) , 可 得 +2k x+ +2k (k Z), 解 之 得2k x +2k (k Z),因 此 , 使 f(x) g(x)成 立 的 x 的 取 值 集 合 为 x|2k x +2k (k Z).18.(12分 )某 人 在 如 图 所 示 的 直 角 边 长 为 4米 的 三 角 形 地 块 的 每 个 格 点 (指 纵 、 横 直 线 的 交叉 点 以 及 三 角 形 顶 点 )处 都 种 了 一
- 1.请仔细阅读文档,确保文档完整性,对于不预览、不比对内容而直接下载带来的问题本站不予受理。
- 2.下载的文档,不会出现我们的网址水印。
- 3、该文档所得收入(下载+内容+预览)归上传者、原创作者;如果您是本文档原作者,请点此认领!既往收益都归您。
下载文档到电脑,查找使用更方便
2000 积分 0人已下载
下载 | 加入VIP,交流精品资源 |
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 2013 普通高等学校 招生 全国 统一 考试 湖南 学理 答案 解析