【考研类试卷】考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷39及答案解析.doc

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1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 39及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 是两个随机事件，且 0P(A)1，P(B)0， （分数：2.00）A.P(AB)=B.P(AB)C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(AB)P(A)P(B)3.某射手的命中率为 p(0P1)，该射手连续射击 n次才命中 k次(kn)的概率为（分数：2.00）A.P k (1一 P) nk B.C n k p k (1一 P) nk C.C n1 k1 p k

2、(1一 P) nk D.C n1 k1 p k1 (1p) nk 4.已知(X，Y)的联合密度函数 f(x，y)=g(x)h(y)，其中 g(x)0，h(y)0，a= g(x)dx，b= h(y)dy存在且不为零，则 X与 Y独立，其密度函数 f X (x)，f Y (y)分别为（分数：2.00）A.f X (x)=g(x)，f Y (y)=h(y)B.f X (x)=ag(x)，f Y (y)=bh(y)C.f X (x)=bg(x)，f Y (y)=ah(y)D.f X (x)=g(x)，f Y (y)=abh(y)5.设随机变量序列 X 1 ，X n ，相互独立，根据辛钦大数定律，当 n

3、一时 （分数：2.00）A.有相同的数学期望B.有相同的方差C.服从同一泊松分布D.服从同一连续型分布，f(x)=6.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自标准正态总体的简单随机样本， （分数：2.00）A.服从标准正态分布B.C.服从标准正态分布D.(n一 1)S 2 服从自由度为 n一 1的 2 分布二、填空题(总题数：11，分数：22.00)7.设随机事件 A，B 满足条件 AC=BC 和 CA=CB，则 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 A、B 是两个随机事件，且 （分数：2.00）填空项 1:_9.已知某自动生产线加工出的产品次品率为 001，检验人员每天检验 8次，每次从已生

4、产出的产品中随意取 10件进行检验，如果发现其中有次品就去调整设备，那么一天至少要调整设备一次的概率为 1(099 80 04475)（分数：2.00）填空项 1:_10.设离散型随机变量 X的概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_11.已知随机变量 X与 Y的联合概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_12.将一颗骰子连续重复掷 4次，以 X表示 4次掷出的点数之和，则根据切比雪夫不等式，P10X18 1（分数：2.00）填空项 1:_13.已知随机变量 X 1 与 X 2 相互独立且分别服从参数为 1 ， 2 的泊松分布，PX 1 +X 2 0=1一 e 1 ，则 E(X 1 +

5、X 2 ) 2 = 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设随机试验成功的概率 p=020，现在将试验独立地重复进行 100次，则试验成功的次数介于 16和 32次之间的概率 = 1（分数：2.00）填空项 1:_15.已知 2 2 (n)，则 E( 2 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_16.假设 X 1 ，X 2 ，X 16 是来自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本， 为其均值，S 为其标准差，如果 P （分数：2.00）填空项 1:_17.已知总体 X服从正态分布 N(， 2 )，X 1 ，X 2n 是来自总体 X容量为 2n的简单随机样本，当 2 未知时，Y= （分数：2.

6、00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：24.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_19.已知袋中有 3个白球 2个黑球，每次从袋中任取一球，记下它的颜色再将其放回，直到记录中出现 4次白球为止，试求抽取次数 X的概率分布（分数：2.00）_20.设随机变量 X的分布函数为 F(x)= 已知 Y= （分数：2.00）_已知随机变量 X的分布函数 F X (x)= （分数：4.00）(1).求 Y的概率密度 f Y (y)；（分数：2.00）_(2).计算 （分数：2.00）_21.设二维离散型随机变量只取(一 1，一 1)，(一 1，0)，(1，一 1)，(1

7、，1)四个值，其相应概率分别为（分数：2.00）_22.设二维随机变量(X，Y)的分布律为 （分数：2.00）_23.设随机变量 X与 Y相互独立，且 X服从参数为 p的几何分布，即 PX=m=pq m1 ，m=1，2，0p1，q=1 一 p，Y 服从标准正态分布 N(0，1)求： ()U=X+Y 的分布函数； ()V=XY的分布函数（分数：2.00）_投篮测试规则为每人最多投三次，投中为止，且第 i次投中得分为(4 一 i)分，i=1，2，3若三次均未投中不得分，假设某人投篮测试中投篮的平均次数为 156 次（分数：4.00）(1).求该人投篮的命中率；（分数：2.00）_(2).求该人投篮

8、的平均得分（分数：2.00）_24.设随机变量 X在区间一 1，1上服从均匀分布，随机变量()Y= （分数：2.00）_设总体 XN(0， 2 )，参数 0 未知，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本(n1)，令估计量 （分数：4.00）(1).求 （分数：2.00）_(2).求方差 （分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 39答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B 是两个随机事件，且 0P(A)1，

9、P(B)0， （分数：2.00）A.P(AB)=B.P(AB)C.P(AB)=P(A)P(B) D.P(AB)P(A)P(B)解析：解析：由题设条件可知，无论事件 A发生与否，事件 B发生的概率都相同，即事件 A的发生与否不影响事件 B发生的概率，因此可以确认 A与 B是相互独立的，应该选(C)3.某射手的命中率为 p(0P1)，该射手连续射击 n次才命中 k次(kn)的概率为（分数：2.00）A.P k (1一 P) nk B.C n k p k (1一 P) nk C.C n1 k1 p k (1一 P) nk D.C n1 k1 p k1 (1p) nk 解析：解析：n 次射击视为 n次

10、重复独立试验，每次射击命中概率为 P，不中概率为 1一 P，设事件A=“射击 n次才命中 k次”=“前 n一 1次有 k一 1次击中，且第 n次也击中”，则 P(A)=C n1 k1 p k1 (1一 P) n1(k1) P=C n1 k1 p k (1一 p) nk ，应选(C)4.已知(X，Y)的联合密度函数 f(x，y)=g(x)h(y)，其中 g(x)0，h(y)0，a= g(x)dx，b= h(y)dy存在且不为零，则 X与 Y独立，其密度函数 f X (x)，f Y (y)分别为（分数：2.00）A.f X (x)=g(x)，f Y (y)=h(y)B.f X (x)=ag(x)，

11、f Y (y)=bh(y)C.f X (x)=bg(x)，f Y (y)=ah(y) D.f X (x)=g(x)，f Y (y)=abh(y)解析：解析：显然我们需要通过联合密度函数计算边缘密度函数来确定正确选项，由于 f X (x)= f(x，y)dy= g(x)h(y)dy=g(x) h(y)dy=bg(x)， f Y (y)= g(x)h(y)dx=ah(y)， 又 1= f(x，y)dxdy= g(x)dx h(y)dy=ab， 所以f(x，y)=g(x)h(y)=abg(x)h(y)=bg(x)ah(y)=f X (x)f Y (y)，X 与 Y独立，故选(C)5.设随机变量序列

12、X 1 ，X n ，相互独立，根据辛钦大数定律，当 n一时 （分数：2.00）A.有相同的数学期望B.有相同的方差C.服从同一泊松分布 D.服从同一连续型分布，f(x)=解析：解析：辛钦大数定律要求：X n ，n1独立同分布且数学期望存在，选项(A)、(B)缺少同分布条件，选项(D)虽然服从同一分布但期望不存在，因此选(C)6.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自标准正态总体的简单随机样本， （分数：2.00）A.服从标准正态分布B.C.服从标准正态分布D.(n一 1)S 2 服从自由度为 n一 1的 2 分布 解析：解析：显然，(n 一 1)S 2 服从自由度为 n一 1的 2 分布，故应

13、选(D)，其余选项不成立是明显的，对于服从标准正态分布的总体， ，由于 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立并且都服从标准正态分布，可见 二、填空题(总题数：11，分数：22.00)7.设随机事件 A，B 满足条件 AC=BC 和 CA=CB，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.设 A、B 是两个随机事件，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据乘法公式 再应用减法公式9.已知某自动生产线加工出的产品次品率为 001，检验人员每天检验 8次，每次从已生产出的产品中随意取 10件进行检验，如果发现其中有次品就去调

14、整设备，那么一天至少要调整设备一次的概率为 1(099 80 04475)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0.55）解析：解析：如果用 X表示每天要调整的次数，那么所求的概率为 P每天至少调整设备一次=PX1=1PX=0，显然 0X8，如果将“检验一次”视为一次试验，那么 X就是 8次试验，事件 A=“10件产品中至少有一件次品”发生的次数，因此 XB(8，p)，其中 p=P(A)，如果用 Y表示 10件产品中次品数，则 YB(10，001)，p=P(A)=PY1=1PY=0 =1 一(1001) 10 =1099 10 所求的概率为PX1=1 一 PX=0=1一(1

15、一 p) 8 =1一 099 80 =10447505510.设离散型随机变量 X的概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 PX=一 2=PY=3X 2 5=PY=3(一 2) 2 5=PY=7=01， PX=一 1=PY=一 2=02，PX=0=PY=一 5=01， PX=1=PY=一 2=03，PX=2=PY=7=02， PX=3=PY=22=01， 因此 Y可能取值为一 5，一 2，7，22，其概率分布为 PY=一 5=01，PY=一 2=02+03=05， PY=7=01+02=03，PY=22=01， 于是 Y=3X 2 5的概率分布

16、为 11.已知随机变量 X与 Y的联合概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：03；01；04；03；）解析：解析：由 01+02+01+02=1 及 PX+Y=1=PX=0，Y=1+PX=1，Y=0=+01=04 解得 =03，=01，于是 PX+Y1= 12.将一颗骰子连续重复掷 4次，以 X表示 4次掷出的点数之和，则根据切比雪夫不等式，P10X18 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：以 X k (k=1，2，3，4)表示第 k次掷出的点数，则 X k 独立同分布：P=X k =i= (i=1，2，6)，所以 EX k

17、= ， DX k =EX k 2 一(EX k ) 2 = 又由于 X=X 1 +X 2 +X 3 +X 4 ，而 X k (k=1，2，3，4)相互独立，所以 EX= 因此，根据切比雪夫不等式，有 P10x18=P一 4x 一 144=Px 一 144=PXEX41 一 13.已知随机变量 X 1 与 X 2 相互独立且分别服从参数为 1 ， 2 的泊松分布，PX 1 +X 2 0=1一 e 1 ，则 E(X 1 +X 2 ) 2 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：已知 X i P( i )且相互独立，所以 EX i =DX i = i ，i=1，

18、2 E(X 1 +X 2 ) 2 =E(X 1 2 +2X 1 X 2 +X 2 2 ) =EX 1 2 +2EX 1 EX 2 +EX 2 2 = 1 + 1 2 +2 1 2 + 2 + 2 2 = 1 + 2 +( 1 + 2 ) 2 为求得最终结果我们需要由已知条件求得 1 + 2 ，因为 PX 1 +X 2 0=1一 PX 1 +X 2 0=1 一 PX 1 +X 2 =0 =1一 PX 1 =0，X 2 =0=1一 PX 1 =0PX 2 =0 =1 一 14.设随机试验成功的概率 p=020，现在将试验独立地重复进行 100次，则试验成功的次数介于 16和 32次之间的概率 =

19、1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：084）解析：解析：以 X表示“在 100次独立重复试验中成功的次数”，则 X服从参数为(n，p)的二项分布，其中 n=100，p=020，且 EX=np=20， =4 由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，知随机变量 U n = 近似服从标准正态分布 N(0，1)，因此试验成功的次数介于 16和 32次之间的概率 =P16X32= 15.已知 2 2 (n)，则 E( 2 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：n）解析：解析：由 2 分布的典型模式 2 =X 1 2 +X 2 2 +X n 2 = ，而 X i N

20、(0，1)，且 X i 相互独立，由于 E(X i 2 )=D(X i )+E(X i ) 2 =1+0=1，所以 E( 2 )= 16.假设 X 1 ，X 2 ，X 16 是来自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本， 为其均值，S 为其标准差，如果 P （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 04383）解析：解析：由于总体 XN(， 2 )，故 与 S 2 独立，由 t分布典型模式得：t= t(15)，所以 17.已知总体 X服从正态分布 N(， 2 )，X 1 ，X 2n 是来自总体 X容量为 2n的简单随机样本，当 2 未知时，Y= （分数：2.00）填空项 1:

21、_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：通过 EY= 2 求得 C，为此需先求得 X 2i X 2i1 分布，由于 X i N(， 2 )，且相互独立， 故 X 2i X 2i1 N(0，2 2 )，E(X 2i X 2i1 ) 2 =D(X 2i X 2i1 )+E(X 2i 一 X 2i1 )2 =2 2 所以由 EY= E(X 2i X 2i1 ) 2 =Cn2 2 = 2 ，解得 C= 又 N(0，1)且相互独立，故 W= 2 (n) Y=C2 2 =2C 2 W，DW=2n， 所以DY=4C 2 4 DW= 三、解答题(总题数：10，分数：24.00)18.解答题解答应写出文字说明

22、、证明过程或演算步骤。_解析：19.已知袋中有 3个白球 2个黑球，每次从袋中任取一球，记下它的颜色再将其放回，直到记录中出现 4次白球为止，试求抽取次数 X的概率分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 X可能取的值为 4，5，k，由于是有放回的取球，因此每次抽取“取到白球”的概率 p不变，并且都是 p= ，又各次取球是相互独立的，因此根据伯努利概型得 PX=4=P 4 ， PX=5=P前 4次抽取取到 3个白球 1个黑球，第 5次取到白球 =C 4 3 p 3 (1一 p) 43 P=C 4 3 (1一 P)P 4 ， 同理 PX=6=C 5 3 p 3 (1一 p) 53 P=

23、C 5 3 (1一 p) 53 P 4 ， Px=K=C k1 3 (1一 p) (k1)3 P 4 =C k1 3 (1一 p) K4 P 4 (K4)， 故 X的概率分布为 PX=k=C k1 3 (1一 p) k4 p 4 ，其中 k=4，5，且 p= )解析：20.设随机变量 X的分布函数为 F(x)= 已知 Y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：从 X的分布函数 F(X)可知：X 只取一 2，一 1与 1三个值，其概率分别为03，03，04，因此随机变量 ，其相应概率分别为 03，03 与 04因此Y的分布 律为 =03，Y的分布函数为 F Y (y)=PYy= )解析：解

24、析：显然 X是离散型随机变量，Y=已知随机变量 X的分布函数 F X (x)= （分数：4.00）(1).求 Y的概率密度 f Y (y)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设知 X的概率密度 f X (x)= ，所以 Y的分布函数 F Y (y)=PYy=PlnXY(yR) 由于 PX1=1，故当 y0 时 F Y (y)=0；当 Y0 时， F Y (y)=P1Xe y = 1 ey x 1 dx=1e y 于是 F Y (y)= 故 Y=lnX的概率密度 f Y (y)= )解析：(2).计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：PYk= k e y dy=e k ，由

25、于 0，0e 1，故 )解析：21.设二维离散型随机变量只取(一 1，一 1)，(一 1，0)，(1，一 1)，(1，1)四个值，其相应概率分别为（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)依题意，(X，Y)的联合概率分布如下表所示 ()关于 X与关于 Y的边缘概率分布分别为表中最右一列与最后一行 ()由于 ，且在 Y=1条件下，X 只取 1，因此关于 X的条件概率分布为 PX=1Y=1= =1； 在 X=1条件下，Y 取一 1和 1两个值，其条件概率分布为)解析：22.设二维随机变量(X，Y)的分布律为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 1= ()由(X，Y)的分布律，得

26、 所以，两个边缘分布律分别为 ()因为 PX=一 1，Y=3= ，故 X与 Y不独立 ()由(X，Y)的分布律，得 所以3X+4Y的分布律为 (V)由()可得 X+Y的分布律为 所以 PX+Y1=PX+Y=2+PX+Y=3= )解析：解析：先由联合概率分布的性质求出 a，再由式(32)与(33)求 X，Y 的边缘分布律，然后由列表法求出 3X+4Y，X+Y 的分布律，从而可解()与(V)，而由式(311)可判断 X与 Y是否独立23.设随机变量 X与 Y相互独立，且 X服从参数为 p的几何分布，即 PX=m=pq m1 ，m=1，2，0p1，q=1 一 p，Y 服从标准正态分布 N(0，1)求

27、： ()U=X+Y 的分布函数； ()V=XY的分布函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()根据全概率公式有 () )解析：投篮测试规则为每人最多投三次，投中为止，且第 i次投中得分为(4 一 i)分，i=1，2，3若三次均未投中不得分，假设某人投篮测试中投篮的平均次数为 156 次（分数：4.00）(1).求该人投篮的命中率；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设该投篮人投篮次数为 X，投篮得分为 Y；每次投篮命中率为 P(0P1)，则 X的概率分布为 PX=1=P，PX=2=pq，PX=3=q 2 ， EX=P+2pq+3q 2 =P+2p(1一 P)+3(1一 P) 2

28、=P 2 一3p+3 依题意 P 2 一 3p+3=156， 即 P 2 一 3p+144=0 解得 P=06(P=24 不合题意，舍去)解析：(2).求该人投篮的平均得分（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Y 可以取 0，1，2，3 四个可能值，且 PY=0=q 3 =04 3 =0064， PY=1=pq 2 =0604 2 =0096， PY=2=pq=0604=024， PY=3=P=06， 于是 EY= )解析：24.设随机变量 X在区间一 1，1上服从均匀分布，随机变量()Y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 Y是 X的函数：Y=g(x)，因此计算 DY可以直

29、接应用公式 EY=Eg(x)，或用定义计算 ()已知 Xf(x)= ，则 EY=Eg(X)= g(x)f(x)dx= 0 (一 1)f(x)dx+ 0 f(x)dx = 1 0 dx=0， EY 2 =Eg 2 (X)= g 2 (x)f(x)dx= f(x)dx=1， 故 DY=EY 2 一(EY) 2 =10=1 或者 EY=1PY=1+0PY=0+(一 1)PY=一 1 =PX0PX0= 0 1 dx=0， 又 Y 2 = 所以 DY=EY 2 一(EY) 2 =EY 2 =PX0=PX0+PX0=1， cov(X，Y)=EXYEXEY=EXY= xg(x)f(x)dx= 1 0 () )解析：设总体 XN(0， 2 )，参数 0 未知，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本(n1)，令估计量 （分数：4.00）(1).求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立且与总体 x同分布，故 EX i =0， DX i = 2 ， ， )解析：(2).求方差 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据抽样分布有关结论知 再由 2 分布随机变量的方差公式有：Y 2 (n)，则 DY=2n 所以 )解析：