【考研类试卷】考研数学二-406 (1)及答案解析.doc

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1、考研数学二-406 (1)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：4，分数：8.00)1.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 -2x 2 )2+4x 2 x 3 的矩阵为 1 （分数：2.00）2.设 （分数：2.00）3.设二次型 （分数：2.00）4.设 （分数：2.00）二、选择题(总题数：9，分数：27.00)5.设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则_ A存在可逆矩阵 P 1 ，P 2 ，使得 为对角矩阵 B存在正交矩阵 Q 1 ，Q 2 ，使得 （分数：3.00）A.B.C.D.6.n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是_（分数：

2、3.00）A.A 无负特征值B.A 是满秩矩阵C.A 的每个特征值都是单值D.A*是正定矩阵7.下列说法正确的是_（分数：3.00）A.任一个二次型的标准形是唯一的B.若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同C.若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型D.二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的8.设 A 为可逆的实对称矩阵，则二次型 X T AX 与 X T A -1 X_（分数：3.00）A.规范形与标准形都不一定相同B.规范形相同但标准形不一定相同C.标准形相同但规范形不一定相同D.规范形和标准形都相同9.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵合同，则 A 是

3、_（分数：3.00）A.可逆矩阵B.实对称矩阵C.正定矩阵D.正交矩阵10.设 A，B 都是 n 阶矩阵，且存在可逆矩阵 P，使得 AP=B，则_（分数：3.00）A.A，B 合同B.A，B 相似C.方程组 AX=0 与 BX=0 同解D.rA=rB11.设 A，B 为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充分必要条件是_（分数：3.00）A.rA=rBB.|A|=|B|C.ABD.A，B 与同一个实对称矩阵合同12.设 （分数：3.00）A.相似且合同B.相似不合同C.合同不相似D.不合同也不相似13.设 A，B 为三阶矩阵，且特征值均为-2，1，1，以下命题： (1)AB；(2)A，B

4、 合同；(3)A，B 等价；(4)|A|=|B|中正确的命题个数为_（分数：3.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个三、解答题(总题数：14，分数：65.00)14.用配方法化二次型 （分数：3.00）_15.用配方法化二次型 （分数：3.00）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX，A 的主对角线上元素之和为 3，又 AB+B=O，其中（分数：6.00）(1).求正交变换 X=QY 将二次型化为标准形；（分数：3.00）_(2).求矩阵 A（分数：3.00）_16.用正交变换法化二次型 （分数：3.00）_设二次型 （分数：6.00）(1).求 a（分数：3.

5、00）_(2).用正交变换法化二次型为标准形（分数：3.00）_设 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r，且满足 A 2 =A(A 称为幂等阵) 求：（分数：6.00）(1).二次型 X T AX 的标准形（分数：3.00）_(2).|E+A+A 2 +A n |的值（分数：3.00）_设 A 为 n 阶实对称可逆矩阵， （分数：6.00）(1).记 X=(x 1 ，x 2 ，x n ) T ，把二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )写成矩阵形式；（分数：3.00）_(2).二次型 g(x)=X T AX 是否与 f(x 1 ，x 2 ，x n )合同?（分数：3.00）_设 A 是三阶实对称

6、矩阵，且 A 2 +2A=O，rA=2（分数：6.00）(1).求 A 的全部特征值；（分数：3.00）_(2).当 k 为何值时，A+kE 为正定矩阵?（分数：3.00）_17.设二次型 （分数：3.00）_18.设 A 是 n 阶正定矩阵，证明：|E+A|1 （分数：3.00）_19.用配方法化下列二次型为标准形： （分数：3.00）_20.用配方法化下列二次型为标准形： f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +6x 2 x 3 （分数：3.00）_二次型 经过正交变换化为标准形 （分数：8.00）(1).常数 a，b（分数：4.00）_(2).正交变换

7、的矩阵 Q（分数：4.00）_设 为正定矩阵，令 （分数：6.00）(1).求 P T CP（分数：3.00）_(2).证明：D-BA -1 B T 为正定矩阵（分数：3.00）_考研数学二-406 (1)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：4，分数：8.00)1.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 -2x 2 )2+4x 2 x 3 的矩阵为 1 （分数：2.00）解析：解析 因为 ，所以2.设 （分数：2.00）解析： 解析 令 3 = 3 ， 正交规范化的向量组为 3.设二次型 （分数：2.00）解析：解析 该二次型的矩阵为 ，因为该

8、二次型的秩为 2，所以|A|=0，解得 4.设 （分数：2.00）解析：t2解析 二次型的矩阵为 ，因为二次型为正定二次型，所以有 50，二、选择题(总题数：9，分数：27.00)5.设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则_ A存在可逆矩阵 P 1 ，P 2 ，使得 为对角矩阵 B存在正交矩阵 Q 1 ，Q 2 ，使得 （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B，选 D6.n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是_（分数：3.00）A.A 无负特征值B.A 是满秩矩阵C.A 的每个特征值都是单值D.A*

9、是正定矩阵 解析：解析 A 正定的充分必要条件是 A 的特征值都是正数，A 不对； 若 A 为正定矩阵，则 A 一定是满秩矩阵，但 A 是满秩矩阵只能保证 A 的特征值都是非零常数，不能保证都是正数，B 不对； C 既不是充分条件又不是必要条件； 显然 D 既是充分条件又是必要条件7.下列说法正确的是_（分数：3.00）A.任一个二次型的标准形是唯一的B.若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同C.若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型D.二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的 解析：解析 A 不对，如 f=x 1 x 2 ，令 ，则 ；若令 则 8.设

10、 A 为可逆的实对称矩阵，则二次型 X T AX 与 X T A -1 X_（分数：3.00）A.规范形与标准形都不一定相同B.规范形相同但标准形不一定相同 C.标准形相同但规范形不一定相同D.规范形和标准形都相同解析：解析 因为 A 与 A -1 合同，所以 X T AX 与 X T A -1 X 规范形相同，但标准形不一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形，选 B9.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵合同，则 A 是_（分数：3.00）A.可逆矩阵B.实对称矩阵 C.正定矩阵D.正交矩阵解析：解析 因为 A 与对角阵 A 合同，所以存在可逆矩阵 P，使得 P T AP=A，从而 A=(P

11、T ) -1 AP -1 =(P -1 ) T AP -1 ，A T =(P -1 ) T AP -1 T =(P -1 ) T AP -1 =A，选 B10.设 A，B 都是 n 阶矩阵，且存在可逆矩阵 P，使得 AP=B，则_（分数：3.00）A.A，B 合同B.A，B 相似C.方程组 AX=0 与 BX=0 同解D.rA=rB 解析：解析 因为 P 可逆，所以 rA=rB，选 D11.设 A，B 为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充分必要条件是_（分数：3.00）A.rA=rBB.|A|=|B|C.ABD.A，B 与同一个实对称矩阵合同 解析：解析 因为 A，B 与同一个实对称

12、矩阵合同，则 A，B 合同，反之若 A，B 合同，则 A，B 的正负惯性指数相同，从而 A，B 与12.设 （分数：3.00）A.相似且合同B.相似不合同C.合同不相似 D.不合同也不相似解析：解析 由|E-A|=0 得 A 的特征值为 1，3，-5，由|E-B|=0 得 B 的特征值为 1，1，-1，所以 A与 B 合同但不相似，选 C13.设 A，B 为三阶矩阵，且特征值均为-2，1，1，以下命题： (1)AB；(2)A，B 合同；(3)A，B 等价；(4)|A|=|B|中正确的命题个数为_（分数：3.00）A.1 个B.2 个 C.3 个D.4 个解析：解析 因为 A，B 的特征值为-2

13、，1，1所以|A|=|B|=-2，又因为 rA=rB=3，所以 A，B 等价，但A，B 不一定相似或合同，选 B三、解答题(总题数：14，分数：65.00)14.用配方法化二次型 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 ，即 X=PY，其中 则15.用配方法化二次型 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 ， 令 或 ，即 X=PY，其中 则 设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX，A 的主对角线上元素之和为 3，又 AB+B=O，其中（分数：6.00）(1).求正交变换 X=QY 将二次型化为标准形；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 AB+B=O

14、 得(E+A)B=O，从而 r(E+A)+rB3， 因为 rB=2，所以 r(E+A)1，从而 =-1 为 A 的特征值且不低于 2 重，显然 =-1 不可能为三重特征值，则 A 的特征值为 1 = 2 =-1， 3 =5 由(E+A)B=O 得 B 的列组为(E+A)X=0 的解， 故 为 1 = 2 =-1 对应的线性无关解 令 为 3 =5 对应的特征向量， 因为 A T =A，所以 ，即 ，解得 令 ，规范化得 令 Q=( 1 ， 2 ， 3 )，则 (2).求矩阵 A（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 得16.用正交变换法化二次型 （分数：3.00）_正确答案：()解析：

15、解 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX，其中 由 得 1 =-3， 2 = 3 =3 由(-3E-A)X=0 得 1 =-3 对应的线性无关的特征向量为 由(3E-A)X=0 得 2 = 3 =3 对应的线性无关的特征向量为 将 2 ， 3 正交化得 ，单位化得 令 则 设二次型 （分数：6.00）(1).求 a（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 (2).用正交变换法化二次型为标准形（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 ，由|E-A|=0 得 1 = 2 =2， 3 =0 当 =2 时，由(2E-A)X=0 得 =2 对应的线性无关的特征向量为 当 =0 时，由(0

16、E-A)X=0 得 =0 对应的线性无关的特征向量为 因为 1 ， 2 两两正交，单位化得 令 ，则 设 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r，且满足 A 2 =A(A 称为幂等阵) 求：（分数：6.00）(1).二次型 X T AX 的标准形（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 A 2 =A，所以|A|E-A|=0，即 A 的特征值为 0 或者 1， 因为 A 为实对称矩阵，所以 A 可对角化，由 rA=r 得 A 的特征值为 =1(r 重)，=0(n-r 重)，则二次型 X T AX 的标准形为 (2).|E+A+A 2 +A n |的值（分数：3.00）_正确答案：()解析：解

17、令 B=E+A+A 2 +A n ，则 B 的特征值为 =n+1(r 重)，=1(n-r 重)，故|E+A+A 2 +A n |=|B|=(n+1) r 设 A 为 n 阶实对称可逆矩阵， （分数：6.00）(1).记 X=(x 1 ，x 2 ，x n ) T ，把二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )写成矩阵形式；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 rA=n，所以|A|0，于是 (2).二次型 g(x)=X T AX 是否与 f(x 1 ，x 2 ，x n )合同?（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 A 可逆，所以 A 的 n 个特征值都不是零，而 A 与 A

18、 -1 合同，故二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )与 g(X)=X T AX 规范合同设 A 是三阶实对称矩阵，且 A 2 +2A=O，rA=2（分数：6.00）(1).求 A 的全部特征值；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 A 2 +2A=O 得 rA+r(A+2E)=3，从而 A 的特征值为 0 或一 2，因为 A 是实对称矩阵且 rA=2，所以 1 =0， 2 = 3 =-2(2).当 k 为何值时，A+kE 为正定矩阵?（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 A+kE 的特征值为 k，k-2，k-2，当 k2 时，A+kE 为正定矩阵17.设二次型 （分数：3

19、.00）_正确答案：()解析：解 二次型的矩阵为 ，因为该二次型为正定二次型，所以有 解得18.设 A 是 n 阶正定矩阵，证明：|E+A|1 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 方法一 因为 A 是正定矩阵，所以存在正交阵 Q，使得 其中 1 0， 2 0， n 0，因此 19.用配方法化下列二次型为标准形： （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 ，则 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX， 令 ，或 设 ，显然 P 可逆， 且 20.用配方法化下列二次型为标准形： f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +6x 2 x 3

20、（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 ，或 X=P 1 Y，其中 且 P 1 可逆， 则 再令 ，即 ，或 Y=P 2 Z， 其中 且 P 2 可逆， 令 ，P 可逆，且 二次型 经过正交变换化为标准形 （分数：8.00）(1).常数 a，b（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 ，则 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX，矩阵 A 的特征值为 1 =5， 2 =b， 3 =-4， 由 得 ，解得 从而 (2).正交变换的矩阵 Q（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 将 1 = 2 =5 代入(AE-A)X=0，即(5E-A)X=0， 由 得 1 = 2 =5 对应的线性无关的特征向量为 将 3 =-4 代入(E-A)X=0，即(4E+A)X=0， 由 得 3 =-4 对应的线性无关的特征向量为 令 单位化得 所求的正交变换矩阵为 设 为正定矩阵，令 （分数：6.00）(1).求 P T CP（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 为正定矩阵，所以 A T =A，D T =D， (2).证明：D-BA -1 B T 为正定矩阵（分数：3.00）_正确答案：()解析：因为 C 与 合同，且 C 为正定矩阵，所以