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    【考研类试卷】考研数学二-高等数学常微分方程及答案解析.doc

    • 资源ID:1395990       资源大小:89KB        全文页数:9页
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    【考研类试卷】考研数学二-高等数学常微分方程及答案解析.doc

    1、考研数学二-高等数学常微分方程及答案解析(总分:112.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:6,分数:24.00)1.若 y=xex+x 是方程 y“-2y+ay=bx+c 的解,则(分数:4.00)A.a=1,b=1,c=0B.a=1,b=1,c=-2C.a=-3,b=-3,c=0D.a=-3,b=1,c=12.微分方程 ysinx=ylny 满足条件 的特解是(分数:4.00)A.B.C.D.3.具有特解 y1=e-x,y 2=2xe-x,y 3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是(分数:4.00)A.y“-y“-y-y=0B.y“+y“-y-y=0C.y“-6y“+11y-

    2、6y=0D.y“-2y“-3y+2y=04.微分方程 y“+y=x2+2x+cox 的特解可设为(分数:4.00)A.y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)B.y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)C.y*=ax2+bx+c+AsinxD.y*=ax2+bx+c+Acosx5.函数 y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是(分数:4.00)A.y“-y-2y=3xexB.y“-y-2y=3exC.y“+y-2y=3xexD.y“+y-2y=3ex6.若连续函数 f(x)满足关系式 (分数:4.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:7,分数:28.0

    3、0)7.微分方程 xy+2y=xlnx 满足 (分数:4.00)填空项 1:_8.微分方程 ydx+(x2-4x)dy=0 的通解为_(分数:4.00)填空项 1:_9.微分方程 xy+3y=0 的通解为_(分数:4.00)填空项 1:_10.方程 y“(x+y2)=y满足条件 y(1)=y(1)=1 的特解为_(分数:4.00)填空项 1:_11.二阶常系数非齐次线性微分方程 y“-4y+3y=2e2x的通解为_(分数:4.00)填空项 1:_12.微分方程 y“+y=x+cosx 的通解为_(分数:4.00)填空项 1:_13.已知方程 y“+ay+by=0 的通解为 y=C1ex+C2e

    4、-x,则方程 y“+ay+by=ex满足初始条件 y(0)=0, (分数:4.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:12,分数:60.00)14.求微分方程 x2y+xy=y2满足初始条件 y(1)=1 的特解(分数:5.00)_15.求微分方程(3x 2+2xy-y2)dx+(x2-2xy)dy=0 的通解(分数:5.00)_16.求微分方程 (分数:5.00)_17.求微分方程 y“-3y+2y=xex的通解(分数:5.00)_18.求微分方程 y“+3y+2y=e-x+sinx 的通解(分数:5.00)_19.设函数 f(x)连续且满足 (分数:5.00)_20.设 (分数:5.00)

    5、_21.设 x=f(r)(r0)有二阶连续导数, ,(分数:5.00)_22.设 f(t)为连续函数,且 (分数:5.00)_23.设曲线 L 位于 xoy 平面的第一象限内,L 上任一点 M 处的切线与 y 轴总相交,交点记为 A,已知|=| |,且 L 过点 (分数:5.00)_24.设函数 f(x)在1,+)上连续,若由曲线 y=f(x),直线 x=1,x=t(t1)与 x 轴围成平面图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为试求 y=f(x)所满足的微分方程,并求该微分方程满足条件 (分数:5.00)_25.函数 f(x)在0,+)上可导,f(0)=1,且满足等式(分数:5.00)_考

    6、研数学二-高等数学常微分方程答案解析(总分:112.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:6,分数:24.00)1.若 y=xex+x 是方程 y“-2y+ay=bx+c 的解,则(分数:4.00)A.a=1,b=1,c=0B.a=1,b=1,c=-2 C.a=-3,b=-3,c=0D.a=-3,b=1,c=1解析:由 y=xex+x 是方 y“-2y+ay=bx+c 的解知,xe x是齐次方程 y“-2y+ay=0 的解,且其特征方程有特征根 1,则 a=1,x 为非齐次解,代入y“-2y+y=bx+C得 b=1,c=-22.微分方程 ysinx=ylny 满足条件 的特解是(分数

    7、:4.00)A.B.C.D. 解析:由 ysinx=ylny 知*由*知 C=0*3.具有特解 y1=e-x,y 2=2xe-x,y 3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是(分数:4.00)A.y“-y“-y-y=0B.y“+y“-y-y=0 C.y“-6y“+11y-6y=0D.y“-2y“-3y+2y=0解析:由于 y1=e-x,y 2=2xe-x,y 3=3ex为三阶常系数齐次方程的解,则该齐次方程特征方程根为r1=r2=-1,r 3=1方程 y“+y“-y-y=0 的特征方程为r3+r2-r-1=0即 (r-1)(r 2+2r+1)=0故应选(B)4.微分方程 y“+y=x2+2x+

    8、cox 的特解可设为(分数:4.00)A.y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx) B.y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)C.y*=ax2+bx+c+AsinxD.y*=ax2+bx+c+Acosx解析:齐次方程特征方程为 r 2+1=0,r=i则原方程特征为 y *=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)5.函数 y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是(分数:4.00)A.y“-y-2y=3xexB.y“-y-2y=3exC.y“+y-2y=3xexD.y“+y-2y=3ex 解析:由于 y=C1ex+C2e-2x+xex为非齐次方程解,

    9、则齐次方程的特征方程有特征根r1=1,r 2=-2故只能选(C)或(D),易验证 y=xex是 y“+y-2y=3ex的解,则应选(D)6.若连续函数 f(x)满足关系式 (分数:4.00)A.B. C.D.解析:等式 *两端对 x 求导得f(x)=2f(x)*ln|f|=2x+C1f(x)=Ce2x由题设知,f(0)=ln2,则 C=ln2f(x)=e2xln2二、填空题(总题数:7,分数:28.00)7.微分方程 xy+2y=xlnx 满足 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:由xy+2y=xlnx 知*由*知,C=0*8.微分方程 ydx+(x2-4x)dy=0 的通

    10、解为_(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:(x-4)y 4=C)解析:由 ydx+(x2-4x)dy=0 知*积分得 (x-4)y 4=C9.微分方程 xy+3y=0 的通解为_(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:令 y=p,则 y“=pxp+3p=0*10.方程 y“(x+y2)=y满足条件 y(1)=y(1)=1 的特解为_(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:令 y=p,则*由 y(1)=1 知,C=0,则 p2=x*由 y(1)=1 知,C 1=1,*11.二阶常系数非齐次线性微分方程 y“-4y+3y=2e2x的通解为_(分数:4.00

    11、)填空项 1:_ (正确答案:y=C 1e3x+C2ex-2e2x)解析:齐次方程特征方程为 r2-4r+3=0r1=1,r 2=3非齐次特征为 y *=Ae2x代入方程 y“-4y+3y=2e2x得 A=-2,则原方程通解为y=C1e3x+C2ex-2e2x12.微分方程 y“+y=x+cosx 的通解为_(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:特征方程为 r 2+1=0r1,2=iy“+y=x有特解y=x设方程 y“+y=cox 的特征解为y=x(Acosx+Bsinx)代入方程 y“+y=cosx 得*则原方程通解为 *13.已知方程 y“+ay+by=0 的通解为 y=

    12、C1ex+C2e-x,则方程 y“+ay+by=ex满足初始条件 y(0)=0, (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:由 y=C1ex+C2e-x为 y“+ay+by=0 的通解知,特征方程有特征根 r1=1,r 2=-1,特征方程为r2-1=0则 a=0,b=-1设 y“-y=ex的特解为y*=Axex代入方程 y“-y=ex得 *则方程 y“-y=ex的通解为 *由 y(0)=0,*知*,则*三、解答题(总题数:12,分数:60.00)14.求微分方程 x2y+xy=y2满足初始条件 y(1)=1 的特解(分数:5.00)_正确答案:(由 x2y+xy=y2得*令*由

    13、y(1)=1 知,*)解析:15.求微分方程(3x 2+2xy-y2)dx+(x2-2xy)dy=0 的通解(分数:5.00)_正确答案:(xy 2-x2y-x3=C)解析:16.求微分方程 (分数:5.00)_正确答案:(由*得*即 *)解析:17.求微分方程 y“-3y+2y=xex的通解(分数:5.00)_正确答案:(*)解析:18.求微分方程 y“+3y+2y=e-x+sinx 的通解(分数:5.00)_正确答案:(齐次方程特征方程为 r 2+3r+2=0特征根为 r 1=-2,r 2=-1设 y“+3y+2y=e-x特解为 y1*=Axe-x,代入该方程得 A=1设方程 y“+3y+

    14、2y=sinx 的特解为 y=Acosx+Bsinx,代入该方程得 *则原方程通解为*)解析:19.设函数 f(x)连续且满足 (分数:5.00)_正确答案:(*)解析:20.设 (分数:5.00)_正确答案:(*上式两端求导得*f“(x)=ex+f(x)f“(x)-f(x)-f(x)=ex特征方程 r 2-1=0,r 1=1,r 2=-1设非齐次特解为 y*=Axex代入方程得*,则*由 f(0)=1,f(0)=1 知*则 *)解析:21.设 x=f(r)(r0)有二阶连续导数, ,(分数:5.00)_正确答案:(f(r)=C 1er+C2e-r-2-r2)解析:22.设 f(t)为连续函数

    15、,且 (分数:5.00)_正确答案:(*由 f(0)=0 知 C=2,f(t)=2e t-t2-2t-2)解析:23.设曲线 L 位于 xoy 平面的第一象限内,L 上任一点 M 处的切线与 y 轴总相交,交点记为 A,已知|=| |,且 L 过点 (分数:5.00)_正确答案:(*)解析:24.设函数 f(x)在1,+)上连续,若由曲线 y=f(x),直线 x=1,x=t(t1)与 x 轴围成平面图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为试求 y=f(x)所满足的微分方程,并求该微分方程满足条件 (分数:5.00)_正确答案:(由题设知*即 * 两端对 t 求导得3f2(t)=2tf(t)+

    16、t2f(t)记 y=f(x),则x2y=3y2-2xy*令*,解 *y-x=Cx3y,由*知,C=-1*)解析:25.函数 f(x)在0,+)上可导,f(0)=1,且满足等式(分数:5.00)_正确答案:(1)由 *得*等式两端对 x 求导得 (x+1)f“(x)+(x+2)f(x)=0令 f(x)=u,则*,解之得*由 f(0)=1,及 f(0)+f(0)=0 知 f(0)=-1,则 C=-1,*(2)当 x0 时,f(x)0,f(x)单调减,又 f(0)=1,则 f(x)f(0)=1令 (x)=f(x)-e -x,则 (0)=0,*(x)单调增,(x)(0)=0,故当 x0 时,e -xf(x)1)解析:


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