【考研类试卷】考研数学三-90及答案解析.doc

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1、考研数学三-90 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：28，分数：100.00)1.判别级数 （分数：2.50）_2.判别级数 （分数：2.50）_3.判别级数 （分数：2.50）_4.判别级数 （分数：2.50）_5.已知 f n (x)满足 (n为正整数)，且 求函数项级数 （分数：2.50）_设有两条抛物线 （分数：5.00）(1).这两条抛物线所围成的平面图形的面积 S n ；（分数：2.50）_(2).级数 （分数：2.50）_6.将函数 （分数：2.50）_7.求幂级数 的收敛域与和函数，并求 （分数：2.50）_8.设 n=1，2，试求 （分

2、数：2.50）_9.求级数 （分数：2.50）_10.求幂级数 （分数：2.50）_判断下列正项级数的敛散性：（分数：7.50）(1). （分数：2.50）_(2). （分数：2.50）_(3). （分数：2.50）_设 （分数：10.00）(1).若 收敛，则 （分数：2.50）_(2).若 收敛，且 u n 单调减少，则 （分数：2.50）_(3).若 都收敛，则 （分数：2.50）_(4).若 收敛，则 （分数：2.50）_11.证明：级数 （分数：2.50）_12.设 u 1 =2， 证明：级数 （分数：2.50）_13.试判断级数 （分数：2.50）_设 是正项级数，并设 （分数：5

3、.00）(1).求证：若 b1，则 收敛；若 b1，则 （分数：2.50）_(2).当 b=1时，试举出可能收敛也可能发散的例子（分数：2.50）_14.根据阿贝尔定理，已知 （分数：2.50）_15.设幂级数 在 x=0处收敛，在 x=2b处发散，求幂级数 的收敛半径 R与收敛域，并分别求幂级数 （分数：2.50）_16.将 y=sinx展开为 （分数：2.50）_17.将 （分数：2.50）_设 （分数：5.00）(1).将 f(x)展开为 x的幂级数；（分数：2.50）_(2).分别判断级数 （分数：2.50）_18.设 证明：级数 （分数：2.50）_(1).证明： （分数：2.50）

4、_(2).求 （分数：2.50）_19.求级数 （分数：2.50）_(1).求函数项级数 e -x +2e -2x +ne -nx +收敛时 x的取值范围；（分数：2.50）_(2).当上述级数收敛时，求其和函数 S(x)，并求 （分数：2.50）_20.设数列a n 满足 a 1 =a 2 =1，且 a n+1 =a n +a n-1 ，n=2，3，证明：在 时幂级数 （分数：2.50）_设 （分数：7.50）(1).求 y(0)，y“(0)，并证明：(1-x 2 )y“-xy“=4；（分数：3.75）_(2).求 的和函数及级数 （分数：3.75）_考研数学三-90 答案解析(总分：100

5、.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：28，分数：100.00)1.判别级数 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】 易知当 n充分大时， 单调递减且此数列收敛于 0，由莱布尼茨判别法知，级数 2.判别级数 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】3.判别级数 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】由泰勒公式， 由于 表明级数 发散；而级数 (条件)收敛，故原级数发散 解析 这是交错级数，但不易判别|u n |u n+1 |，因此不能使用莱布尼茨判别法为了能确定一般项 4.判别级数 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】 设 则 又 f(x)单调减少。

6、因此级数 满足莱布尼茨判别法条件，是条件收敛的 但级数 5.已知 f n (x)满足 (n为正整数)，且 求函数项级数 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】由题设条件知，函数 f(x)满足一阶线性非齐次微分方程 其通解为 由条件 得 C=0，所以， 于是 记 容易求出其收敛域为-1，1)，且 S(0)=0，当 x(-1,1)时，求导得 于是得 由 S(x)=-ln(1-x)在 x=-1点的连续性知，上述和函数在 x=-1点也成立于是，当-1x1 时，有 设有两条抛物线 （分数：5.00）(1).这两条抛物线所围成的平面图形的面积 S n ；（分数：2.50）_正确答案：()解析：【解

7、】解方程 得两条抛物线交点的横坐标的绝对值为 根据对称性可得(2).级数 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】因为 所以 于是 6.将函数 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】 由已知展开式知 7.求幂级数 的收敛域与和函数，并求 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】 当|x|1 时，幂级数收敛；当|x|1 时，幂级数发散；当 x=1时，级数为 收敛；当 x=-1时，级数为 发散所以，幂级数的收敛域为(-1，1 记 -1x1，则 (0)=0，S(0)=1，且 因为 于是 令 x=1，得 8.设 n=1，2，试求 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】令 x

8、=m-t则 所以 记 因为 逐项求导，得 整理得 再次逐项求导，得 整理得 从而 9.求级数 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】设 又 y(0)=1，y“(0)=0于是得到如下微分方程： 特征方程为 r 2 -1=0，r=1，得通解： y=C 1 e x +C 2 e -x 求导，得 y“=C 1 e x -C 2 e -x 将初值条件代入，解得 故 10.求幂级数 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】因为 所以该幂级数的收敛域为(-，+) 由 逐项求导 4次，依次得 整理得 S (4) (x)=S(x)=0解此四阶常系数齐次线性微分方程得 S(x)=C 1 e x +C

9、 2 e -x +C 3 cosx+C 4 sinx 代入初值条件 S(0)=1，S“(0)=S“(0)=S“(0)=0，得 所以 判断下列正项级数的敛散性：（分数：7.50）(1). （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】显然， 由 收敛，由比较审敛法得(2). （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】因 收敛，则由比较审敛法得(3). （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】因 又因 发散，则由比较审敛法得设 （分数：10.00）(1).若 收敛，则 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】 收敛，且有(2).若 收敛，且 u n 单调减少，则 （分数：2.50）

10、_正确答案：()解析：【证】u n 单调减少 (3).若 都收敛，则 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】(4).若 收敛，则 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】11.证明：级数 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】 是交错级数，但不满足莱布尼茨判别法的(2)，故莱布尼茨判别法失效因为 所以由正项级数的比较审敛法知， 发散， 又因为 由于上式每个括号都小于 0，所以S 2n 单调递减，再由 知S 2n 单调递减有下界，故S 2n 收敛，记 易知 则 12.设 u 1 =2， 证明：级数 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】由算术平均值不小于其几何平均值

11、得 即数列u n 有下界 1，由此又得 即u n 单调减少，则根据单调有界准则知极限 必存在，由u n 单调减少知所考虑的级数为正项级数，且有 因 存在，故极限 存在，则由级数敛散性的定义知级数 收敛于是，由比较审敛法得原正项级数 13.试判断级数 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】由于该级数的通项 且当 n2 时有 因此 则题给的级数是交错级数，它可以改写为 因 且当 n2 时 则由 发散，由比较审敛法知 发散，又因 则由极限形式的比较审敛法知 发散，即题给的级数不是绝对收敛 显然，数列|u n |满足 设函数 则在 x2 时，f“(x)= 故 f(x)在2，+)内单调减少，从而

12、数列|u n |单调减少，于是，题给的级数 设 是正项级数，并设 （分数：5.00）(1).求证：若 b1，则 收敛；若 b1，则 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】设 b1，任取 0，使得 b-1，因为 故 当 nN 时， 即 因 b-1，所以 收敛，由正项级数的比较审敛法知 收敛 又假设 b1，任取 0，使得 b+1，因为 故 当 nN 时， 即 因 b+1，所以 发散，由正项级数的比较审敛法知 (2).当 b=1时，试举出可能收敛也可能发散的例子（分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】级数 发散，这时 级数 根据积分审敛法易知其收敛，这时令 x=lnn， 则有 所以有

13、14.根据阿贝尔定理，已知 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】根据阿贝尔定理，(1)(2)是显然的 对于(3)，因幂级数 在点 x 1 处收敛，则 R|x 1 -x 0 |； 另一方面，因幂级数 15.设幂级数 在 x=0处收敛，在 x=2b处发散，求幂级数 的收敛半径 R与收敛域，并分别求幂级数 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】令 t=x-b，收敛中心 x 0 =b的幂级数 化为收敛中 t 0 =0的幂级数 根据阿贝尔定理可以得到如下结论： 因为 在 x=0处收敛，所以 在 t=-b处收敛，从而当|t|-b|=|b|时，幂级数 绝对收敛 由于 在 x=2b处发散，故

14、 在 t=b处发散，进而当|t|b|时，幂级数 发散 由上述两方面，根据幂级数收敛半径的定义即知 的收敛半径 R=|b|，其收敛域为-|b|x|b| 注意到幂级数 是由幂级数 16.将 y=sinx展开为 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】17.将 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】如果此题这样做： 是行不通的改用“先积后导”的方法： 设 （分数：5.00）(1).将 f(x)展开为 x的幂级数；（分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】把 f(x)作初等变换，并利用几何级数 |x|1，则 f(x)展开为 x的幂级数 (2).分别判断级数 （分数：2.50）_正确答

15、案：()解析：【解】根据幂级数展开式的唯一性得 f(x)在 x 0 =0处的高阶导数 则所考虑的 都为正项级数 取 显然 收敛因 故由极限形式的比较审敛法得 收敛注意到 18.设 证明：级数 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】 因为 收敛，故 收敛 为求 的和，作 从而， (1).证明： （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】(2).求 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】由于 由待定系数法得， 则 19.求级数 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】本题考查无穷级数的求和，涉及逐项积分和逐项求导的恒等变形，是常规考题 本题要求 给出幂级数 其收敛区间为(

16、-，+)并记其和函数 逐项积分得 所以 两边求导得 故 (1).求函数项级数 e -x +2e -2x +ne -nx +收敛时 x的取值范围；（分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】该函数项级数的通项 u n (x)=ne -nx ，u n+1 (x)=(n+1)e -(n+1)x ， 故，当 即 x0 时， 收敛； 当 x0 时， (2).当上述级数收敛时，求其和函数 S(x)，并求 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】 于是 20.设数列a n 满足 a 1 =a 2 =1，且 a n+1 =a n +a n-1 ，n=2，3，证明：在 时幂级数 （分数：2.50）_正确

17、答案：()解析：【证】(1)显然，a n 是正项严格单调增加数列，且有 a 3 =2，a 4 =a 2 +a 3 2a 3 =2 2 ，假设 a n 2 n-2 ，则有 a n+1 =a n +a n-1 2a n 2 n-1 ，故由归纳法得 a n 2 n-2 于是，所考虑的级数的通项有 因级数 在|2x|1 时收敛，故由比较审敛法知，级数 在|2x|1，即 时绝对收敛 (2)原幂级数化为 移项后得原幂级数的和函数为 (3)将 展开为 x的幂级数，有 而 又是幂级数 的和函数，则由幂级数展开式的唯一性，经比较系数得原幂级数的系数， 设 （分数：7.50）(1).求 y(0)，y“(0)，并证明：(1-x 2 )y“-xy“=4；（分数：3.75）_正确答案：()解析：【解】由 得 y(0)=0；又 于是 y“(0)=0， 以下证明微分方程成立： (2).求 的和函数及级数 （分数：3.75）_正确答案：()解析：【解】下面求解微分方程(1-x 2 )y“-xy“=4 首先，应该可以想到本题用“二阶可降阶”的方法，令 y“=p考生可以自练但是本题更好的做法如下：微分方程两边同乘以 (想想看这个 是怎么推导出来的)，则有 上式两边分别积分得： 于是有 根据 ，即 也就是 两边再积分，得 故 y(x)=2arcsin 2 x+C 又 就有 由 得