【考研类试卷】考研数学三（微积分）模拟试卷150及答案解析.doc

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1、考研数学三（微积分）模拟试卷 150 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.函数 f（x）= （分数：2.00）A.x=1 为第一类间断点，x=1 为第二类间断点B.x=1 均为第一类间断点C.x=1 为第二类间断点，x=1 为第一类间断点D.x=1 均为第二类间断点3.设 F（x）=g（x）（x），x=a 是 （x）的跳跃间断点，g（a）存在，则 g（a）=0，g（a）=0 是F（x）在 x=a 处可导的（ ）（分数：2.00）A.充分必要条件B.充

2、分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件4.设 f（x）在（0，+）内二阶可导，满足 f（0）=0，f “ （x）0（x0），又设 ba0，则axb 时，恒有（ ）（分数：2.00）A.af（x）xf（a）B.f（x）xf（b）C.xf（x）bf（b）D.xf（x）af（a）5.设 f（x）具有二阶连续导数，且 f（1）=0， （分数：2.00）A.f（1）是 f（x）的极大值B.f（1）是 f（x）的极小值C.（1，f（1）是曲线 f（x）的拐点坐标D.f（1）不是 f（x）的极值，（1，f（1）也不是曲线 f（x）的拐点坐标6.若 f（x）的导函数是 sinx，则 f（x）有一个

3、原函数为（ ）（分数：2.00）A.1+sinxB.1sinxC.1+cosxD.1cosx7.方程 0 x （分数：2.00）A.0B.1C.2D.38.设函数 z= f（x，y）的全微分为 dx=xdx+ydy，则点（0，0）（ ）（分数：2.00）A.不是 f（x，y）的连续点B.不是 f（x，y）的极值点C.是 f（x，y）的极大值点D.是 f（x，y）的极小值点9.设 f（x，y）为连续函数，则 d 0 1 f（rcos，rsin） rdr 等于（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.10.级数 （分数：2.00）A. 与 取值有关B. 与 取值有关C.与 和 的取值都有关D.与

4、和 的取值都无关11.微分方程 y“一 2 y=e x +e x （0）的特解形式为（ ）（分数：2.00）A.a（e x +e x ）B.ax（e x +e x ）C.x（ae x +be x ）D.x 2 （ae x +be x ）二、填空题(总题数：8，分数：16.00)12. （分数：2.00）填空项 1:_13.设 f（x）=x（x+1）（x+2）（x+n），则 f（0）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 a0，则 （分数：2.00）填空项 1:_16.设函数 f（u）可微，且 f（0）= （分数：2.00）填空项 1:_17

5、.设 D 为不等式 0x3，0y1 所确定的区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_18.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_19.微分方程 y“一 y+ （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：24.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_21. （分数：2.00）_22.设 g（x）= （分数：2.00）_23.证明 （分数：2.00）_24.（）比较 0 1 |lnt|ln（1+t） n dt 与 0 1 t n |ln t|dt（n=1，2，）的大小，说明理由。（）记 u n = 0 1 |lnt|ln（1+t） n

6、dt（n=1，2，），求极限 （分数：2.00）_25.设曲线 y=f（x），其中 y=f（x）是可导函数，且 f（x）0。已知曲线 y=f（x）与直线 y=0，x=1 及x=t（t1）所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的 t 倍，求该曲线方程。（分数：2.00）_26. （分数：2.00）_27.求二元函数 z=f（x，y）=x 2 y（4xy）在直线 x+y=6，x 轴与 y 轴围成的闭区域 D 上的最大值与最小值。（分数：2.00）_28.设 D=（x，y）|x 2 + y 2 ，x0，y0，1+x 2 +y 2 表示不超过 1+x 2 +y 2 的最大

7、整数。计算二重积分 （分数：2.00）_29.设方程 x n +nx 一 1=0，其中 n 为正整数。证明此方程存在唯一正实根 x n ，并证明当 1 时，级数 （分数：2.00）_30.设 a n 为曲线 y=x n 与 y=x n+1 （n=1，2，）所围成区域的面积，记 S 1 = （分数：2.00）_31.在 xOy 坐标平面上，连续曲线 L 过点 M（1，0），其上任意点 P（x，y）（x0）处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于 ax（常数 a0）。（）求 L 的方程；（）当 L 与直线 y=ax 所围成平面图形的面积为 （分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 150 答

8、案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.函数 f（x）= （分数：2.00）A.x=1 为第一类间断点，x=1 为第二类间断点B.x=1 均为第一类间断点 C.x=1 为第二类间断点，x=1 为第一类间断点D.x=1 均为第二类间断点解析：解析：分别就|x|=1，|x|1，|x|1 时求极限 得出 f（x）的分段表达式：3.设 F（x）=g（x）（x），x=a 是 （x）的跳跃间断点，g（a）存在，则 g（a）=0，g（a）=0 是F（x）在 x=a

9、处可导的（ ）（分数：2.00）A.充分必要条件 B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件解析：解析：因 （x）在 x=a 处不可导，所以不能对 F（x）用乘积的求导法则，须用定义求 F（a）。题设 （x）以 x=a 为跳跃间断点，则存在 A + ，A + A 。 当 g（a）=0 时， 这表明，g（a）=0 时，F（a）存在 下面证明若 F（a）存在，则 g（a）=0。 反证法，若 g（a）0，（x）= 4.设 f（x）在（0，+）内二阶可导，满足 f（0）=0，f “ （x）0（x0），又设 ba0，则axb 时，恒有（ ）（分数：2.00）A.af（x）xf（a）B.f（

10、x）xf（b） C.xf（x）bf（b）D.xf（x）af（a）解析：解析：将 A，B 选项分别改写成 于是，若能证明 或 xf（x）的单调性即可。 又因令 g（x）=xf（x） f（x），则 g（0）=0， g（x）=xf“（x）0（x0）， 那么 g（x）g（0）=0 （x0）， 即 故 在（0，+）内单调减小。所以当 axb 时，5.设 f（x）具有二阶连续导数，且 f（1）=0， （分数：2.00）A.f（1）是 f（x）的极大值B.f（1）是 f（x）的极小值 C.（1，f（1）是曲线 f（x）的拐点坐标D.f（1）不是 f（x）的极值，（1，f（1）也不是曲线 f（x）的拐点坐标解

11、析：解析：选取特殊 f（x）满足:f“（x）= （x1） 2 ，如取 f（x）= 6.若 f（x）的导函数是 sinx，则 f（x）有一个原函数为（ ）（分数：2.00）A.1+sinxB.1sinx C.1+cosxD.1cosx解析：解析：由 f（x）= sinx，得 f（x）=f（x）dx=sinxdx= cosx+C 1 ， 所以 f（x）的原函数是 F（x）=f（x）dx= （ cosx+C 1 ）dx= sinx+C 1 x+C 2 ， 其中 C 1 ，C 2 为任意常数。令 C 1 =0，C 2 =1 得 F（x）=1 sinx。故选 B。7.方程 0 x （分数：2.00）A.

12、0B.1 C.2D.3解析：解析：设 F（x）= 0 x + cosx 0 e t2 dt，则 F（x）在（一，+）内连续，又 F（0）= 1 0 e t2 dt0， 0，由零点定理得 F（x）=0 至少有一个根。 又易知 且当 x（一，+）时， 1（等号仅当 x=0 成立），又 0 1，1sinx1，所以有1 8.设函数 z= f（x，y）的全微分为 dx=xdx+ydy，则点（0，0）（ ）（分数：2.00）A.不是 f（x，y）的连续点B.不是 f（x，y）的极值点C.是 f（x，y）的极大值点D.是 f（x，y）的极小值点 解析：解析：根据 dz=xdx+ydy 可得， 又在（0，0）

13、处， 9.设 f（x，y）为连续函数，则 d 0 1 f（rcos，rsin） rdr 等于（ ） （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由题设可知，积分区域 D 如图 145 所示，则10.级数 （分数：2.00）A. 与 取值有关B. 与 取值有关C.与 和 的取值都有关 D.与 和 的取值都无关解析：解析：由于 （1）当 01 时，级数发散。 （2）当 1 时，级数收敛。 （3）当 =1时，原级数为11.微分方程 y“一 2 y=e x +e x （0）的特解形式为（ ）（分数：2.00）A.a（e x +e x ）B.ax（e x +e x ）C.x（ae x +be x ）

14、 D.x 2 （ae x +be x ）解析：解析：原方程对应的齐次方程的特征方程为 r 2 一 2 =0，其特征根为 r 1，2 =A，所以 y“一 2 y=e x 的特解为 y 1 * =axe x ，y“一 2 y=e 2 x 的特解为 y 2 * =bxe x ，根据叠加原理可知原方程的特解形式为 y * =y 1 * + y 2 * =x（ae x +be x ）， 因此选 C。二、填空题(总题数：8，分数：16.00)12. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：13.设 f（x）=x（x+1）（x+2）（x+n），则 f（0）= 1。（分数：2.

15、00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：n!）解析：解析：由于 f（x）=（x+1）（x+2）（x+n）+x（x+2）（x+n）+（x+1）（x+2）（x+n1）， 所以 f（0）=n!。14.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：在点 处的切线的斜率为 ，在曲线方程两端分别对 x 求导，得 因此所求的切线方程为15.设 a0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由题干可知，原式可化为 根据定积分的几何意义可得 （半径为 a 的半圆的面积），所以16.设函数 f（u）可微，且 f（0）= （分数：2.00）填空

16、项 1:_ （正确答案：正确答案：4dx 2dy）解析：解析：直接利用微分的形式计算，因为17.设 D 为不等式 0x3，0y1 所确定的区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题干可知， min（x，y）dxdy = 0 1 dy y 3 ydx+ 0 1 dy 0 y xdx= 18.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：首先设 a n = ，则当满足条件 1 时，即|x| 时，该幂级数是收敛的。因此，此幂级数的收敛半径是 19.微分方程 y“一 y+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答

17、案：y= ）解析：解析：二阶齐次微分方程的特征方程为 2 一 + =0， 解方程得 1 = 2 = 因此齐次方程的通解为 y= 三、解答题(总题数：12，分数：24.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：21. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设 g（x）= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（） 若要 g（x）在 x=0 处连续，必须 =g（0），即 b=1。 故b=1，a 为任意实数时，g（x）在 x=0 处连续。 （）若要 g（x）在 x=0 处可导，则必须 g（x）在 x=0处连续（b=1），且 g （0）

18、=g + （0）， 所以 所以当 a= )解析：23.证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 故 f（x）0，而 f（0）=0，所以有 f（x）0，即得 故 f（x）0，因此仍有 f（x）f（0）=0，即得 )解析：24.（）比较 0 1 |lnt|ln（1+t） n dt 与 0 1 t n |ln t|dt（n=1，2，）的大小，说明理由。（）记 u n = 0 1 |lnt|ln（1+t） n dt（n=1，2，），求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）令 f（t）=ln（1+t）t。 当 0t1 时，f（t）= 一 10，故当 0t1 时，f（t）f（0） =

19、0，即当 0t1 时， 0ln（1+t）t1，从而 ln（1+t） n t n （n=1，2，）。 又由|lnt|0 得 0 1 |lnt|ln（1+t） n dt 0 t t n |lnt|dt（n=1，2，）。 （）由（）知，0u n = 0 1 |lnt|ln（1+t） n dt 0 1 t n |lnt|dt，因为 0 1 t n |lnt|dt= 0 1 t n （lnt）dt )解析：25.设曲线 y=f（x），其中 y=f（x）是可导函数，且 f（x）0。已知曲线 y=f（x）与直线 y=0，x=1 及x=t（t1）所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面

20、积值的 t 倍，求该曲线方程。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：旋转体的体积为 v= 1 t f 2 （x）dx= 1 t f 2 （x）dx，曲边梯形的面积为 s= 1 t f（x）dx，则由题可知 1 t f 2 （x）dx=t 1 t f（x）dx，即 1 t f 2 （x）dx=t 1 t f（x）dx。 两边对 t 求导可得 f 2 （t）= 1 t f（x）dx+f（t），即 f 2 （t）一 tf（t）= 1 t f（x）dx，（*）等式两端求导可得 2f（t）f（t） f（t）一 tf（t）=f（t），化简可得（2t）t）f（t）=2f（t），即 =1，解之得 t=c

21、。 在（*）式中令 t=1，则 f 2 （1） f（1）=0，因为已知 f（x）0，所以 f（1）=1，代入 所以该曲线方程为 2y+ )解析：26. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求 而且 f（x）是一元函数 f（u）与二元函数 u=xy 的复合，u 是中间变量；（xy）是一元函数 （）与二元函数 =x+y 的复合， 是中间变量。由于 方便，由复合函数求导法则得 )解析：27.求二元函数 z=f（x，y）=x 2 y（4xy）在直线 x+y=6，x 轴与 y 轴围成的闭区域 D 上的最大值与最小值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求在 D 内的驻点，即 因此在 D

22、内只有驻点 相应的函数值为（2，1）=4。 再求 f（x，y）在 D 边界上的最值 （1）在 x 轴上 y=0，所以 f（x，0）=0。 （2）在 y 轴上 x=0，所以 f（0，y）=0。 （3）在 x+y =6 上，将 y=6x 代入 f（x，y）中，得 f（x，y）=2x 2 （x6）， 因此 f x =6x 2 24x=0。得 x=0（舍），x=4。所以 y=6x=2。 于是得驻点 )解析：28.设 D=（x，y）|x 2 + y 2 ，x0，y0，1+x 2 +y 2 表示不超过 1+x 2 +y 2 的最大整数。计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 1 =

23、（x，y|0x 2 +y 2 1，x0，y0， D 2 =（x，y） |1x 2 + y 2 ，x0，y0 则 )解析：29.设方程 x n +nx 一 1=0，其中 n 为正整数。证明此方程存在唯一正实根 x n ，并证明当 1 时，级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 f n （x）=x n +nx 一 1。由 f n （0）=一 10，f n （1）=n0，结合连续函数的零点定理知，方程 x n +nx 一 1=0 存在正实数根 x n （0，1）。 当 x0 时，f n （x）=nx n1 +n0，可见 f n （x）在0，+）上单调增加，故方程 x n +nx 一 1=

24、0 存在唯一正实数根 x n 。 由 x n +nx 一 1=0 与 x n 0 知 故当 1 时，0x n 。而正项级数 收敛，所以当1 时，级数 )解析：30.设 a n 为曲线 y=x n 与 y=x n+1 （n=1，2，）所围成区域的面积，记 S 1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意，y=x n 与 y=x n+1 在点 x=0 和 x=1 处相交，所以 )解析：31.在 xOy 坐标平面上，连续曲线 L 过点 M（1，0），其上任意点 P（x，y）（x0）处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于 ax（常数 a0）。（）求 L 的方程；（）当 L 与直线 y=ax 所围成平面图形的面积为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）设曲线的方程为 y=f（x），则由题设可得 这是一阶线性微分方程，其中 代入通解公式得 =x（ax+C） =ax 2 +Cx， 又 f（1）=0，所以 C=一 a。 故曲线 L 的方程为 y=ax 2 一 ax（x0）。 （）L 与直线 y=ax（a0）所围成的平面图形如图 151 所示。 所以 D= 0 2 ax 一（ax 2 一 ax）dx =a 0 2 （2x 一 x 2 ）dx= )解析：