【考研类试卷】考研数学二-182及答案解析.doc

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1、考研数学二-182 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)有一阶连续导数，且 f(0)=0，f(0)=1，则 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(t)连续，则 ( )（分数：4.00）A.B.C.D.3.若在0，1上有 f(0)=g(o)=0，f(1)=g(1)=a0，且 f“(x)0，g“(x)0，则的大小关系是( )（分数：4.00）A.I1I 2I 3B.I3I 2I 1C.I2I 3I 1D.I2I 1I 34.设函数 （分数：4.00）A.B.C.D.5.已知 x=0 是函数 （分数：4.00）A.B

2、.C.D.6.设四阶方阵 A= 1， 2， 3， 4，B= 4， 3， 2， 1，其中 1， 2， 3， 4均为 4 维列向量，A 可逆，且|A|=1，又设 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设函数 f(x)在点 x=0 的某邻域内具有连续的二阶导数，且 f“(0)=f(0)=0，则( )（分数：4.00）A.点 x=0 为 f(x)的零点B.点 x=0 为 f(x)的极值点C.当D.当8.设 A 为 mn 矩阵，B 为 nP 矩阵，则矩阵方程 AX=B 有解的充分必要条件是( )（分数：4.00）A.r(A)=rB.(B) r(A)=r(A C.r(B)=r(AD.r二、填空题(总题数：

3、6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 则 （分数：4.00）填空项 1:_11.方程 xy“+y=4x 的通解为 y=_。（分数：4.00）填空项 1:_12.已知曲线 y=f(x)在点(1，0)处的切线在 y 轴上的截距为-1，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 D:0x1，0y1， （分数：4.00）_14.设实方阵 A=(aij)44满足 aij=Aij(Aij为 aij的代数余子式，i,j=1，2，3，4)，a 44=-1，则 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 （分数：10.00）_16.设函

4、数 (x)在0，1上可导，并有（分数：11.00）_已知曲线 y=f(x)(x0)是微分方程 2y“+y-y=(4-6x)e-x的一条积分曲线，此曲线通过原点，且在原点处的切线斜率为 0。试求：（分数：10.00）(1).曲线 y=f(x)到 x 轴的最大距离；（分数：5.00）_(2). （分数：5.00）_17.已知函数 z=z(x，y)满足设对函数 =(u，v)，求证 （分数：10.00）_18.设 f(x，y)=3x+4y-ax 2-2ay2-2bxy，试问参数 a，b 满足什么条件时，f(x，y)有唯一的极大值?参数a，b 满足什么条件时，f(x，y)有唯一的极小值?（分数：11.0

5、0）_19.设 f(x)在0，+)上可导且 证明：存在 0，使（分数：10.00）_20.设 f(x)在(a，b)内可导，x 1与 x2是(a，b)内的两点，g(x)由下式定义：（分数：10.00）_设 ， 为三维单位列向量，并且 T=0，记 A= T+ T，证明：（分数：11.00）(1).齐次线性方程组 Ax=0 有非零解；（分数：5.50）_(2).A 相似于矩阵 （分数：5.50）_21.已知 （分数：11.00）_考研数学二-182 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)有一阶连续导数，且 f(0)=0，f(0)

6、=1，则 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 令*则*故*故应选(C)。2.设 f(t)连续，则 ( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 *故应选(B)。3.若在0，1上有 f(0)=g(o)=0，f(1)=g(1)=a0，且 f“(x)0，g“(x)0，则的大小关系是( )（分数：4.00）A.I1I 2I 3B.I3I 2I 1C.I2I 3I 1 D.I2I 1I 3解析：详解 由 f“(x)0，g“(x)0 知，f(x)，g(x)在区间0，1上分别是凹、凸曲线弧，所以*即I2I 3I 1，故应选(C)。4.设函数 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：详解

7、 由*知 x=0 为 f(x)的无穷间断点。由*知 x=1 为跳跃间断点，故应选(A)。5.已知 x=0 是函数 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 由已知极限*存在，可得 a，b 的取值。详解 由所给条件：*存在。因*存在*b-1，故应选(D)。评注 若*6.设四阶方阵 A= 1， 2， 3， 4，B= 4， 3， 2， 1，其中 1， 2， 3， 4均为 4 维列向量，A 可逆，且|A|=1，又设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 显然矩阵 B 是经 A 的列重排后所得的矩阵，而 P1 是交换 E 的第 1、4 两列后所得的初等矩阵，P 2是交换 E 的第 2、3

8、 列后所得的初等矩阵，于是 B=AP2P1，从而B*=|B|-1|B|=| 4， 3， 2， 1|=-| 1， 3， 2， 4|=| 1， 2， 3， 4|=|A|=1*于是*故应选(C)。7.设函数 f(x)在点 x=0 的某邻域内具有连续的二阶导数，且 f“(0)=f(0)=0，则( )（分数：4.00）A.点 x=0 为 f(x)的零点B.点 x=0 为 f(x)的极值点C.当D.当 解析：详解 由*当 x(0，)时，*即 f“(x)与 sinax 同号，因此，当 x(-，0)时，f“(x)0；当 x(0；)时，f“(x)0，故(0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点，故应选(D)。8.

9、设 A 为 mn 矩阵，B 为 nP 矩阵，则矩阵方程 AX=B 有解的充分必要条件是( )（分数：4.00）A.r(A)=rB.(B) r(A)=r(A C.r(B)=r(AD.r解析：详解 设 A= 1， 2， n，X=x 1，x 2，x p，B= 1， 2， p，则矩阵方程 AX=B 有解*二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1，-1）解析：分析 可导必连续，由 f(0-0)=f(0+0)=f(0)，f(0)=f+(0)，可得 a，b 的取值。详解 f(x)在,x=0 处可导，则 f(x)在 x=0 处连续*f(0+0)=f(0

10、-0)=f(0)，而*评注 本题主要考查函数在一点连续、可导的概念。10.设 则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 应注意这里 f(x)与*的含义是不同的，它们在本题中不相等，应该把 f(x)=*中的 x理解为中间变量，即*详解 设*则 y=f(u)，故*11.方程 xy“+y=4x 的通解为 y=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x 2+C1ln|x|+C2）解析：分析 此为不显含 y 的可降阶方程，可令 y=p，y“=p详解 令 y=P，原方程化为：*解此方程*即*此方程的解为y=x2+C1ln|x|+C2评注 考研数学二要求掌握下述三类可降阶方

11、程的解法：(1) y(n)=f(x)；(2) y“=f(x，y)；(3) y“=f(y，y)12.已知曲线 y=f(x)在点(1，0)处的切线在 y 轴上的截距为-1，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e）解析：详解 由题设，f(1)=0，曲线 y=f(x)过点(1，0)的切线方程为y=f(1)(x-1)，且 x=0 时，y=-1，从而有 f(1)=1于是*13.设 D:0x1，0y1， （分数：4.00）_解析：详解 设 D1=(x，y)|xy，(x，y)D14.设实方阵 A=(aij)44满足 aij=Aij(Aij为 aij的代数余子式，i,j=1，2，3，4)，a 44

12、=-1，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(0，0，0，-1) T）解析：详解 由题设，A T=A*，于是|A|=|AT|=|A*|=|A|4-1，|A|(1-|A| 2)=0，由此得 |A|=0 或1将|A|按第 4 行展开，并注意 a44=-1，得*于是 |A|=1且有 a 4-j=0(i=1，2，3)，同理 a i4=0(i=1，2，3)，从而*的解为*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 （分数：10.00）_正确答案：(因为 f(0-0)=c，f(0+0)=0，f(0)=c，因 f(x)在 x=0 连续，所以 c=0。*所以 b=1，且*因 f(0-0)

13、=1，f(0+0)=1，f(0)=1，所以 b=1，c=0 时，f(x)在 x=0 处连续。*所以 2a-1，即*时，f(x)在 x=0 处二阶不可导。综上所述，a*，b=1，c=0 为所求之值。)解析：16.设函数 (x)在0，1上可导，并有（分数：11.00）_正确答案：(令 tx=u，则*故*两边对 x 求导，得(x)=a(x)+ax(x)，于是，有 ax(x)=(1-a)(x)，可见，若 a=0，则 (x)*0；若 a0，则*如果 a1，有*知*C 为任意常数。如果 a=1，有 (x)=C)解析：已知曲线 y=f(x)(x0)是微分方程 2y“+y-y=(4-6x)e-x的一条积分曲线

14、，此曲线通过原点，且在原点处的切线斜率为 0。试求：（分数：10.00）(1).曲线 y=f(x)到 x 轴的最大距离；（分数：5.00）_正确答案：(求 y=f(x)到 x 轴的最大距离。y=x2e-x到 x 轴的距离，即为f(x)=x2e-x，f(x)=2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x令 f(x)=0，得驻点 x=0(舍去，x0)，x=2f“(x)=2e-x-2xe-x-2xe-x+x2e-x=(2-4x+x2)e-x，f“(2)=-2e-20，故 x=2 为 x0 时 f(x)唯一的极大值点，因此是 f(x)的最大值点，故曲线到 x 轴的最大距离为 f(2)=4e-2。)解析：

15、(2). （分数：5.00）_正确答案：(*)解析：详解 对应的齐次方程的特征方程 2 2+-1=0* 1=-1，*于是齐次方程的通解为*令非齐次方程的特解为 y *=x(a+bx)e-x，代入方程得 b=1，a=0，故方程的特解 y *=x2e-x，故非齐次方程的通解*由初始条件：f(0)=0，f(0)=0，得：C1=0，C 2=0，y=x 2e-x。评注 将微分方程求解与几何求极值结合的方法来解这种综合题，是考研的常见解题方法。分析 先解方程得 f(x)的表达式，求曲线 y=f(x)到 x 轴的最大距离，实际上是求 f(x)的最大值。17.已知函数 z=z(x，y)满足设对函数 =(u，v

16、)，求证 （分数：10.00）_正确答案：(由*解得*这样*便是 u，v 的复合函数，对 u 求偏导数得*利用*和 z(x，y)满足等式，有*)解析：分析 本题实质上是二元复合函数求偏导数的问题，反解出 x，y 作为 u，v 的函数即可。18.设 f(x，y)=3x+4y-ax 2-2ay2-2bxy，试问参数 a，b 满足什么条件时，f(x，y)有唯一的极大值?参数a，b 满足什么条件时，f(x，y)有唯一的极小值?（分数：11.00）_正确答案：(由极值的必要条件，得方程组*即*当 8a2-4b20 时，f(x，y)有唯一驻点*记*当 AC-B2=8a2-4b20，即 2a2-b20 时，

17、f(x，y)有极值。当 A=-2a0，即 a0 时，有极小值；当 A=-2a0，即 a0 时，有极大值。综上所述，得当 2a2-b20 且 a0 时，有唯一极小值；当 2a2-b20 且 a0 时，有唯一极大值。)解析：19.设 f(x)在0，+)上可导且 证明：存在 0，使（分数：10.00）_正确答案：(设*由*易知 f(0)=0；又因为*即*所以，有*由题设有*若 F(x)*0，则 F(x)*0，即对任意的 x0，有*若 F(x)0，则必存在 a(0a+)使 F(a)0，由 f(x)在0，+)上可导知 f(x)在0，+)上连续，又由连续函数的介值定理知，必存在点 b 和点 c，使F(a)

18、F(b)=F(c)0 (0bac+)我们对 F(x)在b，c施用罗尔定理，则必存在点 (0bc)，使*即存在 0，使*)解析：分析 欲证明的等式可化为*将上式左方视为某函数 F(x)的导函数 F(x)，于是欲证结论为：“存在 0，使 F(x)=0，”这不禁使人想到罗尔定理，所以我们努力的方向是：寻找一个 F(x)，在核实条件的基础上施用罗尔定理。不难发现，如此的 F(x)可取*如果这点看不出，可以通过如下计算*确定某个 F(x)。20.设 f(x)在(a，b)内可导，x 1与 x2是(a，b)内的两点，g(x)由下式定义：（分数：10.00）_正确答案：(不妨设*知*可见 g(x)在x 1，x

19、 2上连续。令 h(x)=g(x)-( 介于 f(x1)与 g(x2)之间)，由零点存在定理，知*(x 1，x 2)使 h()=g()-=0，即*又因为 f(x)在x 1，*x 1，x 2上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在 (x 1，)*(x 1，x 2)，使*)解析：设 ， 为三维单位列向量，并且 T=0，记 A= T+ T，证明：（分数：11.00）(1).齐次线性方程组 Ax=0 有非零解；（分数：5.50）_正确答案：(因为 A 为 3 阶方阵，且 r( T)=1，r( T)=1，于是r(A)=r( T+ T)r( T)+r( T)=23故 Ax=0 有非零解。)解析：(2).A 相

20、似于矩阵 （分数：5.50）_正确答案：(由()知|A|=0，从而 A 有零特征值 1=0，Ax=0 的非零解 x0即为 1=0 对应的特征向量。又 A=( T+ T)=( T)+( T)=+0=，A=( T+ T)=( T)+( T)=0+=，且 0，0，故 2=1 为 A 的特征值， 为对应的特征向量，另外，由 T=0 可知 ， 为两个正交的非零向量，从而线性无关，所以，x 0为 A 的 3 个线性无关的特征向量， 2=1 为 A 的2 重特征值， 1=0 为 A 的单重特征值，记 P=(，x 0)，则*即 A 相似于矩阵*)解析：21.已知 （分数：11.00）_正确答案：(因为|E-B|=*=(-1)(-2)(+1)，故 B 的特征值为 1=1， 2=2， 3=-1，从而 B 可以对角化为 =*分别求 1， 2， 3所对应的特征向量，得*令 P1=( 1， 2， 3)，有 P1-1BP1=A由 AB 得 A，B 有相同特征值，tr(A)=tr(B)，故a+3+(-6)一 1+2+(-1)，即 a=5。再由|E-A|=0，|2E-A|=0 得 b=-2，c=2，于是*分别求 A 的对应于特征值 1，2，-1 的特征向量得*记*则 P 可逆，且 P-1AP=B。)解析：