【考研类试卷】考研数学（数学三）模拟试卷469及答案解析.doc

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1、考研数学（数学三）模拟试卷 469 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，且 f(0)= （分数：2.00）A.B.C.AD.2A3.下列反常积分中，收敛的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.幂级数 （分数：2.00）A.(一 2，2)B.一 2，2C.(一 8，8)D.8，85.设 f(x，y)= （分数：2.00）A.偏导数存在，但函数不连续B.偏导数不存在，但函数连续C.函数连续，偏导数存在，但

2、函数不可微D.函数可微6.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则 ( )（分数：2.00）A.当 mn 时，必有AB=0B.当 mn 时，AB 必可逆C.当 nm 时，ABx=0 必有唯一零解D.当 nm 时，必有 r(AB)m7.设 A 是 3 阶方阵，有 3 阶可逆矩阵 P，使得 P -1 AP= ，A * 是 A 的伴随矩阵，则 P -1 A * P= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设 ZN(0，1)，令 X=+Z，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，则当 n时，Y n = （分数：2.00）A. 3 B. 3 C. 3 +3 2 D. 3

3、 +3 3 3 9.设 XN(0，1)，Y=X+X，Y 的分布函数为 F Y (y)，则 F Y (y)的间断点个数是 ( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.3二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_11.设 z= （分数：2.00）填空项 1:_12.微分方程 y“一 3y+2y=xe 的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 f(x)在区间a，+)上存在二阶导数，且 f“(x)=0，其中 a，b 均为常数，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.设线性方程组 A 33 X=b 有唯一解 1 =(1，一 1，

4、2) T ， 是 3 维列向量，方程(A)X=b 有特解 1 =(1，一 2，1，3) T ，则方程组(A)X=b 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_15.若 XN(1，4)，则 D(X 2 一 2X)= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.过坐标原点作曲线 y=e x 的切线，该切线与曲线 y=e x 及 x 轴围成的向 x 轴负向无限伸展的平面图形记为 D ()求 D 的面积 A； ()求 D 绕直线 x=1 旋转所成的旋转体的体积 V（分数：2.00）_18.

5、设 f(x)在区间0，+)上可导，f(0)=0，g(x)是 f(x)的反函数，且 0 f(x) g(t)dt+ 0 x f(t)dt=xe x e x +1 求 f(x)，并要求证明：你得出来的 f(x)在区间0，+)上的确存在反函数（分数：2.00）_19.设 z=f(x，y)，z=g(y，z)+( )，其中 f，g， 在其定义域内均可微，计算中出现的分母均不为 0，求 （分数：2.00）_20.设 D=(x，y) 1，常数 a0，b0，ab。求二重积分 I= （分数：2.00）_21.某人向银行贷款购房，贷款 A 0 (万元)，月息 r，分 n 个月归还，每月归还贷款数相同，为 A(万元)

6、(此称等额本息还贷，目前各银行都采用这个办法还贷)设至第 t 个月，尚欠银行 y t (万元) ()试建立 y t 关于 t 的一阶差分方程并求解； ()利用 t=n 时 y t =0，建立每月应向银行还贷 A(万元)依赖于 n 的计算公式（分数：2.00）_22.设向量组(i) 1 =(1，2，一 1) T ， 2 =(1，3，一 1) T ， 31 =(一 1，0，a 一 2) T ， (ii) 1 =(一 1，一 2，3) T ， 2 =(一 2，一 4，5) T ， 3 =(1，b，一 1) T 设 A=( 1 ， 2 ， 3 )，B=( 1 ， 2 ， 3 ) 问：()a，b 为何值

7、时，矩阵 A，B 等价?a，b 为何值时，A，B 不等价? ()a，b 为何值时，向量组(i)，(ii)等价?a，b 为何值时，向量组(i)，(ii)不等价?（分数：2.00）_23.已知 A 是 3 阶方阵，A 的每行元素之和为 3，且齐次线性方程组 Ax=0 有通解 k 1 (1，2，一 2) T +k 2 (2，1，2) T ，其中 k 1 ，k 2 是任意常数，=(1，1，1) T ()证明对任意的一个 3 维向量 ，向量 A 和 线性相关； ()若 =(3，6，一 3) T ，求 A（分数：2.00）_24.()若随机变量 X 的概率分布为 令随机变量 Y=g(X)= （分数：2.0

8、0）_25.设 X 1 ，X 2 ，X 10 是来自总体 N(，1)的简单随机样本，记 ()求 Z= （分数：2.00）_考研数学（数学三）模拟试卷 469 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，且 f(0)= （分数：2.00）A.B.C.A D.2A解析：解析：因为 为使运算简单起见，记 2a=b，于是有3.下列反常积分中，收敛的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：通过具体计算，对于

9、选项(C)，4.幂级数 （分数：2.00）A.(一 2，2)B.一 2，2C.(一 8，8) D.8，8解析：解析：用一般记号， 为了使用洛必达法则，将 用 x 表示，n相当于 x0 + ，并注意到 x 大于 0 的时候，xsin x，所以可去掉绝对值号，考虑到 所以收敛半径 R=8，收敛区间为(一 8，8)为讨论收敛域，讨论 x=8 处对应的级数的敛散性在 x=8 处，对应的级数的通项为 所以 5.设 f(x，y)= （分数：2.00）A.偏导数存在，但函数不连续B.偏导数不存在，但函数连续C.函数连续，偏导数存在，但函数不可微D.函数可微 解析：解析：f(x，y)x 2 +y 2 ，令(x

10、，y)(0，0)，由夹逼定理有 同理 f y (0，0)=0故(B)不正确 考虑点(0，0)处的f，则 6.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则 ( )（分数：2.00）A.当 mn 时，必有AB=0 B.当 mn 时，AB 必可逆C.当 nm 时，ABx=0 必有唯一零解D.当 nm 时，必有 r(AB)m解析：解析：法一 当 mn 时，r(AB)r(A)nm，AB 是 mm 矩阵，故必有AB=0故应选 A 法二 当 mn 时，方程组 B nm x=0 有非零解，即存在 x0，使 Bx=0 成立，两端左边乘 A，得 ABx=0，其中x0，则AB=0，故应选 A7.设 A 是 3 阶

11、方阵，有 3 阶可逆矩阵 P，使得 P -1 AP= ，A * 是 A 的伴随矩阵，则 P -1 A * P= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：法一 设 P=( 1 ， 2 ， 3 )，其中 1 ， 2 ， 3 分别是对应于 A 的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =3 的特征向量，则 1 ， 2 ， 3 也是 A -1 的分别对应于特征值 1 = 的特征向量 因 A * =AA -1 ，A= =6 故 1 ， 2 ， 3 是 A * 的分别对应于特征值 l 1 =A 1 =6，l 2 =A 2 =3，l 3 =A 3 =2 的特征向量故有 P -1 A * P= ，

12、故应选 D 法二 由已知 P -1 AP= ，两边求逆，得 (P -1 AP) -1 =P -1 A -1 (P -1 ) -1 =P -1 A -1 P= 上式左右两端分别乘A(A是一个数，A= =6)，得 P -1 AA -1 P=P -1 A * P= 8.设 ZN(0，1)，令 X=+Z，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，则当 n时，Y n = （分数：2.00）A. 3 B. 3 C. 3 +3 2 D. 3 +3 3 3 解析：解析：由 ZN(0，1)，X=+z，知 XN(， 2 ) Y= E(X i 3 )=E(X i 3 )=E(X 3 ) 由 ZN(

13、0，1)，知 EZ=0，E(Z 2 )=DZ+(EZ) 2 =1+0=1，E(Z 3 )=0 故 E(X 3 )=E(+Z) 3 =E 3 +3 2 Z+3(Z) 2 + 3 Z 3 = 3 +3 2 EZ+3 2 E(Z 2 )+ 3 E(Z 3 ) = 3 +3 2 0+3 2 1+ 3 0 = 3 +3 2 综上，Y= 9.设 XN(0，1)，Y=X+X，Y 的分布函数为 F Y (y)，则 F Y (y)的间断点个数是 ( )（分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析：Y=X+X= 由此，y=x+x的图形如图所示 由分布函数的定义 F Y (y)=PYy知， 当 y0 时，

14、F Y (y)=0； 当 y0 时，F Y (y)=PYy)=PX0+P02Xy = 所以 F Y (y)= 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 f(x)的表达式，有 最后，分别写出自变量的取值范围，易见第 4 式中11.设 z= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 3xy 2 ）解析：解析：12.微分方程 y“一 3y+2y=xe 的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：C 1 e x +C 2 e 2x 一( ）解析：解析：对应的

15、齐次方程的通解为 Y=C 1 e x +C 2 e 2x 设原方程的一个特解为 y * =x(Ax+B)e x ， 代入原方程，得 y * =(一 13.设 f(x)在区间a，+)上存在二阶导数，且 f“(x)=0，其中 a，b 均为常数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：取常数 h0，在区间x，x+h上用泰勒公式： f(x+h)=f(x)+f(x)(x+h 一 x)+ f“()(x+hx) 2 ，axx+h 于是有 hf(x)=f(x+h)一 f(x)一 f“()h x 令 x+有+，并且由已知 f“(x)=0，有 14.设线性方程组 A 33 X=

16、b 有唯一解 1 =(1，一 1，2) T ， 是 3 维列向量，方程(A)X=b 有特解 1 =(1，一 2，1，3) T ，则方程组(A)X=b 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k(0，一 1，一 1，3) T +(1，一 2，1，3) T ，其中 k 是任意常数）解析：解析：AX=b 有唯一解r(A)=3r(A)=3r(A)=r(A)b)=3 方程组(A)X=b 的通解形式为 k+，其中 k 是(A)X=0 的通解， 是(A)X=b 的特解 已知(A)X=b 有特解 1 =(1，一 2，1，3) T 另一个特解可取 2 =(1，一 1，2，0) T 故

17、(A)X=b 有通解 k( 1 一 2 )+ 1 =k(0，一 1，一 1，3) T +(1，一 2，1，3) T ，或 k( 1 一 2 )+ 2 =k(0，一 1，一1，3) T +(1，一 1，2，0) T ，其中 k 是任意常数15.若 XN(1，4)，则 D(X 2 一 2X)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：32）解析：解析：由题意，易知 2 (1)故 D(X 2 2X)=D(X 2 2X+1)=D(X1) 2 =16D( 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.过坐

18、标原点作曲线 y=e x 的切线，该切线与曲线 y=e x 及 x 轴围成的向 x 轴负向无限伸展的平面图形记为 D ()求 D 的面积 A； ()求 D 绕直线 x=1 旋转所成的旋转体的体积 V（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设切点坐标为 P(x 0 ，y 0 )，于是曲线 y=e x 在点 P 的切线斜率为 y= ， 切线方程为 yy 0 = (xx 0 ) 它经过点(0，0)，所以一 y 0 =一 x 0 ，代入求得 x 0 =1，从而 y 0 = =e，切线方程为 y=ex ()取水平条面积元素， (积分 0 e ln ydy 为反常积分， yln y=0 来自洛必达法则)

19、 ()D 绕直线 x=1 旋转一周所成的旋转体的体积微元为 )解析：18.设 f(x)在区间0，+)上可导，f(0)=0，g(x)是 f(x)的反函数，且 0 f(x) g(t)dt+ 0 x f(t)dt=xe x e x +1 求 f(x)，并要求证明：你得出来的 f(x)在区间0，+)上的确存在反函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 0 f(x) g(t)dt+ 0 x f(t)dt=xe x e x +1 两边对 x 求导，得 gf(x)f(x)+f(x)=xe x 由于 gf(x)=x，上式成为 xf(x)+f(x)=xe x 当 x0 时，上式可以写为 f(x)+ f(

20、x)=e x ， 由一阶线性微分方程的通解公式，得通解 由 f(x)在 x=0 处可导且 f(0)=0，得 当且仅当 C=1 时上式成立，所以 下面证明上面得到的 f(x)在区间0，+)上的确存在反函数由所得到的表达式 f(x)在区间0，+)上连续，所以只要证明 f(x)在 x(0，+)上单调即可由 )解析：19.设 z=f(x，y)，z=g(y，z)+( )，其中 f，g， 在其定义域内均可微，计算中出现的分母均不为 0，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：复合关系复杂，又夹有隐函数微分法，用微分形式不变性解比较方便由z=f(x，y)，有 dz=f 1 dx+f 2 dy (*)

21、)解析：20.设 D=(x，y) 1，常数 a0，b0，ab。求二重积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.某人向银行贷款购房，贷款 A 0 (万元)，月息 r，分 n 个月归还，每月归还贷款数相同，为 A(万元)(此称等额本息还贷，目前各银行都采用这个办法还贷)设至第 t 个月，尚欠银行 y t (万元) ()试建立 y t 关于 t 的一阶差分方程并求解； ()利用 t=n 时 y t =0，建立每月应向银行还贷 A(万元)依赖于 n 的计算公式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()设至第 t 个月，尚欠银行贷款 y t (万元)，再经一个月，本息共计

22、欠贷(1+r)y t (万元)，还了 A(万元)，尚欠 (1+r)y t A=y t+1 ， 即 y t+1 一(1+r)y t =一 A 此为一阶常系数线性差分方程，解之得通解 y t =C(1+r) t + 初始条件为 y 0 =A 0 ，从而 C=A 0 一 ，于是得特解为 y t =(A t 一 ()因 t=n 时 y t =0代入上式，得 )解析：22.设向量组(i) 1 =(1，2，一 1) T ， 2 =(1，3，一 1) T ， 31 =(一 1，0，a 一 2) T ， (ii) 1 =(一 1，一 2，3) T ， 2 =(一 2，一 4，5) T ， 3 =(1，b，一

23、1) T 设 A=( 1 ， 2 ， 3 )，B=( 1 ， 2 ， 3 ) 问：()a，b 为何值时，矩阵 A，B 等价?a，b 为何值时，A，B 不等价? ()a，b 为何值时，向量组(i)，(ii)等价?a，b 为何值时，向量组(i)，(ii)不等价?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()ABr(A)=r(B) 将增广矩阵(AB)一起作初等行变换， )解析：23.已知 A 是 3 阶方阵，A 的每行元素之和为 3，且齐次线性方程组 Ax=0 有通解 k 1 (1，2，一 2) T +k 2 (2，1，2) T ，其中 k 1 ，k 2 是任意常数，=(1，1，1) T ()证明对

24、任意的一个 3 维向量 ，向量 A 和 线性相关； ()若 =(3，6，一 3) T ，求 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由题设条件，A 的每行元素之和为 3，则 即 A 有特征值 1 =3，对应的特征向量为 1 =(1，1，1) T Ax=0 有通解 k 1 (1，2，一 2) T +k 2 (2，1，2) T ，知 A 有特征值 2 = 3 =0，对应的特征向量为 2 =(1，2，一 2) T ， 3 =(2，1，2) T 因 1 ， 2 ， 3 线性无关，故任意 3 维向量 均可由 1 ， 2 ， 3 线性表出，设 =x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 ， 从而有

25、A=A(x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 )=x 1 A 1 =3x 1 =3x 1 ， 得证 A 和 线性相关 ()解当 =(3，6，一 3) T 时，令 =x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 ，解非齐次线性方程组 对(*)式的增广矩阵作初等行变换，得 解得 (x 1 ，x 2 ，x 3 ) T =(3，2，一 1) T 即 =3 1 +2 2 3 ， A=A(3 1 +2 2 3 )=3 1 =33 )解析：24.()若随机变量 X 的概率分布为 令随机变量 Y=g(X)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()当 x=1 时，Y= 1+(一 1) 1 =0；当 X=2

26、时，Y= 1+(一 1) 2 =1； 当 X=3 时，Y= 1+(一 1) 3 =0；当 X=4 时，Y= 1+(一 1) 4 =1 故随机变量 Y 的概率分布为 ()令随机变量 Y=g(x)= 1+(一 1) X ， 当 X=2k+1(奇数)时，Y= 1+(一 1) 2k+1 =0； 当 X=2k(偶数)时，Y= 1+(一 1) 2k =1， )解析：25.设 X 1 ，X 2 ，X 10 是来自总体 N(，1)的简单随机样本，记 ()求 Z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由题知 X i (i=1，2，10)独立同分布服从 N(，1)，则 Y 1 N(， )， 且 Y 1 ，Y 2 独立，故 Y 1 一 Y 2 N( 一 ， )进一步 N(0，1) 又 S 2 2 2 (5)，S 2 2 与 Y 1 ，Y 2 均独立，故 由 t 分布的对称性知 PZ0= () S 1 2 = (X i 一 ) 2 2 (4)，S 2 2 = )解析：