【考研类试卷】考研数学二-403 (1)及答案解析.doc
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1、考研数学二-403 (1)及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、填空题(总题数:8,分数:16.00)1.设 (分数:2.00)2.设 A 为 n 阶矩阵,A 的各行元素之和为 0 且 rA=n-1,则方程组 AX=0 的通解为 1 (分数:2.00)3.设 A 为 n 阶矩阵,且|A|=0,A ki 0,则 AX=0 的通解为 1 (分数:2.00)4.设 1 , s 是非齐次线性方程组 AX=b 的一组解,则 k 1 1 +k s s 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 1 (分数:2.00)5.设 BO 为三阶矩阵,且矩阵 B 的每个列向量为方程组 (分数:2.
2、00)6.设 1 , 2 , 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量,rA=3,且 (分数:2.00)7.设方程组 (分数:2.00)8.设方程组 (分数:2.00)二、选择题(总题数:5,分数:15.00)9.设 A 是 mn 阶矩阵,下列命题正确的是_(分数:3.00)A.若方程组 AX=0 只有零解,则方程组 AX=b 有唯一解B.若方程组 AX=0 有非零解,则方程组 AX=b 有无穷多个解C.若方程组 AX=b 无解,则方程组 AX=0 一定有非零解D.若方程组 AX=b 有无穷多个解,则方程组 AX=0 一定有非零解10.设 A 是 mn 阶矩阵,则下列命题正确的是_(
3、分数:3.00)A.若 mn,则方程组 AX=b 一定有无穷多个解B.若 mn,则方程组 AX=b 一定有唯一解C.若 rA=n,则方程组 AX=b 一定有唯一解D.若 rA=m,则方程组 AX=b 一定有解11.设 1 , 2 , 3 , 4 为四维非零列向量组,令 A=( 1 , 2 , 3 , 4 ),AX=0 的通解为 X=k(0,-1,3,0) T ,则 A*X=0 的基础解系为_(分数:3.00)A.1,3B.2,3,4C.1,2,4D.3,412.设向量组 1 , 2 , 3 为方程组 AX=0 的一个基础解系,下列向量组中也是方程组 AX=0 的基础解系的是_(分数:3.00)
4、A.1+2,2+3,3-1B.1+2,2+3,1+22+3C.1+22,22+33,33+1D.1+2+3,21-32+223,31+52-5313.设 1 , 2 为齐次线性方程组 AX=0 的基础解系, 1 , 2 为非齐次线性方程组 AX=b 的两个不同解,则方程组 AX=b 的通解为_ A B C D (分数:3.00)A.B.C.D.三、解答题(总题数:15,分数:69.00)14.求方程组 (分数:3.50)_15.参数 a 取何值时,线性方程组 (分数:3.50)_16.设 为 (分数:3.50)_17. (分数:3.50)_18.设 1 , 2 , 3 为四维列向量组, 1 ,
5、 2 线性无关, 3 =3 1 +2 2 ,A=( 1 , 2 , 3 ),求 AX=0 的一个基础解系 (分数:3.50)_19.设 A 是 34 阶矩阵且 rA=1,设(1,-2,1,2) T ,(1,0,5,2) T ,(-1,2,0,1) T ,(2,-4,3,a+1) T 皆为 AX=0 的解(1)求常数 a;(2)求方程组 AX=0 的通解 (分数:3.50)_20.设 A=( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ),其中 1 , 2 , 5 线性无关,且 2 =3 1 - 3 - 5 , 4 =2 1 + 3 +6 5 ,求方程组 AX=0 的通解 (分数:3.50)_21.四元
6、非齐次线性方程组 AX=b 有三个解向量 1 , 2 , 3 且 rA=3,设 (分数:3.50)_22.A nn =( 1 , 2 , n ),B nn =( 1 + 2 , 2 + 3 , n + 1 ),当 rA=n 时,方程组 BX=0 是否有非零解? (分数:3.50)_设 (分数:7.00)(1).a,b 为何值时, 不能表示为 1 , 2 , 3 , 4 的线性组合?(分数:3.50)_(2).a,b 为何值时, 可唯一表示为 1 , 2 , 3 , 4 的线性组合?(分数:3.50)_设 n 阶矩阵 A=( 1 , 2 , n )的前 n-1 个列向量线性相关,后 n-1 个列
7、向量线性无关,且 1 +2 2 +(n-1) n-1 =0,b= 1 + 2 + n(分数:7.00)(1).证明方程组 AX=b 有无穷多个解;(分数:3.50)_(2).求方程组 AX=b 的通解(分数:3.50)_23.设 (分数:3.50)_24.就 a,b 的不同取值,讨论方程组 (分数:3.50)_设 (分数:11.00)(1).若 a i a j (ij),求 A T x=b 的解;(分数:5.50)_(2).若 a 1 =a 3 =a0,a 2 =a 4 =-a,求 A T X=b 的通解(分数:5.50)_25.设向量组 1 , 2 , s 为齐次线性方程组 AX=0 的一个
8、基础解系,A0证明:齐次线性方程组 BY=0 只有零解,其中 B=(,+ 1 ,+ s ) (分数:5.50)_考研数学二-403 (1)答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、填空题(总题数:8,分数:16.00)1.设 (分数:2.00)解析: (C 1 ,C 2 为任意常数) 解析 因为 AX=0 有非零解,所以|A|=0, 而 且 a0,所以 a=-4 因为 rA=2,所以 r(A*)=1 因为 A*A=|A|E=O,所以 A 的列向量组为 A*X=0 的解, 故 A*X=0 的通解为 2.设 A 为 n 阶矩阵,A 的各行元素之和为 0 且 rA=n-1,则方程组 A
9、X=0 的通解为 1 (分数:2.00)解析: (其中 k 为任意常数) 解析 k(1,1,1) T ,其中 k 为任意常数因为 A 的各行元素之和为零,所以 又因为 rA=n-1,所以 为方程组 AX=0 的基础解系,从而通解为 3.设 A 为 n 阶矩阵,且|A|=0,A ki 0,则 AX=0 的通解为 1 (分数:2.00)解析:C(A k1 ,A k2 ,A ki ,A kn ) T (C 为任意常数) 解析 因为|A|=0,所以 rAn,又因为 A ki 0,所以 r(A*)1,从而 rA=n-1,AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量,又AA*=|A|E=O,所以 A*的列
10、向量为方程组 AX=0 的解向量,故 AX=0 的通解为 C(A k1 ,A k2 ,A ki ,A kn ) T (C 为任意常数)4.设 1 , s 是非齐次线性方程组 AX=b 的一组解,则 k 1 1 +k s s 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 1 (分数:2.00)解析:k 1 +k 2 +k s =1 解析 k 1 ,k 2 ,k s =1显然 k 1 1 +k 2 2 +k s s 为方程 AX=b 的解的充分必要条件是 A(k 1 1 +k 2 2 +k s s )=b,因为 A 1 =A 2 =A s =b,所以(k 1 +k 2 +k s )b=b,注意到 b0
11、,所以 k 1 +k 2 +k s =1,即 k 1 1 +k 2 2 +k s s 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 k 1 +k 2 +k s =15.设 BO 为三阶矩阵,且矩阵 B 的每个列向量为方程组 (分数:2.00)解析:解析 令6.设 1 , 2 , 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量,rA=3,且 (分数:2.00)解析:(k 为任意常数)解析 因为 rA=3,所以方程组 AX=b 的通解为 k+,其中 ,于是方程组的通解为 (k 为任意常数)7.设方程组 (分数:2.00)解析:-1 解析 因为方程组无解,所以 ,于是 rA3,即|A|=0由|A|=
12、3+2a-a 2 =0,得 a=-1或 a=3当 a=3 时,因为 ,所以方程组有无穷多个解; 当 a=-1 时, ,因为 8.设方程组 (分数:2.00)解析: 1 + 2 + 3 + 4 =0 解析 因为原方程组有解,所以 二、选择题(总题数:5,分数:15.00)9.设 A 是 mn 阶矩阵,下列命题正确的是_(分数:3.00)A.若方程组 AX=0 只有零解,则方程组 AX=b 有唯一解B.若方程组 AX=0 有非零解,则方程组 AX=b 有无穷多个解C.若方程组 AX=b 无解,则方程组 AX=0 一定有非零解D.若方程组 AX=b 有无穷多个解,则方程组 AX=0 一定有非零解 解
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