1、2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 湖 南 卷 ） 数 学 理一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 40分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.(5分 )复 数 z=i (1+i)(i为 虚 数 单 位 )在 复 平 面 上 对 应 的 点 位 于 ( )A.第 一 象 限B.第 二 象 限C.第 三 象 限D.第 四 象 限解 析 ： z=i (1+i)=-1+i， 故 复 数 z 对 应 的 点 为 (-1， 1)， 在 复 平 面 的 第
2、 二 象 限 ，答 案 ： B. 2.(5分 )某 学 校 有 男 、 女 学 生 各 500名 ， 为 了 解 男 、 女 学 生 在 学 习 兴 趣 与 业 余 爱 好 方 面 是 否存 在 显 著 差 异 ， 拟 从 全 体 学 生 中 抽 取 100名 学 生 进 行 调 查 ， 则 宜 采 用 的 抽 样 方 法 是 ( )A.抽 签 法B.随 机 数 法C.系 统 抽 样 法D.分 层 抽 样 法解 析 ： 总 体 由 男 生 和 女 生 组 成 ， 比 例 为 500： 500=1： 1， 所 抽 取 的 比 例 也 是 1： 1.故 拟 从 全 体 学 生 中 抽 取 100名
3、 学 生 进 行 调 查 ， 则 宜 采 用 的 抽 样 方 法 是 分 层 抽 样 法 .答 案 ： D3.(5分 )在 锐 角 ABC中 ， 角 A， B所 对 的 边 长 分 别 为 a， b.若 2asinB= b， 则 角 A 等 于( ) A.B.C.D.解 析 ： 在 ABC中 ， 2asinB= b， 由 正 弦 定 理 = =2R得 ： 2sinAsinB= sinB， sinA= ， 又 ABC为 锐 角 三 角 形 ， A= .答 案 ： D. 4.(5分 )若 变 量 x， y满 足 约 束 条 件 ， 则 x+2y的 最 大 值 是 ( ) A.B.0C.D.解 析
4、： 作 出 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 ， 得 到 如 图 的 ABC及 其 内 部 ， 其 中 A(- ， -1)， B( ， )， C(2， -1)设 z=F(x， y)=x+2y， 将 直 线 l： z=x+2y进 行 平 移 ，当 l 经 过 点 B 时 ， 目 标 函 数 z达 到 最 大 值 z 最 大 值 =F( ， )=答 案 ： C5.(5分 )函 数 f(x)=2lnx的 图 象 与 函 数 g(x)=x 2-4x+5的 图 象 的 交 点 个 数 为 ( )A.3B.2C.1D.0解 析 ： 在 同 一 坐 标 系 下 ， 画 出 函 数 f(x)=2ln
5、x 的 图 象 与 函 数 g(x)=x2-4x+5 的 图 象 如 图 ： 由 图 可 知 ， 两 个 函 数 图 象 共 有 2 个 交 点 .答 案 ： B.6.(5分 )已 知 ， 是 单 位 向 量 ， ， 若 向 量 满 足 ， 则 的 取 值范 围 为 ( )A.B.C.D.解 析 ： 令 ， ， ， 如 图 所 示 ： 则 ， 又 ， 所 以 点 C 在 以 点 D 为 圆 心 、 半 径 为 1 的 圆 上 ，易 知 点 C 与 O、 D 共 线 时 达 到 最 值 ， 最 大 值 为 +1， 最 小 值 为 -1， 所 以 的 取值 范 围 为 -1， +1.答 案 ： A
6、.7.(5分 )已 知 棱 长 为 1 的 正 方 体 的 俯 视 图 是 一 个 面 积 为 1的 正 方 形 ， 则 该 正 方 体 的 正 视 图 的面 积 不 可 能 是 ( )A.1B.C. D.解 析 ： 水 平 放 置 的 正 方 体 ， 当 正 视 图 为 正 方 形 时 ， 其 面 积 最 小 为 1； 当 正 视 图 为 对 角 面 时 ，其 面 积 最 大 为 .因 此 满 足 棱 长 为 1 的 正 方 体 的 俯 视 图 是 一 个 面 积 为 1的 正 方 形 ， 则 该 正 方 体 的 正 视 图 的 面 积的 范 围 为 .因 此 可 知 ： A， B， D皆
7、有 可 能 ， 而 1， 故 C不 可 能 .答 案 ： C.8.(5分 )在 等 腰 直 角 三 角 形 ABC中 ， AB=AC=4， 点 P是 边 AB 边 上 异 于 AB的 一 点 ， 光 线 从 点 P出 发 ， 经 BC， CA 反 射 后 又 回 到 点 P(如 图 )， 若 光 线 QR 经 过 ABC的 重 心 ， 则 AP等 于 ( ) A.2B.1C.D.解 析 ： 建 立 如 图 所 示 的 坐 标 系 ： 可 得 B(4， 0)， C(0， 4)， 故 直 线 BC的 方 程 为 x+y=4， ABC的 重 心 为 ( ， )， 设 P(a， 0)， 其 中 0 a
8、 4，则 点 P关 于 直 线 BC 的 对 称 点 P1(x， y)， 满 足 ， 解 得 ， 即 P1(4， 4-a)， 易 得 P 关 于 y轴 的 对 称 点 P2(-a， 0)，由 光 的 反 射 原 理 可 知 P1， Q， R， P2四 点 共 线 ，直 线 QR的 斜 率 为 k= = ， 故 直 线 QR的 方 程 为 y= (x+a)，由 于 直 线 QR过 ABC的 重 心 ( ， )， 代 入 化 简 可 得 3a2-4a=0，解 得 a= ， 或 a=0(舍 去 )， 故 P( ， 0)， 故 AP=答 案 ： D二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 8 小 题 ，
9、 考 生 作 答 7 小 题 ， 第 小 题 5 分 ， 共 35分 .(一 )选 做 题 (请 考 生 在 第 9， 10， 11三 题 中 任 选 两 题 作 答 、 如 果 全 做 ， 则 按 前 两 题 记 分 )(二 )必 做 题 (12 16题 )9.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 若 直 线 l： ， (t为 参 数 )过 椭 圆 C： (为 参 数 )的 右 顶 点 ， 则 常 数 a 的 值 为 .解 析 ： 由 直 线 l： ， 得 y=x-a， 再 由 椭 圆 C： ， 得 ， 2+ 2得 ， .所 以 椭 圆 C： 的 右 顶 点 为 (3， 0).因 为
10、 直 线 l过 椭 圆 的 右 顶 点 ， 所 以 0=3-a， 所 以 a=3.答 案 ： 3.10.(5分 )已 知 a， b， c R， a+2b+3c=6， 则 a2+4b2+9c2的 最 小 值 为 .解 析 ： a+2b+3c=6， 根 据 柯 西 不 等 式 ， 得 (a+2b+3c) 2=(1 a+1 2b+1 3c)2 (12+12+12)a2+(2b)2+(3c)2，化 简 得 62 3(a2+4b2+9c2)， 即 36 3(a2+4b2+9c2)， a2+4b2+9c2 12，当 且 仅 当 a： 2b： 3c=1： 1： 1时 ， 即 a=2， b=1， c= 时 等
11、 号 成 立由 此 可 得 ： 当 且 仅 当 a=2， b=1， c= 时 ， a2+4b2+9c2的 最 小 值 为 12答 案 ： 12点 评 ： 本 题 给 出 等 式 a+2b+3c=6， 求 式 子 a 2+4b2+9c2的 最 小 值 .着 重 考 查 了 运 用 柯 西 不 等 式11.(5分 )如 图 ， 在 半 径 为 的 O中 ， 弦 AB， CD相 交 于 点 P， PA=PB=2， PD=1， 则 圆 心 O到 弦 CD的 距 离 为 . 解 析 ： 由 相 交 弦 定 理 得 ， AP PB=CP PD， 2 2=CP 1， 解 得 ： CP=4， 又 PD=1，
12、CD=5，又 O的 半 径 为 ， 则 圆 心 O 到 弦 CD的 距 离 为 d= = = .答 案 ： .12.(5分 )若 ， 则 常 数 T的 值 为 .解 析 ： = =9， 解 得 T=3，答 案 ： 3.13.(5分 )执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 如 果 输 入 a=1， b=2， 则 输 出 的 a 的 值 为 . 解 析 ： 程 序 在 运 行 过 程 中 各 变 量 的 聚 会 如 下 表 示 ：是 否 继 续 循 环 a b循 环 前 /1 2第 一 圈 是 3 2第 二 圈 是 5 2第 三 圈 是 7 2第 四 圈 是 9 2第 五 圈 否故 最
13、终 输 出 的 a值 为 9.答 案 ： 9. 14.(5分 )设 F1， F2是 双 曲 线 C： (a 0， b 0)的 两 个 焦 点 ， P 是 C 上 一 点 ， 若|PF1|+|PF2|=6a， 且 PF1F2的 最 小 内 角 为 30 ， 则 C的 离 心 率 为 .解 析 ： 因 为 F1、 F2是 双 曲 线 的 两 个 焦 点 ， P 是 双 曲 线 上 一 点 ， 且 满 足 |PF1|+|PF2|=6a，不 妨 设 P 是 双 曲 线 右 支 上 的 一 点 ， 由 双 曲 线 的 定 义 可 知 |PF1|-|PF2|=2a所 以 |F1F2|=2c， |PF1|=
14、4a， |PF2|=2a， PF 1F2的 最 小 内 角 PF1F2=30 ， 由 余 弦 定 理 ， |PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2-2|F1F2|PF1|cos PF1F2，即 4a2=4c2+16a2-2c 4a ， c2-2 ca+3a2=0， c= a， 所 以 e= = .答 案 ： .15.(5分 )设 S n为 数 列 an的 前 n 项 和 ， Sn=(-1)nan- ， n N*， 则(1)a3= ；(2)S1+S2+ +S100= .解 析 ： (1)由 ， n N*，当 n=1时 ， 有 ， 得 .当 n 2 时 ， .即 .若 n 为 偶 数 ， 则 .
15、所 以 (n为 正 奇 数 )； 若 n 为 奇 数 ， 则 = .所 以 (n 为 正 偶 数 ).所 以 (1) .答 案 ： - ；(2)因 为 (n为 正 奇 数 )， 所 以 - ，又 (n为 正 偶 数 )， 所 以 .则 . ， . 则 . .所 以 ， S1+S2+S3+S4+ +S99+S100= . 答 案 ： .16.(5分 )设 函 数 f(x)=ax+bx-cx， 其 中 c a 0， c b 0.(1)记 集 合 M=(a， b， c)|a， b， c 不 能 构 成 一 个 三 角 形 的 三 条 边 长 ， 且 a=b， 则 (a， b， c) M所 对 应 的
16、 f(x)的 零 点 的 取 值 集 合 为 .(2)若 a， b， c 是 ABC的 三 条 边 长 ， 则 下 列 结 论 正 确 的 是 .(写 出 所 有 正 确 结 论 的 序号 ) x (- ， 1)， f(x) 0； x R， 使 a x， bx， cx不 能 构 成 一 个 三 角 形 的 三 条 边 长 ； 若 ABC为 钝 角 三 角 形 ， 则 x (1， 2)， 使 f(x)=0.解 析 ： (1)由 集 合 M 中 的 元 素 满 足 的 条 件 ， 得 到 c a+b=2a， 求 得 的 范 围 ， 解 出 函 数f(x)=ax+bx-cx的 零 点 ， 利 用 不
17、 等 式 可 得 零 点 x 的 取 值 集 合 ；(2)对 于 ， 把 函 数 式 f(x)=ax+bx-cx变 形 为 ， 利 用 指 数 函 数 的 单 调 性 即 可 证 得 结论 成 立 ；对 于 ， 利 用 取 特 值 法 说 明 命 题 是 正 确 的 ；对 于 ， 由 ABC为 钝 角 三 角 形 说 明 f(2) 0， 又 f(1) 0， 由 零 点 的 存 在 性 定 理 可 得 命 题 正 确 . 答 案 ： (1)因 为 c a， 由 c a+b=2a， 所 以 ， 则 .令 f(x)=ax+bx-cx= .得 ， 所 以 .所 以 0 x 1.故 答 案 为 x|0
18、x 1；(2)因 为 ， 又 ，所 以 对 x (- ， 1)， .所 以 命 题 正 确 ；令 x=-1， a=2， b=4， c=5.则 ax= ， bx= ， cx= .不 能 构 成 一 个 三 角 形 的 三 条 边 长 .所 以 命 题 正 确 ；若 三 角 形 为 钝 角 三 角 形 ， 则 a 2+b2-c2 0.f(1)=a+b-c 0， f(2)=a2+b2-c2 0.所 以 x (1， 2)， 使 f(x)=0.所 以 命 题 正 确 .答 案 ： .三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 75分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过
19、程 或 演 算 步 骤 .17.(12分 )已 知 函 数 ， .(I)若 是 第 一 象 限 角 ， 且 ， 求 g( )的 值 ；(II)求 使 f(x) g(x)成 立 的 x的 取 值 集 合 . 解 析 ： (I)根 据 两 角 和 与 差 的 三 角 函 数 公 式 化 简 ， 得 f(x)= sinx， 结 合 解出 sin = ， 利 用 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 算 出 cos = .由 二 倍 角 的 余 弦 公 式 进 行 降 次 ，可 得 g(x)=1-cosx， 即 可 算 出 g( )=1-cos = ；(II)f(x) g(x)， 即 sinx
20、1-cosx， 移 项 采 用 辅 助 角 公 式 化 简 整 理 ， 得 2sin(x+ ) 1，再 根 据 正 弦 函 数 的 图 象 与 性 质 ， 即 可 求 出 使 f(x) g(x)成 立 的 x的 取 值 集 合 .答 案 ： sin(x- )=sinxcos -cosxsin = sinx- cosx，cos(x- )=cosxcos +sinxsin = cosx+ sinx， =( sinx- cosx)+( cosx+ sinx)=sinx，而 =1-cosx.(I) ， sin = ， 解 之 得 sin = ， 是 第 一 象 限 角 ， cos = = ，因 此 ，
21、 g( )= =1-cos = ， (II)f(x) g(x)， 即 sinx 1-cosx， 移 项 ， 得 sinx+cosx 1， 化 简 得 2sin(x+ ) 1， sin(x+ ) ， 可 得 +2k x+ +2k (k Z)， 解 之 得2k x +2k (k Z)，因 此 ， 使 f(x) g(x)成 立 的 x 的 取 值 集 合 为 x|2k x +2k (k Z).18.(12分 )某 人 在 如 图 所 示 的 直 角 边 长 为 4米 的 三 角 形 地 块 的 每 个 格 点 (指 纵 、 横 直 线 的 交叉 点 以 及 三 角 形 顶 点 )处 都 种 了 一
22、株 相 同 品 种 的 作 物 .根 据 历 年 的 种 植 经 验 ， 一 株 该 种 作 物 的年 收 获 Y(单 位 ： kg)与 它 的 “ 相 近 ” 作 物 株 数 X之 间 的 关 系 如 下 表 所 示 ： 这 里 ， 两 株 作 物 “ 相 近 ” 是 指 它 们 之 间 的 直 线 距 离 不 超 过 1 米 .(I)从 三 角 形 地 块 的 内 部 和 边 界 上 分 别 随 机 选 取 一 株 作 物 ， 求 它 们 恰 好 “ 相 近 ” 的 概 率 ；(II)在 所 种 作 物 中 随 机 选 取 一 株 ， 求 它 的 年 收 获 量 的 分 布 列 与 数 学
23、 期 望 .解 析 ： (I)确 定 三 角 形 地 块 的 内 部 和 边 界 上 的 作 物 株 数 ， 分 别 求 出 基 本 事 件 的 个 数 ， 即 可 求它 们 恰 好 “ 相 近 ” 的 概 率 ；(II)确 定 变 量 的 取 值 ， 求 出 相 应 的 概 率 ， 从 而 可 得 年 收 获 量 的 分 布 列 与 数 学 期 望 .答 案 ： (I)所 种 作 物 总 株 数 N=1+2+3+4+5=15， 其 中 三 角 形 地 块 内 部 的 作 物 株 数 为 3， 边 界 上的 作 物 株 数 为 12， 从 三 角 形 地 块 的 内 部 和 边 界 上 分 别
24、 随 机 选 取 一 株 的 不 同 结 果 有 =36种 ， 选 取 的 两 株 作 物 恰 好 “ 相 近 ” 的 不 同 结 果 有 3+3+2=8， 从 三 角 形 地 块 的 内 部 和 边 界 上分 别 随 机 选 取 一 株 作 物 ， 求 它 们 恰 好 “ 相 近 ” 的 概 率 为 = ；(II)先 求 从 所 种 作 物 中 随 机 选 取 一 株 作 物 的 年 收 获 量 为 Y的 分 布 列 ， P(Y=51)=P(X=1)， P(48)=P(X=2)， P(Y=45)=P(X=3)， P(Y=42)=P(X=4)， 只 需 求 出 P(X=k)(k=1， 2， 3
25、， 4)即 可 ，记 nk为 其 “ 相 近 ” 作 物 恰 有 k 株 的 作 物 株 数 (k=1， 2， 3， 4)， 则 n1=2， n2=4， n3=6， n4=3，由 P(X=k)= 得 P(X=1)= ， P(X=2)= ， P(X=3)= = ， P(X=4)= = ， 所 求 的 分 布 列 为 ， 数 学 期 望 为 E(Y)=51 +48 +45 +42 =4619.(12分 )如 图 ， 在 直 棱 柱 ABCD-A1B1C1D1中 ， AD BC， BAD=90 ， AC BD， BC=1， AD=AA1=3. ( )证 明 ： AC B1D；( )求 直 线 B1C
26、1与 平 面 ACD1所 成 的 角 的 正 弦 值 .解 析 ： (I)根 据 直 棱 柱 性 质 ， 得 BB1 平 面 ABCD， 从 而 AC BB1， 结 合 BB1 BD=B， 证 出 AC平 面 BB1D， 从 而 得 到 AC B1D；(II)根 据 题 意 得 AD B1C1， 可 得 直 线 B1C1与 平 面 ACD1所 成 的 角 即 为 直 线 AD与 平 面 ACD1所 成的 角 .连 接 A1D， 利 用 线 面 垂 直 的 性 质 与 判 定 证 出 AD1 平 面 A1B1D， 从 而 可 得 AD1 B1D.由AC B1D， 可 得 B1D 平 面 ACD1
27、， 从 而 得 到 ADB1与 AD与 平 面 ACD1所 成 的 角 互 余 .在 直 角 梯 形ABCD中 ， 根 据 Rt ABC Rt DAB， 算 出 AB= ， 最 后 在 Rt AB 1D 中 算 出 B1D= ， 可 得cos ADB1= ， 由 此 即 可 得 出 直 线 B1C1与 平 面 ACD1所 成 的 角 的 正 弦 值 .答 案 ： (I) BB1 平 面 ABCD， AC平 面 ABCD， AC BB1，又 AC BD， BB1、 BD是 平 面 BB1D内 的 相 交 直 线 ， AC 平 面 BB1D， B1D平 面 BB1D， AC B1D；(II) AD
28、 BC， B1C1 BC， AD B1C1，由 此 可 得 ： 直 线 B 1C1与 平 面 ACD1所 成 的 角 等 于 直 线 AD 与 平 面 ACD1所 成 的 角 (记 为 )， 连 接A1D， 直 棱 柱 ABCD-A1B1C1D1中 ， BAD= B1A1D1=90 ， B1A1 平 面 A1D1DA， 结 合 AD1平 面 A1D1DA， 得 B1A1 AD1又 AD=AA1=3， 四 边 形 A1D1DA是 正 方 形 ， 可 得 AD1 A1D B1A1、 A1D是 平 面 A1B1D 内 的 相 交 直 线 ， AD1 平 面 A1B1D， 可 得 AD1 B1D，由
29、(I)知 AC B1D， 结 合 AD1 AC=A可 得 B1D 平 面 ACD1， 从 而 得 到 ADB1=90 - ， 在 直 角 梯 形 ABCD 中 ， AC BD， BAC= ADB， 从 而 得 到 Rt ABC Rt DAB因 此 ， ， 可 得 AB= =连 接 AB 1， 可 得 AB1D 是 直 角 三 角 形 ， B1D2=B1B2+BD2=B1B2+AB2+BD2=21， B1D= ， 在 Rt AB1D中 ， cos ADB1= = = ，即 cos(90 - )=sin = ， 可 得 直 线 B1C1与 平 面 ACD1所 成 的 角 的 正 弦 值 为 .20
30、.(13分 )在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 将 从 点 M 出 发 沿 纵 、 横 方 向 到 达 点 N 的 任 一 路 径 称 为M到 N的 一 条 “ L 路 径 ” .如 图 所 示 的 路 径 MM 1M2M3N 与 路 径 MN1N都 是 M 到 N 的 “ L路 径 ” .某地 有 三 个 新 建 居 民 区 ， 分 别 位 于 平 面 xOy内 三 点 A(3， 20)， B(-10， 0)， C(14， 0)处 .现 计划 在 x轴 上 方 区 域 (包 含 x 轴 )内 的 某 一 点 P处 修 建 一 个 文 化 中 心 .(I)写 出 点 P 到 居 民
31、 区 A 的 “ L路 径 ” 长 度 最 小 值 的 表 达 式 (不 要 求 证 明 )；(II)若 以 原 点 O为 圆 心 ， 半 径 为 1 的 圆 的 内 部 是 保 护 区 ， “ L 路 径 ” 不 能 进 入 保 护 区 ， 请 确定 点 P的 位 置 ， 使 其 到 三 个 居 民 区 的 “ L 路 径 ” 长 度 之 和 最 小 .解 析 ： (I)根 据 “ L 路 径 ” 的 定 义 ， 可 得 点 P到 居 民 区 A 的 “ L路 径 ” 长 度 最 小 值 ； (II)由 题 意 知 ， 点 P到 三 个 居 民 区 的 “ L路 径 ” 长 度 之 和 的
32、最 小 值 为 点 P到 三 个 居 民 区 的 “ L路 径 ” 长 度 最 小 值 之 和 (记 为 d)的 最 小 值 ， 分 类 讨 论 ， 利 用 绝 对 值 的 几 何 意 义 ， 即 可 求 得 点P的 坐 标 .答 案 ： 设 点 P 的 坐 标 为 (x， y)， 则(I)点 P 到 居 民 区 A 的 “ L路 径 ” 长 度 最 小 值 为 |x-3|+|y-20|， y 0， + )；(II)由 题 意 知 ， 点 P到 三 个 居 民 区 的 “ L路 径 ” 长 度 之 和 的 最 小 值 为 点 P到 三 个 居 民 区 的 “ L路 径 ” 长 度 最 小 值
33、之 和 (记 为 d)的 最 小 值 ， 当 y 1 时 ， d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|， d 1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3| |x+10|+|x-14| 24， 当 且 仅 当 x=3时 ， d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|的 最 小 值 为 24， d2(y)=2|y|+|y-20| 21， 当 且 仅 当 y=1时 ， d2(y)=2|y|+|y-20|的 最 小 值 为 21， 点 P的 坐 标 为 (3， 1)时 ， 点 P 到 三 个 居 民 区 的 “ L路 径 ” 长 度 之 和 的 最 小 ， 且 最
34、 小 值 为 45； 当 0 y 1 时 ， 由 于 “ L 路 径 ” 不 能 进 入 保 护 区 ， d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|，此 时 d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|， d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y 21， 由 知 d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3| 24， d1(x)+d2(y) 45， 当 且 仅 当 x=3， y=1 时 等 号 成立 ，综 上 所 述 ， 在 点 P(3， 1)处 修 建 文 化 中 心 ， 可 使 该 文 化 中 心 到 三 个 居 民 区 的
35、 “ L 路 径 ” 长 度之 和 最 小 .21.(13分 )过 抛 物 线 E： x2=2py(p 0)的 焦 点 F 作 斜 率 率 分 别 为 k1， k2的 两 条 不 同 直 线 l1，l2， 且 k1+k2=2.l1与 E交 于 点 A， B， l2与 E 交 于 C， D， 以 AB， CD 为 直 径 的 圆 M， 圆 N(M， N为 圆 心 )的 公 共 弦 所 在 直 线 记 为 l.( )若 k 1 0， k2 0， 证 明 ： ；( )若 点 M到 直 线 l的 距 离 的 最 小 值 为 ， 求 抛 物 线 E的 方 程 .解 析 ： ( )由 抛 物 线 方 程
36、求 出 抛 物 线 的 焦 点 坐 标 ， 写 出 两 条 直 线 的 方 程 ， 由 两 条 直 线 方 程 和抛 物 线 方 程 联 立 求 出 圆 M和 圆 N 的 圆 心 M 和 N 的 坐 标 ， 求 出 向 量 和 的 坐 标 ， 求 出 数 量积 后 转 化 为 关 于 k 1和 k2的 表 达 式 ， 利 用 基 本 不 等 式 放 缩 后 可 证 得 结 论 ；( )利 用 抛 物 线 的 定 义 求 出 圆 M和 圆 N的 直 径 ， 结 合 ( )中 求 出 的 圆 M和 圆 N的 圆 心 的 坐 标 ，写 出 两 圆 的 方 程 ， 作 差 后 得 到 两 圆 的 公
37、共 弦 所 在 直 线 方 程 ， 由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 求 出 点 M到 直 线 l 的 距 离 ， 利 用 k1+k2=2 转 化 为 含 有 一 个 未 知 量 的 代 数 式 ， 配 方 后 求 出 最 小 值 ， 由 最小 值 等 于 求 出 p 的 值 ， 则 抛 物 线 E 的 方 程 可 求 .答 案 ： (I) 由 题 意 ， 抛 物 线 E的 焦 点 为 ， 直 线 l 1的 方 程 为 .由 ， 得 .设 A， B 两 点 的 坐 标 分 别 为 (x1， y1)， (x2， y2)， 则 x1， x2是 上 述 方 程 的 两 个 实 数 根 .从 而
38、 x 1+x2=2pk1， .所 以 点 M 的 坐 标 为 ， .同 理 可 得 点 N 的 坐 标 为 ， .于 是 .由 题 设 k 1+k2=2， k1 0， k2 0， k1 k2， 所 以 0 .故 .( )由 抛 物 线 的 定 义 得 ， ，所 以 ， 从 而 圆 M 的 半 径 . 故 圆 M的 方 程 为 ，化 简 得 .同 理 可 得 圆 N 的 方 程 为于 是 圆 M， 圆 N的 公 共 弦 所 在 的 直 线 l的 方 程 为 .又 k 2-k1 0， k1+k2=2， 则 l 的 方 程 为 x+2y=0.因 为 p 0， 所 以 点 M到 直 线 l的 距 离
39、为 = .故 当 时 ， d 取 最 小 值 .由 题 设 ， 解 得 p=8.故 所 求 抛 物 线 E 的 方 程 为 x 2=16y.22.(13分 )已 知 a 0， 函 数 .( )记 f(x)在 区 间 0， 4上 的 最 大 值 为 g(a)， 求 g(a)的 表 达 式 ；( )是 否 存 在 a使 函 数 y=f(x)在 区 间 (0， 4)内 的 图 象 上 存 在 两 点 ， 在 该 两 点 处 的 切 线 互 相垂 直 ？ 若 存 在 ， 求 出 a 的 取 值 范 围 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (I)利 用 绝 对 值 的 几 何 意
40、义 ， 分 类 讨 论 ， 结 合 导 数 确 定 函 数 的 单 调 性 ， 从 而 可 得 g(a)的 表 达 式 ；(II)利 用 曲 线 y=f(x)在 两 点 处 的 切 线 互 相 垂 直 ， 建 立 方 程 ， 从 而 可 转 化 为 集 合 的 运 算 ， 即可 求 得 结 论 .答 案 ： (I)当 0 x a 时 ， ； 当 x a时 ， ， 当 0 x a 时 ， ， f(x)在 (0， a)上 单 调 递 减 ；当 x a 时 ， ， f(x)在 (a， + )上 单 调 递 增 . 若 a 4， 则 f(x)在 (0， 4)上 单 调 递 减 ， g(a)=f(0)=
41、 ， 若 0 a 4， 则 f(x)在 (0， a)上 单 调 递 减 ， 在 (a， 4)上 单 调 递 增 ， g(a)=maxf(0)， f(4) f(0)-f(4)= = ， 当 0 a 1 时 ， g(a)=f(4)= ； 当 1 a 4时 ， g(a)=f(0)= ， 综 上 所 述 ， g(a)= ；(II)由 (I)知 ， 当 a 4 时 ， f(x)在 (0， 4)上 单 调 递 减 ， 故 不 满 足 要 求 ；当 0 a 4时 ， f(x)在 (0， a)上 单 调 递 减 ， 在 (a， 4)上 单 调 递 增 ， 若 存 在 x1， x2 (0， 4)(x1 x2)，
42、 使 曲 线 y=f(x)在两 点 处 的 切 线 互 相 垂 直 ， 则 x1 (0， a)， x2 (a， 4)， 且 f (x1)f (x2)=-1， =-1， ， x 1 (0， a)， x2 (a， 4)， x1+2a (2a， 3a)， ( ， 1)， 成 立 等 价 于 A=(2a， 3a)与 B=( ， 1)的 交 集 非 空 ， ， 当 且 仅 当 0 2a 1， 即 时 ， A B ，综 上 所 述 ， 存 在 a 使 函 数 y=f(x)在 区 间 (0， 4)内 的 图 象 上 存 在 两 点 ， 在 该 两 点 处 的 切 线 互相 垂 直 ， 且 a 的 取 值 范 围 是 (0， ).
