【考研类试卷】考研数学二（线性方程组）模拟试卷22及答案解析.doc

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1、考研数学二（线性方程组）模拟试卷 22 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 Ax=0 仅有零解的充要条件是( )（分数：2.00）A.A 的列向量线性无关。B.A 的列向量线性相关。C.A 的行向量线性无关。D.A 的行向量线性相关。3.非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量的个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵的秩为 r，则( )（分数：2.00）A.r=m 时，方程组 Ax=b 有解。B.r=n 时，方程组 A

2、x=b 有唯一解。C.m=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解。D.rn 时，方程组有无穷多个解。4.已知 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个不同的解，那么向量 1 一 2 ， 1 + 2 2 3 ， （分数：2.00）A.4。B.3。C.2。D.1。5.某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换化为 （分数：2.00）A.1 个。B.2 个。C.3 个。D.4 个。6.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，则 Ax=0 的基础解系还可以是( )（分数：2.00）A. 1 一 2 ， 2 + 3 ， 3 一 4 ， 4 + 1 。B. 1 +

3、 2 ， 2 + 3 + 4 ， 1 一 2 + 3 。C. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 。D. 1 + 2 ， 2 一 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 。7.已知四阶方阵 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为四维列向量，其中 1 ， 2 线性无关，若 1 +2 2 一 3 =， 1 + 2 + 3 + 4 =，2 1 +3 2 + 3 +2 4 =，k 1 ，k 2 为任意常数，那么 Ax= 的通解为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8. 1 ， 2 是 n 元齐次方程组 Ax=0 的两个不同的解，若 r(A)

4、=n 一 1，则 Ax=0 的通解为( )（分数：2.00）A.k 1 。B.k 2 。C.k( 1 + 2 )。D.k( 1 一 2 )。9.设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A，B 均为 mn 矩阵，现有四个命题：若 Ax=0 的解均是Bx=0 的解，则 r(A)r(B)；若 r(A)r(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解；若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则r(A)=r(B)；若 r(A)=r(B)，则 Ax=0 与 Bx=0 同解。以上命题中正确的有( )（分数：2.00）A.。B.。C.。D.。二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.已知线性方程组

5、（分数：2.00）填空项 1:_11.齐次方程组 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 A 是一个五阶矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，若 * ， 2 是齐次线性方程组 Ax=0 的两个线性无关的解，则 r(A * )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_14.设 n 阶矩阵 A 的秩为 n 一 2， 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个线性无关的解，则Ax=b 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.已知方程组(1) （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：22.00)16.解答题解答

6、应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设 （分数：4.00）(1).求 ，a；（分数：2.00）_(2).求方程组 Ax=b 的通解。（分数：2.00）_17.已知齐次线性方程组 其中 （分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).计算行列式A；（分数：2.00）_(2).当实数 a 为何值时，方程组 Ax=b 有无穷多解，并求其通解。（分数：2.00）_18.设线性方程组为 （分数：2.00）_19.设 1 ， 2 ， s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系， 1 =t 1 1 +t 2 2 ， 2 =t 1 2 +t 2 3 ， s =t 1 s +t 2 1 ， 其中 t 1 ，

7、t 2 为实常数。试问 t 1 ，t 2 满足什么条件时， 1 ， 2 ， s 也为 Ax=0 的一个基础解系。（分数：2.00）_20.设矩阵 A=(a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 )，其中 a 2 ，a 3 ，a 4 线性无关，a 1 =2a 2 一 a 3 ，向量 b=a 1 +a 2 +a 3 +a 4 ，求方程组 Ax=b 的通解。（分数：2.00）_设线性方程组(1)Ax=0 的一个基础解系为 1 =(1，1，1，0，2) T ， 2 =(1，1，0，1，1) T ， 3 =(1，0，1，1，2) T 。线性方程组(2)Bx=0 的一个基础解系为 1 =(1，1，一 1，一

8、1，1) T ， 2 =(1，一 1，1，一 1，2) T ， 3 =(1，一 1，一 1，1，1) T 。求（分数：4.00）(1).线性方程组(3) （分数：2.00）_(2).矩阵 C=(A T ，B T )的秩。（分数：2.00）_21.已知齐次线性方程组 （分数：2.00）_考研数学二（线性方程组）模拟试卷 22 答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 Ax=0 仅有零解的充要条件是( )（分数：2.0

9、0）A.A 的列向量线性无关。 B.A 的列向量线性相关。C.A 的行向量线性无关。D.A 的行向量线性相关。解析：解析：Ax=0 仅有零解3.非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量的个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵的秩为 r，则( )（分数：2.00）A.r=m 时，方程组 Ax=b 有解。 B.r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解。C.m=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解。D.rn 时，方程组有无穷多个解。解析：解析：对于选项 A，r(A)=r=m。由于 r(A b)m=r， 且 r(A b)minm，n+1=minr，n+1=r， 因此必有 r(A b)=r，从而 r(A)=r(A

10、4.已知 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个不同的解，那么向量 1 一 2 ， 1 + 2 2 3 ， （分数：2.00）A.4。 B.3。C.2。D.1。解析：解析：由 A i =b(i=1，2，3)有 A( 1 一 2 )=A 1 A 2 =bb=0， A( 1 + 2 2 3 )=A 1 +A 2 2A 3 =b+b 一 2b=0， =0， A( 1 3 2 +2 3 )=A 1 一 3A 2 +2A 3 =b 一 3b+2b=0， 即 1 一 2 ， 1 + 2 2 3 ， 5.某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换化为 （分数：2.00）A.1 个。B.2 个

11、。 C.3 个。D.4 个。解析：解析：因为系数矩阵的秩 r(A)=3，则 n 一 r(A)=53=2，故应当有两个自由变量。由于去掉 x 4 ，x 5 两列之后，所剩三阶矩阵为 ，因为其秩与 r(A)不相等，故 x 4 ，x 5 不是自由变量。同理，x 3 ，x 5 不能是自由变量。 而 x 1 ，x 5 与 x 2 ，x 3 均可以是自由变量，因为行列式 6.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，则 Ax=0 的基础解系还可以是( )（分数：2.00）A. 1 一 2 ， 2 + 3 ， 3 一 4 ， 4 + 1 。B. 1 + 2 ， 2 + 3 +

12、4 ， 1 一 2 + 3 。C. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 。D. 1 + 2 ， 2 一 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 。 解析：解析：由已知条件知 Ax=0 的基础解系由四个线性无关的解向量所构成。选项 B 中仅三个解向量，个数不合要求，故排除 B 项。 选项 A 和 C 中，都有四个解向量，但因为 ( 1 一 2 )+( 2 + 3 )一( 3 一 4 )一( 4 + 1 )=0，( 1 + 2 )一( 2 + 3 )+( 3 + 4 )一( 4 + 1 )=0， 说明选项 A、C 中的解向量组均线性相关，因而排除 A 项和 C 项。用排除法可知

13、选 D。 或者直接地，由 ( 1 + 2 ， 2 一 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 )=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) 。 因为 7.已知四阶方阵 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为四维列向量，其中 1 ， 2 线性无关，若 1 +2 2 一 3 =， 1 + 2 + 3 + 4 =，2 1 +3 2 + 3 +2 4 =，k 1 ，k 2 为任意常数，那么 Ax= 的通解为( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由 1 +2 2 一 3 = 知 8. 1 ， 2 是 n 元齐次方程组 Ax=0 的两个不同的解，若 r(A)=n

14、 一 1，则 Ax=0 的通解为( )（分数：2.00）A.k 1 。B.k 2 。C.k( 1 + 2 )。D.k( 1 一 2 )。 解析：解析：因为 r(A)=n 一 1，所以 Ax=0 的基础解系只含有一个解向量， 1 2 为 Ax=0 的非零解，所以 Ax=0 的通解为 k( 1 一 2 )。9.设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A，B 均为 mn 矩阵，现有四个命题：若 Ax=0 的解均是Bx=0 的解，则 r(A)r(B)；若 r(A)r(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解；若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则r(A)=r(B)；若 r(A)=r(B)，

15、则 Ax=0 与 Bx=0 同解。以上命题中正确的有( )（分数：2.00）A.。B.。 C.。D.。解析：解析：由于线性方程组 Ax=0 和 Bx=0 之间可以无任何关系，此时其系数矩阵的秩之间的任何关系都不会影响它们各自解的情况，所以，显然不正确，利用排除法，可得正确选项为 B。 下面证明，正确； 对于，由 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解可知，方程组 Bx=0 含于 Ax=0 之中。从而 Ax=0 的有效方程的个数(即 r(A)必不少于 Bx=0 的有效方程的个数(即 r(B)，故 r(A)r(B)。 对于，由于 A，B为同型矩阵，若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则其基础解系包含的解

16、向量的个数相同，即 nr(A)=nr(B)，从而r(A)=r(B)。二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.已知线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：对线性方程组的增广矩阵作初等行变换得11.齐次方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 3 或一 1）解析：解析：系数矩阵的行列式A=12.设 A 是一个五阶矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，若 * ， 2 是齐次线性方程组 Ax=0 的两个线性无关的解，则 r(A * )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析： 1 ， 2

17、 是齐次线性方程组 Ax=0 的两个线性无关的解。由方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵秩的关系，可得 n 一 r(A)2，即 r(A)3。又因为 A 是五阶矩阵，所以A的四阶子式一定全部为零，则代数余子式 A ij 恒为零，即 A * =0，所以 r(A * )=0。13.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k 1 (1，4，7) T +k 2 (2，5，8) T ，k 1 ，k 2 为任意常数）解析：解析：因为矩阵 A 的秩是 2，所以A=0，且 r(A * )=1。再由 A * A=AE=0 可知，A 的列向量为 A * x=0 的解，因此 A * x

18、=0 的通解是 k 1 (1，4，7) T +k 2 (2，5，8) T 。14.设 n 阶矩阵 A 的秩为 n 一 2， 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个线性无关的解，则Ax=b 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 1 +k 1 ( 2 一 1 )+k 2 ( 3 一 1 )，k 1 ，k 2 为任意常数）解析：解析： 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个线性无关的解；则 2 一 1 ， 3 一 1 是 Ax=0 的两个非零解，且它们线性无关。又 nr(A)=2，故 2 一 1 ， 3 一 1 是Ax=0 的基础

19、解系，所以 Ax=b 的通解为 1 +k 1 ( 2 一 1 )+k 2 ( 3 一 1 )，k 1 ，k 2 为任意常数。15.已知方程组(1) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k(一 5，3，1) T ，k 为任意常数）解析：解析：将方程组(1)和方程(2)联立，得到方程组(3) (3)的解就是两者的公共解。对(3)的系数矩阵作初等行变换可得 三、解答题(总题数：9，分数：22.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设 （分数：4.00）(1).求 ，a；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为线性方程组 Ax=b 有两个不同的解，

20、所以 r(A)= n。于是 A= =(+1)( 一 1) 2 =0。 解得 =1 或 =一 1。 当 =1 时，r(A)=1， =2，此时线性方程组无解。 当 =一 1 时， 若 a=一 2，则 r(A)= )解析：(2).求方程组 Ax=b 的通解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 =一 1，a=一 2 时， 所以方程组 Ax=b 的通解为 )解析：17.已知齐次线性方程组 其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组的系数矩阵的行列式 (I)当 b0 且 b+ 0 时，r(A)=0，方程组仅有零解。 ()当 b=0 时，原方程组的同解方程组为 a 1 x 1 +a 2

21、 x 2 +a n x n =0。 由 0 可知，a i (i=1，2，n)不全为零。不妨设 a 1 0，得原方程组的一个基础解系为 1 =(一 a 2 ，a 1 ，1，0，0) T ， 2 =(一 a 3 ，0，a 1 ，0) T ， n1 =(一 a n ，0，0，a 1 ) T 。 当 b= 时，有 b0，原方程组的系数矩阵可化为 (将第一行的一 1倍加到其余各行，再从第二行到第 n 行同乘以 倍) (将第 i 行的一 a i (i=2，3，n)倍加到第一行，再将第一行移到最后一行) )解析：设 （分数：4.00）(1).计算行列式A；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A= )解

22、析：(2).当实数 a 为何值时，方程组 Ax=b 有无穷多解，并求其通解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对方程组系数矩阵的增广矩阵作初等行变换，得 要使原线性方程组有无穷多解，则有 1 一 a 4 =0 且一 a 一 a 2 =0，即 a=一 1。 当 a=一 1 时， )解析：18.设线性方程组为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：B=(A，b)= 。 当 r(A)=r(B)= 时，方程组有唯一解； 当 k 1 =2 时，B ，则 当 k 2 1 时，r(A)=3r(B)=4，方程组无解； 当 k 2 =1 时，r(A)=r(B)=34，方程组有无穷多解，且 )解析：1

23、9.设 1 ， 2 ， s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系， 1 =t 1 1 +t 2 2 ， 2 =t 1 2 +t 2 3 ， s =t 1 s +t 2 1 ， 其中 t 1 ，t 2 为实常数。试问 t 1 ，t 2 满足什么条件时， 1 ， 2 ， s 也为 Ax=0 的一个基础解系。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 i (i=1，2，s)是 1 ， 2 ， s 的线性组合，且 1 ， 2 ， s 是 Ax=0 的解，所以根据齐次线性方程组解的性质知 i (i=1，2，s)均为 Ax=0的解。 从 1 ， 2 ， s 是 Ax=0 的基础解系知 s=n 一 r

24、(A)。 以下分析 1 ， 2 ， s 线性无关的条件： 设 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0，即 (t 1 k 1 +t 2 k s ) 1 +(t 2 k 1 +t 1 k 2 ) 2 +(t 2 k 2 +t 1 k 3 ) 3 +(t 2 k s1 +t 1 k s ) s =0， 由于 1 ， 2 ， s 线性无关，所以 又因系数矩阵的行列式 )解析：20.设矩阵 A=(a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 )，其中 a 2 ，a 3 ，a 4 线性无关，a 1 =2a 2 一 a 3 ，向量 b=a 1 +a 2 +a 3 +a 4 ，求方程组 Ax=b 的通解。（分数

25、：2.00）_正确答案：(正确答案：已知 a 2 ，a 3 ，a 4 线性无关，则 r(A)3。又由 a 1 ，a 2 ，a 3 线性相关可知 a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 线性相关，故 r(A)3。 综上所述，r(A)=3，从而原方程组的基础解系所含向量个数为 43=1。又因为 a 1 =2a 2 一 a 3 a 1 2a 2 +a 3 =0 (a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 ) )解析：设线性方程组(1)Ax=0 的一个基础解系为 1 =(1，1，1，0，2) T ， 2 =(1，1，0，1，1) T ， 3 =(1，0，1，1，2) T 。线性方程组(2)Bx=0 的一个基

26、础解系为 1 =(1，1，一 1，一 1，1) T ， 2 =(1，一 1，1，一 1，2) T ， 3 =(1，一 1，一 1，1，1) T 。求（分数：4.00）(1).线性方程组(3) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：线性方程组(1)Ax=0 的通解为 x=k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 ；线性方程组(2)Bx=0 的通解为 x=l 1 1 +l 2 2 +l 3 3 ；线性方程组(3) 的解是方程组(1)和(2)的公共解，故考虑线性方程组(4)k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =l 1 1 +l 2 2 +l 3 3 ，将其系数矩阵作初等行变换，即 )解析：(2

27、).矩阵 C=(A T ，B T )的秩。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：线性方程组(3) )解析：21.已知齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为方程组(2)中“方程个数未知数个数”，所以方程组(2)必有非零解。于是方程组 (1)必有非零解，则(1)的系数行列式为 0，即 =2 一 a=0， 所以 a=2。 对方程组(1)的系数矩阵作初等行变换，有 则方程组(1)的通解是 k(一 1，一 1，1) T 。 因为(一 1，一 1，1) T 是方程组(2)的解，所以 故 b=1，c=2 或 b=0，c=1。 当 b=1，c=2 时，方程组(2)为 其通解是k(一 1，一 1，1) T ，所以方程组(1)与(2)同解。 当 b=0，c=1 时，方程组(2)为 )解析：