【考研类试卷】考研数学三-292及答案解析.doc

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1、考研数学三-292 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 f(0)存在，则函数 （分数：4.00）A.在 x=0 处左极限不存在B.有跳跃间断点 x=0C.在 x=0 处右极限不存在D.有可去间断点 x=02.当 x0 时，用“o(x)”表示比 x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是 A.xo(x2)=o(x3) B.o(x)o(x2)=o(x3) C.o(x2)+o(x2)=o(x2) D.o(x)+o(x2)=o(x2)（分数：4.00）A.B.C.D.3.下列曲线中有渐近线的是 Ay=x+

2、sinx By=x 2 +sinx C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.下列级数中发散的是 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.n 阶矩阵 A 具有 n 个不同的特征值是 A 与对角矩阵相似的（分数：4.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件6.设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，若秩 ，则线性方程组 AAx= 必有无穷多解 BAx= 必有惟一解 C 仅有零解 D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A，B 为随机事件，且 P(B)0，P(A|B)=1，则必有（分数：4.00）A.P(AB)P(A)B.P

3、(AB)P(B)C.P(AB)=P(A)D.P(AB)=P(B)8.设总体 XB(m，)，X 1 ，X 2 ，X n 为来自该总体的简单随机样本， 为样本均值， （分数：4.00）A.(m-1)n(1-)B.m(n-1)(1-)C.(m-1)(n-1)(1-)D.mn(1-)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设可导函数 y=y(x)由方程 确定，则 （分数：4.00）10.反常积分 （分数：4.00）11.已知函数 f(x)满足 ，则 （分数：4.00）12.设某商品的需求函数为 Q=40-2P(P 为商品的价格)，则该商品的边际收益为 1 （分数：4.00）13.二次型 f(x

4、1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 -x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2 的秩为 1 （分数：4.00）14.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(，； 2 ， 2 ；0)，则 Cov(X，XY 2 )= 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.设函数 f(u)具有连续导数，且 z=f(e x cosy)满足 （分数：10.00）_17.计算二重积 （分数：10.00）_18.证明方程 （分数：10.00）_已知函数 f(x)满足方程 f“(x)+f“(x)-2f(x)=0 及 f“

5、(x)+f(x)=2e x （分数：10.00）(1).求 f(x)的表达式（分数：5.00）_(2).求曲线 （分数：5.00）_设四元齐次线性方程组()为 （分数：11.00）(1).求方程组()的一个基础解系；（分数：5.50）_(2).当 a 为何值时，方程组()与()有非零公共解?在有非零公共解时，求出全部非零公共解（分数：5.50）_19.设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 阶实矩阵，B T 为 B 的转置矩阵，试证 B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是矩阵 B 的秩 r(B)=n （分数：11.00）_20.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)=A

6、e -2x2+2xy-y2 ，-x+，-y+， 求常数 A 及条件概率密度 f Y|X (y|x) （分数：11.00）_设二维随机变量(X，Y)在区域 上服从均匀，令 （分数：11.01）(1).写出(X，Y)的概率密度（分数：3.67）_(2).请问 U 与 X 是否相互独立?并说明理由（分数：3.67）_(3).求 Z=U+X 的分布函数 F(z)（分数：3.67）_考研数学三-292 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 f(0)存在，则函数 （分数：4.00）A.在 x=0 处左极限不存

7、在B.有跳跃间断点 x=0C.在 x=0 处右极限不存在D.有可去间断点 x=0 解析：解析 由题设 f(x)为奇函数，可推出 f(0)=0，再利用在点 x=0 处的导数定义进行讨论即可 显然 x=0 为 g(x)的间断点，且由 f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0 于是有 存在，故 x=0 为可去间断点 1本题也可用反例排除，例如 f(x)=x，则此时 可排除 A、B、C 三项，故应选 D 2若 f(x)在 x=x 0 处连续，则 2.当 x0 时，用“o(x)”表示比 x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是 A.xo(x2)=o(x3) B.o(x)o(x2)=o(x3) C.o(

8、x2)+o(x2)=o(x2) D.o(x)+o(x2)=o(x2)（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由无穷小阶的定义知选 D 事实上， 3.下列曲线中有渐近线的是 Ay=x+sinx By=x 2 +sinx C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查求渐近线的基本方法分别判断各曲线是否有水平、垂直和斜渐近线即得正确答案 因为 所以曲线 4.下列级数中发散的是 A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 利用级数敛散性的性质及判别法 对于 A 项 ，由比值判别法，该级数收敛； 对于 B 项 ，级数 收敛，该级数收敛； 对于 D 项 ，由

9、比值判别法，该级数收敛； 对于 C 项，用莱布尼兹判别法级数 收敛，而级数 5.n 阶矩阵 A 具有 n 个不同的特征值是 A 与对角矩阵相似的（分数：4.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件 C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件解析：解析 6.设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，若秩 ，则线性方程组 AAx= 必有无穷多解 BAx= 必有惟一解 C 仅有零解 D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因 A 是 n 阶矩阵， 是 n+1 阶矩阵，有 即 所以 7.设 A，B 为随机事件，且 P(B)0，P(A|B)=1，则必有（分数：4.00）A.P(AB)P

10、(A)B.P(AB)P(B)C.P(AB)=P(A) D.P(AB)=P(B)解析：解析 8.设总体 XB(m，)，X 1 ，X 2 ，X n 为来自该总体的简单随机样本， 为样本均值， （分数：4.00）A.(m-1)n(1-)B.m(n-1)(1-) C.(m-1)(n-1)(1-)D.mn(1-)解析：解析 样本方差 ，且 ES 2 =DX=m(1-) 所以 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设可导函数 y=y(x)由方程 确定，则 （分数：4.00）解析：-1 解析 先由方程求出 x=0 时 y=0，再两边对 x 求导，属基础题型 由 ，令 x=0，得 y=0， 等式两端对

11、 x 求导得， ， 将 x=0，y=0 代入上式，得 ，所以 10.反常积分 （分数：4.00）解析：ln2 解析 对于此无穷限的反常积分可用通常定积分的计算方法 11.已知函数 f(x)满足 ，则 （分数：4.00）解析：6 解析 因为 ， 所以 ，即 ， 由 亦是 ，从而 12.设某商品的需求函数为 Q=40-2P(P 为商品的价格)，则该商品的边际收益为 1 （分数：4.00）解析：20-Q解析 本题考查导数的经济应用，注意这里要把收益表示成商品的需求量 Q 的函数，商品的收益函数为13.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 -x 3 ) 2

12、 +(x 3 +x 1 ) 2 的秩为 1 （分数：4.00）解析：2 解析 因为 二次型 f 的矩阵是 易见秩 r(A)=2，故二次型 f 的秩为 2 若认为二次型的标准形是 ，从而秩 r(f)=3 就错误了 因为对于 而言，由于行列式 从而不是坐标变换，因而 14.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(，； 2 ， 2 ；0)，则 Cov(X，XY 2 )= 1 （分数：4.00）解析： 2 ( 2 + 2 ) 解析 Cov(X，XY 2 )=E(X 2 Y 2 )-EXE(XY 2 ) 由于 X 与 Y 相互独立，所以 E(X 2 Y 2 )=EX 2 EY 2 =DX+(EX) 2

13、 DY+(EY) 2 =( 2 + 2 ) 2 E(XY 2 )=EXEY 2 =( 2 + 2 ) 总之 Cov(X，XY 2 )=( 2 + 2 ) 2 - 2 ( 2 + 2 )= 2 ( 2 + 2 )三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 16.设函数 f(u)具有连续导数，且 z=f(e x cosy)满足 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 因为 所以 =cosyf“(e x cosy)e x cosy-siny-f“(e x cosy)e x siny =f“(e x cosy)e x 因此 化为 f“(e

14、 x cosy)=4f(e x cosy)+e x cosy 从而函数 f(u)满足方程 f“(u)=4f(u)+u这是一阶线性非齐次微分方程，直接代通解公式得该方程的通解为 由 f(0)=0 得 故 17.计算二重积 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 被积函数 f(x，y)=max(xy，1)是分区域函数，要利用积分的可加性分区域积分 记 D 1 =(x，y)|xy1，(x，y)D， D 2 =(x，y)|xy1，(x，y)D 则 18.证明方程 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证 令 ，则 由 f“(x)=0 得 ，显然 ，即 为一个实根 当 时，f“(x)0，则 f

15、(x)在区间 上单调递减； 当 时，f“(x)0，则 f(x)在区间 上单调递增，且 ， 所以，方程在 已知函数 f(x)满足方程 f“(x)+f“(x)-2f(x)=0 及 f“(x)+f(x)=2e x （分数：10.00）(1).求 f(x)的表达式（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 齐次线性微分方程 f“(x)+f“(x)-2f(x)=0 的特征方程为：r 2 +r-2=0，特征根为：r 1 =1，r 2 =-2，因此齐次微分方程的通解为：f(x)=C 1 e x +C 2 e -2x 于是 f“(x)=C 1 e x -2C 2 e -2x ，f“(x)=C 1 e x +4

16、C 2 e -2x ， 代入 f“(x)+f(x)=2e x 得 2C 1 e x +5C 2 e -2x =2e x ，从而 C 1 =1，C 2 =0， 故 f(x)=e x (2).求曲线 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 因曲线 ，所以 ， 设四元齐次线性方程组()为 （分数：11.00）(1).求方程组()的一个基础解系；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 对方程组()的系数矩阵作初等行变换，有 (2).当 a 为何值时，方程组()与()有非零公共解?在有非零公共解时，求出全部非零公共解（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 设 是方程组()和()的非零公共解，

17、则 =x 1 1 +x 2 2 =-x 3 1 -x 4 2 那么 x 1 1 +x 2 2 +x 3 1 +x 4 4 =0 对系数矩阵 A=( 1 ， 2 ， 1 ， 2 )作初等行变换，有 且 0 x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 不全为 0 r(A)4 a=-1 当 a=-1 时 得基础解系 1 =(-1，-1，1，0) T ， 2 =(-4，-7，0，1) T 所以 Ax=0 的通解为 k 1 1 +k 2 2 =(-k 1 -4k 2 ，-k 1 -7k 2 ，k 1 ，k 2 ) T 故方程组()和()的公共解 19.设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 阶实矩阵

18、，B T 为 B 的转置矩阵，试证 B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是矩阵 B 的秩 r(B)=n （分数：11.00）_正确答案：()解析：证 必要性设 B T AB 是正定矩阵，按正定定义 x0 恒有 x T (B T AB)x0 即(Bx) T A(Bx)0 那么 x0 恒有 Bx0从而齐次方程组 Bx=0 只有零解，故秩 r(B)=n 充分性因为(B T AB) T =B T A T (B T ) T =B T AB，知 B T AB 为实对称矩阵 当秩 r(B)=n 时，Bx=0 只有零解，那么 x0 恒有 Bx0因为 A 是正定矩阵，那么当 Bx0 时必有(Bx) T A(B

19、x)0，所以 20.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)=Ae -2x2+2xy-y2 ，-x+，-y+， 求常数 A 及条件概率密度 f Y|X (y|x) （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 方法一 常数 A 可以通过性质 来求 而 ，f X (x)0 其中 其实 f X (x)中带有常数 A，所以用 来求 A，还不如用 来求 A 所以先求 又由于 ，即 当 f X (x)0 时，等价于当-x+时， ，-y+ 这方法中用了公式 ，此公式也可以从服从正态 的密度函数 的积分等于 1 来推出 ，即 方法二 二维正态概率密度一般形式为 对比本题所给二维密度 f(x，y)=

20、Ae -2x2+2xy-y2 ，可知 1 = 2 =0，且 由此解得 和 这时的边缘密度 ，-x+ 设二维随机变量(X，Y)在区域 上服从均匀，令 （分数：11.01）(1).写出(X，Y)的概率密度（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 解析 (X，Y)的概率密度 f 1 (x，y)可用在区域 D 上的均匀分布的概率密度公式直接写出 其中 S D 为区域 D 的面积 (2).请问 U 与 X 是否相互独立?并说明理由（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 PU=0，Xt=PXY，Xt=PYXt 而 当 0t1 时， (3).求 Z=U+X 的分布函数 F(z)（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 当 z0 时，F(z)=0； 当 0z1 时， 当 1x2 时， 当 2z 时，F(z)=1 总之， 解析 Z=U+X 的分布函数 F(z)=PZz=PU+Xz =PU=0，U+Xz+PU=1，U+Xz =PXY，Xz+PXY，Xz-1