【考研类试卷】考研数学二-高等数学常微分方程及答案解析.doc

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1、考研数学二-高等数学常微分方程及答案解析(总分：112.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：24.00)1.若 y=xex+x 是方程 y“-2y+ay=bx+c 的解，则（分数：4.00）A.a=1，b=1，c=0B.a=1，b=1，c=-2C.a=-3，b=-3，c=0D.a=-3，b=1，c=12.微分方程 ysinx=ylny 满足条件 的特解是（分数：4.00）A.B.C.D.3.具有特解 y1=e-x，y 2=2xe-x，y 3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是（分数：4.00）A.y“-y“-y-y=0B.y“+y“-y-y=0C.y“-6y“+11y-

2、6y=0D.y“-2y“-3y+2y=04.微分方程 y“+y=x2+2x+cox 的特解可设为（分数：4.00）A.y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)B.y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)C.y*=ax2+bx+c+AsinxD.y*=ax2+bx+c+Acosx5.函数 y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是（分数：4.00）A.y“-y-2y=3xexB.y“-y-2y=3exC.y“+y-2y=3xexD.y“+y-2y=3ex6.若连续函数 f(x)满足关系式 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：7，分数：28.0

3、0)7.微分方程 xy+2y=xlnx 满足 （分数：4.00）填空项 1:_8.微分方程 ydx+(x2-4x)dy=0 的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_9.微分方程 xy+3y=0 的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_10.方程 y“(x+y2)=y满足条件 y(1)=y(1)=1 的特解为_（分数：4.00）填空项 1:_11.二阶常系数非齐次线性微分方程 y“-4y+3y=2e2x的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_12.微分方程 y“+y=x+cosx 的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_13.已知方程 y“+ay+by=0 的通解为 y=C1ex+C2e

4、-x，则方程 y“+ay+by=ex满足初始条件 y(0)=0， （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：60.00)14.求微分方程 x2y+xy=y2满足初始条件 y(1)=1 的特解（分数：5.00）_15.求微分方程(3x 2+2xy-y2)dx+(x2-2xy)dy=0 的通解（分数：5.00）_16.求微分方程 （分数：5.00）_17.求微分方程 y“-3y+2y=xex的通解（分数：5.00）_18.求微分方程 y“+3y+2y=e-x+sinx 的通解（分数：5.00）_19.设函数 f(x)连续且满足 （分数：5.00）_20.设 （分数：5.00）

5、_21.设 x=f(r)(r0)有二阶连续导数， ，（分数：5.00）_22.设 f(t)为连续函数，且 （分数：5.00）_23.设曲线 L 位于 xoy 平面的第一象限内，L 上任一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点记为 A，已知|=| |，且 L 过点 （分数：5.00）_24.设函数 f(x)在1，+)上连续，若由曲线 y=f(x)，直线 x=1，x=t(t1)与 x 轴围成平面图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为试求 y=f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件 （分数：5.00）_25.函数 f(x)在0，+)上可导，f(0)=1，且满足等式（分数：5.00）_考

6、研数学二-高等数学常微分方程答案解析(总分：112.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：24.00)1.若 y=xex+x 是方程 y“-2y+ay=bx+c 的解，则（分数：4.00）A.a=1，b=1，c=0B.a=1，b=1，c=-2 C.a=-3，b=-3，c=0D.a=-3，b=1，c=1解析：由 y=xex+x 是方 y“-2y+ay=bx+c 的解知，xe x是齐次方程 y“-2y+ay=0 的解，且其特征方程有特征根 1，则 a=1，x 为非齐次解，代入y“-2y+y=bx+C得 b=1，c=-22.微分方程 ysinx=ylny 满足条件 的特解是（分数

7、：4.00）A.B.C.D. 解析：由 ysinx=ylny 知*由*知 C=0*3.具有特解 y1=e-x，y 2=2xe-x，y 3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是（分数：4.00）A.y“-y“-y-y=0B.y“+y“-y-y=0 C.y“-6y“+11y-6y=0D.y“-2y“-3y+2y=0解析：由于 y1=e-x，y 2=2xe-x，y 3=3ex为三阶常系数齐次方程的解，则该齐次方程特征方程根为r1=r2=-1，r 3=1方程 y“+y“-y-y=0 的特征方程为r3+r2-r-1=0即 (r-1)(r 2+2r+1)=0故应选(B)4.微分方程 y“+y=x2+2x+

8、cox 的特解可设为（分数：4.00）A.y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx) B.y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)C.y*=ax2+bx+c+AsinxD.y*=ax2+bx+c+Acosx解析：齐次方程特征方程为 r 2+1=0，r=i则原方程特征为 y *=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)5.函数 y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是（分数：4.00）A.y“-y-2y=3xexB.y“-y-2y=3exC.y“+y-2y=3xexD.y“+y-2y=3ex 解析：由于 y=C1ex+C2e-2x+xex为非齐次方程解，

9、则齐次方程的特征方程有特征根r1=1，r 2=-2故只能选(C)或(D)，易验证 y=xex是 y“+y-2y=3ex的解，则应选(D)6.若连续函数 f(x)满足关系式 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：等式 *两端对 x 求导得f(x)=2f(x)*ln|f|=2x+C1f(x)=Ce2x由题设知，f(0)=ln2，则 C=ln2f(x)=e2xln2二、填空题(总题数：7，分数：28.00)7.微分方程 xy+2y=xlnx 满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：由xy+2y=xlnx 知*由*知，C=0*8.微分方程 ydx+(x2-4x)dy=0 的通

10、解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(x-4)y 4=C）解析：由 ydx+(x2-4x)dy=0 知*积分得 (x-4)y 4=C9.微分方程 xy+3y=0 的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：令 y=p，则 y“=pxp+3p=0*10.方程 y“(x+y2)=y满足条件 y(1)=y(1)=1 的特解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：令 y=p，则*由 y(1)=1 知，C=0，则 p2=x*由 y(1)=1 知，C 1=1，*11.二阶常系数非齐次线性微分方程 y“-4y+3y=2e2x的通解为_（分数：4.00

11、）填空项 1:_ （正确答案：y=C 1e3x+C2ex-2e2x）解析：齐次方程特征方程为 r2-4r+3=0r1=1，r 2=3非齐次特征为 y *=Ae2x代入方程 y“-4y+3y=2e2x得 A=-2，则原方程通解为y=C1e3x+C2ex-2e2x12.微分方程 y“+y=x+cosx 的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：特征方程为 r 2+1=0r1,2=iy“+y=x有特解y=x设方程 y“+y=cox 的特征解为y=x(Acosx+Bsinx)代入方程 y“+y=cosx 得*则原方程通解为 *13.已知方程 y“+ay+by=0 的通解为 y=

12、C1ex+C2e-x，则方程 y“+ay+by=ex满足初始条件 y(0)=0， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：由 y=C1ex+C2e-x为 y“+ay+by=0 的通解知，特征方程有特征根 r1=1，r 2=-1，特征方程为r2-1=0则 a=0，b=-1设 y“-y=ex的特解为y*=Axex代入方程 y“-y=ex得 *则方程 y“-y=ex的通解为 *由 y(0)=0，*知*，则*三、解答题(总题数：12，分数：60.00)14.求微分方程 x2y+xy=y2满足初始条件 y(1)=1 的特解（分数：5.00）_正确答案：(由 x2y+xy=y2得*令*由

13、y(1)=1 知，*)解析：15.求微分方程(3x 2+2xy-y2)dx+(x2-2xy)dy=0 的通解（分数：5.00）_正确答案：(xy 2-x2y-x3=C)解析：16.求微分方程 （分数：5.00）_正确答案：(由*得*即 *)解析：17.求微分方程 y“-3y+2y=xex的通解（分数：5.00）_正确答案：(*)解析：18.求微分方程 y“+3y+2y=e-x+sinx 的通解（分数：5.00）_正确答案：(齐次方程特征方程为 r 2+3r+2=0特征根为 r 1=-2，r 2=-1设 y“+3y+2y=e-x特解为 y1*=Axe-x，代入该方程得 A=1设方程 y“+3y+

14、2y=sinx 的特解为 y=Acosx+Bsinx，代入该方程得 *则原方程通解为*)解析：19.设函数 f(x)连续且满足 （分数：5.00）_正确答案：(*)解析：20.设 （分数：5.00）_正确答案：(*上式两端求导得*f“(x)=ex+f(x)f“(x)-f(x)-f(x)=ex特征方程 r 2-1=0，r 1=1，r 2=-1设非齐次特解为 y*=Axex代入方程得*，则*由 f(0)=1，f(0)=1 知*则 *)解析：21.设 x=f(r)(r0)有二阶连续导数， ，（分数：5.00）_正确答案：(f(r)=C 1er+C2e-r-2-r2)解析：22.设 f(t)为连续函数

15、，且 （分数：5.00）_正确答案：(*由 f(0)=0 知 C=2，f(t)=2e t-t2-2t-2)解析：23.设曲线 L 位于 xoy 平面的第一象限内，L 上任一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点记为 A，已知|=| |，且 L 过点 （分数：5.00）_正确答案：(*)解析：24.设函数 f(x)在1，+)上连续，若由曲线 y=f(x)，直线 x=1，x=t(t1)与 x 轴围成平面图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为试求 y=f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件 （分数：5.00）_正确答案：(由题设知*即 * 两端对 t 求导得3f2(t)=2tf(t)+

16、t2f(t)记 y=f(x)，则x2y=3y2-2xy*令*，解 *y-x=Cx3y，由*知，C=-1*)解析：25.函数 f(x)在0，+)上可导，f(0)=1，且满足等式（分数：5.00）_正确答案：(1)由 *得*等式两端对 x 求导得 (x+1)f“(x)+(x+2)f(x)=0令 f(x)=u，则*，解之得*由 f(0)=1，及 f(0)+f(0)=0 知 f(0)=-1，则 C=-1，*(2)当 x0 时，f(x)0，f(x)单调减，又 f(0)=1，则 f(x)f(0)=1令 (x)=f(x)-e -x，则 (0)=0，*(x)单调增，(x)(0)=0，故当 x0 时，e -xf(x)1)解析：