2010年普通高等学校招生全国统一考试(全国1卷)理科数学试卷(必修+选修2).pdf

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1、 绝密启用前 2010 年普通高等学校 招生全国统一考试(全国卷) 理科数学(必修+选修II) 本试卷分第 I 卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第 I 卷1 至2 页。第卷 3 至4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷 注意事项： 1答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 3第 I 卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分

2、。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 球的表面积公式 ( ) () ()PA B PA PB+= + 24SR= 如果事件 A、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ( ) () ()PAB PA PB=nullnull 球的体积公式 如果事件 A在一次试验中发生的概率是 p ，那么 334VR= n次独立重复试验中事件 A恰好发生 k 次的概率 其中R 表示球的半径 () (1 ) ( 0,1,2, )kk nknnPk Cp p k n= 一、选择题 (1)复数3223ii+=(A)i (B) i (C)12-13i (D)

3、12+13i (2)记 cos( 80 ) k=,那么 tan100= A.21 kkB. -21 kkC. 21kkD. -21kk(3)若变量 ,x y满足约束条件1,0,20,yxyxy+则 2zx y= 的最大值为 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 （4）已知各项均为正数的等比数列na ，123aaa =5，789aaa=10，则456aaa= (A) 52 (B) 7 (C) 6 (D) 42 (5)353(1 2 ) (1 )x x+的展开式 中 x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4 (6)某校开设 A 类选修课 3 门，B 类选择课 4 门，一位

4、同学从中共选 3 门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30 种 (B)35 种 (C)42 种 (D)48 种 （7）正方体ABCD-111 1ABCD中，B1B 与平面 AC1D 所成角的余弦值为 A 23B33C23D63（8）设 a=3log 2,b=In2,c=125,则 A a ，则 2(,)111E +2( , , ), (0,2,0)111DE DC =+uuur uuur设平面 CDE的法向量 m=(x,y,z) 由 ,mDEmDC,得 0mDE=， 0mDC= 故 20,2 0111xyzy +=+. 令 2x= ，则 (2,0, )m =. 由平面D

5、EC平面SBC 得mn, 0,2 0, 2mn = = =null 故 SE=2EB （）由（）知222(,)333E ，取 DE 的中点F，则111 2 1 1(,), (, , )333 3 3 3FFA= uuur， 故 0FA DE =uuur uuurnull ，由此得 FA DE 又24 2(,)33 3EC = uuur，故 0EC DE =uuur uuurnull ，由此得 EC DE ， 向量 FAuuur与 ECuuur的夹角等于二面角 A DE C 的平面角 于是 1cos( , )2|FA ECFA ECFA EC=uuur uuuruuuruuurnulluuuru

6、ur 所以，二面角 ADEC的大小为 120o20.解： （）11() ln 1 lnxfx x xx + =+=+， () ln 1xfx x x =+, 题设2() 1xfx x ax +等价于 ln x xa . 令 () lngx x x=，则1() 1gxx = 当 01x ，() 0gx ；当 1x 时，() 0gx ， 1x = 是 ()gx的最大值点， () (1) 1gx g = 综上， a的取值范围是 )1,+. ()由（）知， () (1) 1gx g = 即 ln 1 0xx + . 当 01x 时， ()(1)ln1ln(ln1)0fx x x x x x x x=

7、+ += + + ； 当 1x 时， () ln (ln 1)fx x x x x=+ + 1ln (ln 1)xx xx=+ + 11ln (ln 1)xxxx= + 0 所以 (1)()0xfx 21. 解： 设11(,)Ax y ，22(,)B xy，11(, )Dx y ， l的方程为 1( 0)xmy m= . （）将 1x my=代入24y x= 并整理得 2440ymy += 从而12 124, 4yy myy+ = 直线 BD 的方程为 212221()yyy yxxxx+= 即222214()4yyy xyy= 令 0y = ，得1214yyx= 所以点 F(1,0)在直线

8、BD上 （）由（）知， 212 1 2(1)(1)42x x my my m+ =+= 12 1 2(1)(1)1.x x my my= = 因为 11(1,),FA x y=uur22(1,)FB x y=uur， 212 121212(1)(1) ( )1484FA FB x x y y x x x x m= + = +=uur uur故 28849m = ， 解得 43m= 所以 l的方程为 3430,3430xy xy+= += 又由（）知 2214(4 ) 4 4 73yy m= = 故直线 BD 的斜率21437yy=， 因而直线 BD的方程为 3730,3730.xy xy+= 因为 KF 为 BKD 的平分线，故可设圆心 (,0)( 1 1)Mt t 由得 用数学归纳法证明：当 2c 时1nnaa+，命题成立； （）设当 n=k 时，1kkaa+ = 故由（） （）知，当 c2 时1nnaa+2 时，令242cca+= ，由111nnnnaa caa+ 时， 3a ，且 1naa 时，113, 3nnaa a a+ 因此103c 不符合要求 所以 c 的取值范围是10(2, 3