【考研类试卷】考研数学（数学二）模拟试卷442及答案解析.doc

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1、考研数学（数学二）模拟试卷 442 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，且当 x0 时，f(x)与 x m 为同阶无穷小又设当 x0 时，F(x)= 0 xn f(t)dt 与 x k 为同阶无穷小，其中 m 与 n 为正整数则 k= ( )（分数：2.00）A.mn+nB.n+mC.m+nD.mn+n13.设 (x)在 x=a 的某邻域内有定义，f(x)=|xa|(x)则“(x)在 x=a 处连续”是“f(x)

2、在 x=a 处可导”的 ( )（分数：2.00）A.必要条件而非充分条件B.充分条件而非必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件4. （分数：2.00）A.(cos 21)B.(cos 2+1)C.(cos 2+1)D.(cos 21)5.设 f(x)在 x=0 处存在二阶导数，且 f(0)=0，f(0)=0，f(0)0则 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 （分数：2.00）A.f(x)在1，1上存在原函数B.g(0)存在C.g(x)在1，1上存在原函数D.F(x)= 1 x f(t)dt 在 x=0 处可导7.设 F(u，v)具有一阶连续偏导数，且 z=z(x，y)由

3、方程 所确定又设题中出现的分母不为零，则（分数：2.00）A.0B.zC.D.18.设 1 (1，2，3，2) T ， 2 (2，0，5，2) T 是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，则下列向量中是齐次线性方程组 Ax=0 的解向量的是 ( )（分数：2.00）A. 1 =(1，3，3，3) T B. 2 = (0，0，5，2) T C. 3 =(1，6，1，10) T D. 4 =(1，6，1，0) T 9.设 =(1，2，3) T ， 1 =(0，1，1) T ， 2 = (3，2，0) T ， 3 =(2，1，1) T ， 4 =(3，0，1) T ，记 A i = i T ，i=1

4、，2，3，4则下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是 ( )（分数：2.00）A.A 1 B.A 2 C.A 3 D.A 4 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_11.椭圆 （分数：2.00）填空项 1:_12.曲线 r=a(1+cos)(常数 a0)在点 （分数：2.00）填空项 1:_13.在区间0，1上函数 f(x)=nx(1x) n (n 为正整数)的最大值记为 M(n)，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.设函数 f 与 g 可微，z=fxy，g(xy)+1nx，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.设二次型 f(x 1 ，x

5、2 ，x 3 ，x 4 )= x 1 2 +2x 1 x 2 x 2 2 +4x 2 x 3 x 3 2 2ax 3 x 4 +(a1) 2 x 4 2 的规范形为 y 1 2 +y 2 2 y 3 2 ；则参数 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：26.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_17.(1)设 0x+，证明存在 ，01，使 （分数：2.00）_18.设函数 y(x)在区间1，+)上具有一阶连续导数，且满足 y(1)= 及 x 2 y(x)+ 1 x (2t+4)y(t)dt+2 1 x y(t)dt= （分数：2.00）_

6、19.设 f(x，y) =max ，1)，D=(x，y|x|y1求 （分数：2.00）_设 n 为正整数，f(x)=x n +x1（分数：4.00）(1).证明对于给定的 n，f(x)在区间(0，+)内存在唯一的零点 x n ；（分数：2.00）_(2).对于(I)中的 x n ，证明 （分数：2.00）_20.设 f(u)具有连续的一阶导数，且当 x0，y0 时， （分数：2.00）_设当 x1，1时，f(x)连续，F(x)= 1 1 |xt|f(t)dt，x1，1（分数：4.00）(1).若 f(x)为偶函数，证明 F(x)也是偶函数；（分数：2.00）_(2).若 f(x)0(1x1)，

7、证明曲线 y=F(x)在区间1，1上是凹的（分数：2.00）_21.(1)计算 0 n |sint|dt，其中 n 为正整数； (2)求 （分数：2.00）_设 A 33 =( 1 ， 2 ， 3 )，方程组 Ax= 有通解 k+=k(1，2，3) T +(2，1，1) T ，其中k 是任意常数证明：（分数：4.00）(1).方程组( 1 ， 2 )x= 有唯一解，并求该解；（分数：2.00）_(2).方程组( 1 + 2 + 3 +， 1 ， 2 ， 3 )x= 有无穷多解，并求其通解（分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).求满足 AXXA=O 的所有 X；（分数：2.00）_(2

8、).问 AXXA=E 是否有解?其中 E 是 2 阶单位矩阵，说明理由（分数：2.00）_考研数学（数学二）模拟试卷 442 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，且当 x0 时，f(x)与 x m 为同阶无穷小又设当 x0 时，F(x)= 0 xn f(t)dt 与 x k 为同阶无穷小，其中 m 与 n 为正整数则 k= ( )（分数：2.00）A.mn+n B.n+mC.m+nD.mn+n1解析：解析：当

9、 x0 时，f(x)与 x m 为同阶无穷小，从而知存在常数 A0，当 x0 时，f(x)Ax m ，从而，f(x n )Ax m 于是 3.设 (x)在 x=a 的某邻域内有定义，f(x)=|xa|(x)则“(x)在 x=a 处连续”是“f(x)在 x=a 处可导”的 ( )（分数：2.00）A.必要条件而非充分条件B.充分条件而非必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件 解析：解析：下面举两个例子说明应选 D 设 (x)在 x=0 处连续，但 f(x)=|x|(x)在 x=0 处不可导的例子如下：取 (x)1，但 f(x)=|x|在 x=0 处不可导 设 (x)在 x=0 的某邻域

10、内有定义，但在x=0 处不连续，而 f(x)=|x|(x)在 x=0 处却可导的例子如下：设 (x)在 x=0 处不连续，但4. （分数：2.00）A.(cos 21)B.(cos 2+1) C.(cos 2+1)D.(cos 21)解析：解析：积分区域 D 的边界曲线为 y= |x|与 ，其交点为(1，1)与(1，1)化为极坐标：5.设 f(x)在 x=0 处存在二阶导数，且 f(0)=0，f(0)=0，f(0)0则 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：先作积分变量代换，令 xt=u，则 由二阶导数定义，6.设 （分数：2.00）A.f(x)在1，1上存在原函数B.g(0

11、)存在C.g(x)在1，1上存在原函数 D.F(x)= 1 x f(t)dt 在 x=0 处可导解析：解析：A 不正确f(x)在点 x=0 处具有跳跃间断点函数在某点具有跳跃间断点那么往包含此点的区间上该函数必不存在原函数 B 不正确按定义容易知道 g(0)不存存 C 正确g(x)为1，1上的连续函数，故存在原函数 D 不正确可以具体计算出 F(x)，容易看 F (0)=0F + (0)=0故 F(0)不存在7.设 F(u，v)具有一阶连续偏导数，且 z=z(x，y)由方程 所确定又设题中出现的分母不为零，则（分数：2.00）A.0B.z C.D.1解析：解析：由题意，得8.设 1 (1，2，

12、3，2) T ， 2 (2，0，5，2) T 是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，则下列向量中是齐次线性方程组 Ax=0 的解向量的是 ( )（分数：2.00）A. 1 =(1，3，3，3) T B. 2 = (0，0，5，2) T C. 3 =(1，6，1，10) T D. 4 =(1，6，1，0) T 解析：解析：已知 Ax=0 的基础解系为 1 ， 2 ，则 i ，i=1，2，3，4 是 Ax=0 的解向量= i 可由 1 ， 2 线性表出=非齐次线性方程组 1 y 1 + 2 y 2 = i 有解逐个判别 i 较麻烦，合在一起作初等行变换进行判别较方便 9.设 =(1，2，3) T

13、 ， 1 =(0，1，1) T ， 2 = (3，2，0) T ， 3 =(2，1，1) T ， 4 =(3，0，1) T ，记 A i = i T ，i=1，2，3，4则下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是 ( )（分数：2.00）A.A 1 B.A 2 C.A 3 D.A 4 解析：解析：因 A i = i T O，r(A i )=r( i T )r()=1，i=1，2，3，4故 =0 至少是 3阶方阵 A i (i=1，2，3，4)的二重特征值则 A i (i=1，2，3，4)的第 3 个特征值分别是 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_

14、（正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.椭圆 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：12.曲线 r=a(1+cos)(常数 a0)在点 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：将极坐标方程 r=a(1+cos)化成参数式： 于是有 代入由参数式表示的曲率公式：并经较复杂但初等的运算，得13.在区间0，1上函数 f(x)=nx(1x) n (n 为正整数)的最大值记为 M(n)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 1 ）解析：解析：f(x)=nx(1x) n ，f(x)=n(1x) n n 2 x(

15、1x) n1 =n(1x) n1 (1xnx) 令f(x)=0，得 由于 f(0)=f(1)=0，f(x)0 (x(0，1) 在区间(0，1)内求得唯一驻点 所以 f(x 1 )为最大值所以 14.设函数 f 与 g 可微，z=fxy，g(xy)+1nx，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f 2）解析：解析：由15.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )= x 1 2 +2x 1 x 2 x 2 2 +4x 2 x 3 x 3 2 2ax 3 x 4 +(a1) 2 x 4 2 的规范形为 y 1 2 +y 2 2 y 3 2 ；则参数 a= 1（分数

16、：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：f 是四元二次型，由规范形知，其正惯性指数为 2，负惯性指数为 1，且有一项为零故知其有特征值 =0，故该二次型的对应矩阵 A 有|A|=0因 故应有 a=三、解答题(总题数：10，分数：26.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：17.(1)设 0x+，证明存在 ，01，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 由拉格朗日中值定理有 f(z+1)f(x)=f()(x+1x)， 即其中 xx+1，=x+，01 (2)由上 所以 (x)在区间(0，+)上严格单调增加又 所以 (x)的值域为

17、 )解析：18.设函数 y(x)在区间1，+)上具有一阶连续导数，且满足 y(1)= 及 x 2 y(x)+ 1 x (2t+4)y(t)dt+2 1 x y(t)dt= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由分部积分 1 x (2t+4)y(t)dt=(2t+4)y (t)| 1 x 2 1 x y(t)dt =(2x+4)y(x)6y(1)2 1 x y(t)dt =(2x+4)y(x)+12 1 x y(t)dt 则原方程化简为 由一阶线性微分方程通解公式，得通解 再由初始条件 故所求的特解为 )解析：19.设 f(x，y) =max ，1)，D=(x，y|x|y1求 （分数：2.

18、00）_正确答案：(正确答案：如图所不，将 D 分成三块中间一块为 D 3 ，左右两块分别记为 D 1 与 D 2 ，则 )解析：设 n 为正整数，f(x)=x n +x1（分数：4.00）(1).证明对于给定的 n，f(x)在区间(0，+)内存在唯一的零点 x n ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x(0，+)时，f(x)=nx n1 +10，所以在区间(o，+)内 f(x)至多只有一个零点，又 f(0)=10，所以 f(x)在(0，+)上存在唯一零点，记为 x n ，且 x n (0，1)，此时 f(x n )=0)解析：(2).对于(I)中的 x n ，证明 （分数：2.0

19、0）_正确答案：(正确答案：下面证数列x n 单调增加由 x n+1 n+1 + x n+1 1=0 与 x n n + x n 1=0 两式相减，得 x n+1 n+1 x n n +(x n1 x n )=0 但因 0x n1 1，所以 x n+1 n x n+1 n x n+1 =x n1 n1 ，于是有 0=x n+1 n+1 x n n +(x n+1 x n ) n+1nx nn+(xn+1x n) = (xn+1x n)(xn+1n1 + xn+2n2 xn+xnn1 )+(xn+1x n) =(xn+1x n)(xn+1n1 + xn+2n2 xn+xnn1 +1) 上式第 2

20、 个括号内为正，所以 xn+1x n0，即数列x n严格单调增加且有上界 1，所以 * 用反证法，如果 0a1，将 1x n=xna n 两边令 x取极限，得 1a0， 解得 a1，与反证法的假设矛盾，所以 a=1证毕)解析：20.设 f(u)具有连续的一阶导数，且当 x0，y0 时， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 记 于是上式成为常微分方程 )解析：设当 x1，1时，f(x)连续，F(x)= 1 1 |xt|f(t)dt，x1，1（分数：4.00）(1).若 f(x)为偶函数，证明 F(x)也是偶函数；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因在区间1，1上 f(x)为连续的

21、偶函数则 )解析：(2).若 f(x)0(1x1)，证明曲线 y=F(x)在区间1，1上是凹的（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F(x)= 1 x (xt)f(t)dt+ x 1 ( tx)f(t)dt =x 1 x f(t)dt 1 x tf(t)dt+ x 1 tf(t)dtx x 1 f(t)dt F(x)= 1 x f(t)dt+xf(x)xf(x)xf(x) x 1 f(t)dt+xf(x) = 1 x f(t)dt x 1 f(t)dt， F(x)=f(x)+f(x)=2f(x)0 所以曲线 y=F(x)在区间1，1上是凹的)解析：21.(1)计算 0 n |sint|dt

22、，其中 n 为正整数； (2)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) (2)设 nxn+1，有 nx(n+1)于是 当 x时，n，由夹逼定理得 )解析：设 A 33 =( 1 ， 2 ， 3 )，方程组 Ax= 有通解 k+=k(1，2，3) T +(2，1，1) T ，其中k 是任意常数证明：（分数：4.00）(1).方程组( 1 ， 2 )x= 有唯一解，并求该解；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由题设条件( 1 ， 2 ， 3 )x= 有通解 k(1，2，3) T +(2，1，1) T ，知 r( 1 ， 2 ， 3 )= r( 1 ， 2 ， 3 ，)=2，

23、(*) 1 +2 2 3 3 =0 (*) =(k+2) 1 +(2k1) 2 +(3k+1) 3 (*) 由(*)式得 3 = ( 1 +2 2 )，知 1 ， 2 线性无关(若 1 ， 2 线性相关，又 3 = ( 1 +2 2 )，得 r( 1 ， 2 ， 3 )=1这和(*)式矛盾)由(*)式知 1 ， 2 是向量组 1 ， 2 ， 3 及 1 ， 2 ， 3 ， 的极大线性无关组，从而有 r( 1 ， 2 )=r( 1 ， 2 ，)=2，方程组( 1 ， 2 )x=有唯一解 由(*)式取 3 的系数3k+1=0，即取 ，即( 1 ， 2 )x= 的唯一解为 )解析：(2).方程组(

24、1 + 2 + 3 +， 1 ， 2 ， 3 )x= 有无穷多解，并求其通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 r( 1 ， 2 ， 3 )=r( 1 ， 2 ， 3 ，)=2，故方程组( 1 + 2 + 3 +， 1 ， 2 ， 3 )x= 有无穷多解，且其通解形式为 k 1 1 + k 2 2 + * ，其中 1 ， 2 为对应的齐次方程组的基础解系 * 为方程组的特解，k 1 ， k 2 为任意常数 由(*)式在(*)式中取 k=0，有 )解析：设 （分数：4.00）(1).求满足 AXXA=O 的所有 X；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 系数矩阵 解得 x 4 =K，x 3 =3L，x 2 =2L，x 1 =K3L 故 )解析：(2).问 AXXA=E 是否有解?其中 E 是 2 阶单位矩阵，说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由上一题易知 tr(AX)=tr(XA)故 tr(AXXA)=tr(AX)tr(XA)=0tr(E)=2 故方程组 AXXA=E 无解)解析：