2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学文.docx
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1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学文 一 .选择题:本题共 12 个小题,每题 5分,共 60分 . 1.(5 分 )复数 z= (i 为虚数单位 ),则 |z|( ) A. 25 B. C. 5 D. 解析 : 因为复数 z= = ,所以 |z|= = . 答案: C. 2.(5 分 )已知集合 A、 B 全集 U=1、 2、 3、 4,且 CU(AB )=4, B=1, 2,则 A CUB=( ) A. 3 B. 4 C. 3, 4 D. 解析 : 因为全集 U=1.2.3.4.,且 CU(AB)=4 ,所以 AB=1 , 2, 3, B=1, 2,所以 CUB=3,
2、4,所以 A=3或 1, 3或 3, 2或 1, 2, 3.所以 A CUB=3. 答案: A. 3.(5 分 )已知函数 f(x)为奇函数,且当 x 0 时, f(x)=x2+ ,则 f(-1)=( ) A. 2 B. 1 C. 0 D. -2 解析 : 已知函数 f(x)为奇函数,且当 x 0 时, f(x)=x2+ ,则 f(-1)=-f(1)=-(1+1)=-2, 答案: D. 4.(5 分 )一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正 (主 )视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是 ( ) A. 4 , 8 B. C. D. 8, 8 解析 : 因为四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方
3、形,所以该四棱锥为正四棱锥, 其主视图为原图形中的三角形 PEF,如图, 由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长 AB=2,高 PO=2, 则四棱锥的斜高 PE= . 所以该四棱锥侧面积 S= ,体积 V= . 答案: B. 5.(5 分 )函数 f(x)= 的定义域为 ( ) A. (-3, 0 B. (-3, 1 C. (- , -3)( -3, 0) D. (- , -3)( -3, 1) 解析 : 由函数 f(x)= 可得 1-2x0 且 x+3 0,解得 -3 x0 , 故函数 f(x)= 的定义域为 x|-3 x0 , 答案: A. 6.(5 分 )执行两次如图所示的程序框图,若第
4、一次输入的 a 的值为 -1.2,第二次输入的 a 的值为 1.2,则第一次、第二次输出的 a 的值分别为 ( ) A. 0.2, 0.2 B. 0.2, 0.8 C. 0.8, 0.2 D. 0.8, 0.8 解析 : 若第一次输入的 a 的值为 -1.2,满足上面一个判断框条件 a 0, 第 1 次循环, a=-1.2+1=-0.2, 第 2 次判断后循环, a=-0.2+1=0.8, 第 3 次判断,满足上面一个判断框的条件退出上面的循环,进入下面的循环, 不满足下面一个判断框条件 a1 ,退出循环,输出 a=0.8; 第二次输入的 a 的值为 1.2,不满足上面一个判断框条件 a 0,
5、退出上面的循环,进入下面的循环, 满足下面一个判断框条件 a1 , 第 1 次循环, a=1.2-1=0.2, 第 2 次判断后不满足下面一个判断框的条件退出下面的循环,输出 a=0.2; 答案: C. 7.(5 分 )ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c,若 B=2A, a=1, b= ,则 c=( ) A. B. 2 C. D. 1 解析 : B=2A , a=1, b= , 由正弦定理 = 得: = = = , cosA= , 由余弦定理得: a2=b2+c2-2bccosA,即 1=3+c2-3c,解得: c=2 或 c=1(经检验不合题意,舍去 ),则 c=2
6、. 答案: B 8.(5 分 )给定两个命题 p, q.若 p 是 q 的必要而不充分条件,则 p 是 q的 ( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析 : p 是 q 的必要而不充分条件, q 是 p 的充分不必要条件,即 q p,但 p 不能 q,其逆否命题为 p q,但 q 不能 p,则 p 是 q 的充分不必要条件 . 答案: A. 9.(5 分 )函数 y=xcosx+sinx 的图象大致为 ( ) A. B. C. D. 解析 : 因为函数 y=xcosx+sinx 为奇函数,所以排除选项 B, 由当 x= 时, , 当
7、 x= 时, y=cos+sin= - 0. 由此可排除选项 A 和选项 C. 故正确的选项为 D. 答案: D. 10.(5 分 )将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分,去掉 1 个最低分, 7 个剩余分数的平均分为91,现场做的 9 个分数的茎叶图后来有一个数据模糊,无法辨认,在图中以 x 表示:则 7个剩余分数的方差为 ( ) A. B. C. 36 D. 解析 : 由题意知去掉一个最高分和一个最低分后, 所剩数据的数据是 87, 90, 90, 91, 91, 94, 90+x. 这组数据的平均数是 =91, x=4. 这这组数据的方差是 (16+1+1+0+0+9+9)= , 答
8、案 : B. 11.(5 分 )抛物线 C1: 的焦点与双曲线 C2: 的右焦点的连线交 C1于第一象限的点 M.若 C1在点 M 处的切线平行于 C2的一条渐近线,则 p=( ) A. B. C. D. 解析 : 由 ,得 x2=2py(p 0),所以抛物线的焦点坐标为 F( ). 由 ,得 , .所以双曲线的右焦点为 (2, 0). 则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为 ,即. 设该直线交抛物线于 M( ),则 C1在点 M 处的切线的斜率为 . 由题意可知 ,得 ,代入 M 点得 M( ), 把 M 点代入 得: .解得 p= . 答案: D. 12.(5 分 )设正实数
9、x, y, z 满足 x2-3xy+4y2-z=0,则当 取得最小值时, x+2y-z 的最大值为 ( ) A. 0 B. C. 2 D. 解析 : x 2-3xy+4y2-z=0, z=x 2-3xy+4y2,又 x, y, z 为正实数, = + -32 -3=1(当且仅当 x=2y 时取 “=”) ,即 x=2y(y 0), x+2y -z=2y+2y-(x2-3xy+4y2)=4y-2y2=-2(y-1)2+22.x+2y -z 的最大值为 2. 答案: C. 二 .填空题:本大题共 4 小题,每小题 4分,共 16分 13.(4 分 )过点 (3, 1)作圆 (x-2)2+(y-2)
10、2=4 的弦,其中最短的弦长为 . 解析 : 根据题意得:圆心 (2, 2),半径 r=2, = 2, (3 , 1)在圆内, 圆心到此点的距离 d= , r=2, 最短的弦长为 2 =2 . 答案: 2 14.(4分 )在平面直角坐标系 xOy中, M为不等式组 所表示的区域上一动点,则直线 |OM|的最小值为 . 解析 : 如图可行域为阴影部分, 由其几何意义为点 O(0, 0)到直线 x+y-2=0 距离,即为所求, 由点到直线的距离公式得: d= = ,则 |OM|的最小值等于 . 答案: . 15.(4分 )在平面直角坐标系 xOy中,已知 , ,若 ABO=90 ,则实数 t 的值
11、为 . 解析 : 因为知 , ,所以 =(3, 2-t), 又 ABO=90 ,所以 ,可得: 23+2(2 -t)=0.解得 t=5. 答案: 5. 16.(4 分 )定义 “ 正数对 ” : ln+x= ,现有四个命题: 若 a 0, b 0,则 ln+(ab)=bln+a; 若 a 0, b 0,则 ln+(ab)=ln+a+ln+b; 若 a 0, b 0,则 ; 若 a 0, b 0,则 ln+(a+b)ln +a+ln+b+2. 其中的真命题有 (写出所有真命题的序号 ) 解析 : 对于 ,由定义,当 a1 时, ab1 ,故 ln+(ab)=ln(ab)=blna,又 bln+a
12、=blna,故有ln+(ab)=bln+a; 当 a 1 时, ab 1,故 ln+(ab)=0,又 a 1 时 bln+a=0,所以此时亦有 ln+(ab)=bln+a.由上判断知 正确; 对于 ,此命题不成立,可令 a=2, b= ,则 ab= ,由定义 ln+(ab)=0, ln+a+ln+b=ln2,所以 ln+(ab)ln +a+ln+b;由此知 错误; 对于 ,当 ab 0 时, 1 ,此时 0 ,当 ab1 时,ln+a-ln+b=lna-lnb= ,此时命题成立;当 a 1 b 时, ln+a-ln+b=lna,此时 ,故命题成立;同理可验证当 1 ab 0 时, 成立;当 1
13、时,同理可验证是正确的,故 正确; 对于 ,可分 a1 , b1 与两者中仅有一个小于等于 1、两者都大于 1 三类讨论,依据定义判断出 是正确的 . 答案: 三 .解答题:本大题共 6 小题,共 74 分, 17.(12 分 )某小组共有 A、 B、 C、 D、 E 五位同学,他们的身高 (单位:米 )以及体重指标 (单位:千克 /米 2)如下表所示: ( )从该小组身高低于 1.80 的同学中任选 2 人,求选到的 2 人身高都在 1.78以下的概率 ( )从该小组同学中任选 2 人,求选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在 18.5,23.9)中的概率 . 解析 : ()
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