【考研类试卷】考研数学三-220及答案解析.doc

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1、考研数学三-220 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若在0，1上有 f(0)=g(0)=0，f(1)=g(1)=a0，且 f“(x)0，g“(x)0，则 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 为概率密度，则 k 的值为( )（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 A 为 mn 矩阵，mn，r（分数：4.00）A.=n，b 为 m 维非零列向量，则非齐次线性方程组 Ax=b( )(A) 必有唯一解B.必定没有解C.必定没有无穷多解D.()、()、()均不正确4.设 f(x)，g(x)在 x0处可导，且 f(x0)=g(x0

2、)=0，f(x 0)g(x0)0，f“(x 0)，g“(x 0)均存在，则( )（分数：4.00）A.x0不是 f(x)g(x)的驻点B.x0是 f(x)g(x)的驻点，但不是极值点C.x0是 f(x)g(x)的驻点，且是 f(x)g(x)的极小值点D.x0是 f(x)g(x)的驻点，且是 f(x)g(x)的极大值点5.设 A 为三阶矩阵，E 为三阶单位阵， 是两个线性无关的 3 维列向量，且 A 的行列式|A|=0，A=，A=，则行列式|A+2E|的值等于( )（分数：4.00）A.0B.18C.6D.246.设曲线 y=f(x)在原点处与 y=sinx 相切，a，b 为常数，且 ab0，则

3、 等于( )（分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 x 的分布函数 F(x)为严格单调增加的连续函数，Y 在区间0，1上服从均匀分布，F -1(y)表示 F(y)的反函数，则随机变量 Z=F-1(y)的分布函数( )（分数：4.00）A.有一个间断点B.有两个间断点C.连续但不同于 X 的分布函数D.连续且与 X 同分布8.设 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 g(x)是微分方程 g(x)+sinxg(x)=cosx 满足初始条件 g(0)=0 的解，则 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 f(x)连续，且当 x0 时， （分

4、数：4.00）填空项 1:_11.设 y=1，y=e x，y=2e x， （分数：4.00）填空项 1:_12.设 f(x，y)连续，且 其中 D 为区域：0x1，0y1，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知向量组 1， 2， 3， 4线性无关，则向量组 2 1+ 2+ 1， 2- 4， 3+ 4， 2+ 3，2 1+ 2- 3的秩为_。（分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 D(X)=D(Y)=2，E(X)=E(Y)=1，则 D(XY)=_。（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)（分数：10.00）(1).对于

5、曲线 y=f(x)，试在横坐标 a 与 a+h 之间找一点 ，使在这点两边阴影部分面积相等(如图 1)。（分数：5.00）_(2).在(1)中设曲线为 y=ex，记 =a+h，其余如(1)所述，求 ，并计算 （分数：5.00）_15.设 求 及 （分数：10.00）_16.求微分方程 y“+y=f(x)满足初始条件 y(0)=0，y(0)=1 的特解，其中连续函数 f(x)满足条件（分数：10.00）_17.设 D:2xx 2+y2，0yx2，求 （分数：10.00）_设 u0=0，u 1=1，u n+1=aun+bun-1(n=1，2，)，其中 a，b 为常数，又设 f(x)= （分数：10

6、.00）(1).试导出 f(x)满足的微分方程；（分数：5.00）_(2).证明：f(x)=-e axf(-x)。（分数：5.00）_设 B 是 mn 矩阵，BB T可逆，A=E-B T(BBT)-1B，其中 E 是 n 阶单位矩阵。（分数：11.01）(1).证明：A T=A。（分数：3.67）_(2).证明：A 2=A。（分数：3.67）_(3).若 r(A)=rn，且 A 可对角化，求行列式|A+E|。（分数：3.67）_已知实二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 的矩阵 A 满足 且 AB-3B=0，其中（分数：11.00）(1).用正交变换 x=Py 化二次型为标准形，并写出

7、所用正交变换及所得标准形；（分数：5.50）_(2).求出二次型 f(x1，x 2，x 3)的具体表达式。（分数：5.50）_设随机变量 X 在区间(0，1)上服从均匀分布，在 X=x(0x1)的条件下，随机变量 Y 在区间(0，x)上服从均匀分布，求：（分数：11.00）(1).条件概率密度 fX|Y(x|y)；（分数：5.50）_(2).概率 PX2+Y21（分数：5.50）_18.设总体 X 的密度函数为 （分数：11.00）_考研数学三-220 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若在0，1上有 f(0)=g(0)=0，f(

8、1)=g(1)=a0，且 f“(x)0，g“(x)0，则 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 由 f“(x)0，g“(x)0 知，f(x)，g(x)在区间0，1上分别是凹、凸曲线弧，所以*，故应选(C)。2.设 为概率密度，则 k 的值为( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：详解 由*得*评注 *3.设 A 为 mn 矩阵，mn，r（分数：4.00）A.=n，b 为 m 维非零列向量，则非齐次线性方程组 Ax=b( )(A) 必有唯一解B.必定没有解C.必定没有无穷多解 D.()、()、()均不正确解析：详解 Ax=b 有解*r(A)=r(A，b)。当 r(A)=n 时，

9、A 的列向量组线性无关，于是 r(A，b)=n 或 n+1，因此 Ax=b 要么有唯一解，要么没有解，即选(C)。4.设 f(x)，g(x)在 x0处可导，且 f(x0)=g(x0)=0，f(x 0)g(x0)0，f“(x 0)，g“(x 0)均存在，则( )（分数：4.00）A.x0不是 f(x)g(x)的驻点B.x0是 f(x)g(x)的驻点，但不是极值点C.x0是 f(x)g(x)的驻点，且是 f(x)g(x)的极小值点 D.x0是 f(x)g(x)的驻点，且是 f(x)g(x)的极大值点解析：分析 直接用第二充要条件判定即可详解 设 y=f(x)g(x)，则y=f(x)g(x)+f(x

10、)g(x)，y“=f“(x)g(x)+2f(x)g(x)+f(x)g“(x)由此知 y(x 0)=0，y“(x 0)=2f(x0)g(x0)0，所以 x0是 y=f(x)g(x)的驻点且是极小值点，故应选(C)。评注 本题也可用取特殊值法得到答案：令 f(x)=g(x)=x，x 0=0，则可排除(A)、(B)、(D)，故应选(C)。5.设 A 为三阶矩阵，E 为三阶单位阵， 是两个线性无关的 3 维列向量，且 A 的行列式|A|=0，A=，A=，则行列式|A+2E|的值等于( )（分数：4.00）A.0B.18C.6 D.24解析：详解 由|A|=0，得 A 有特征值 1=0，又 A=，A=，

11、于是A(+)=A+A=+=+，A(-)=A-A=-=-(-)， 线性无关，从而 +0，-0，故 2=1， 3=-1 为 A 的另外两个特征值，A+2E 的 3 个特征值为 1=2， 2=3， 3=1，|A+2E|=231=6，即选(C)。6.设曲线 y=f(x)在原点处与 y=sinx 相切，a，b 为常数，且 ab0，则 等于( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 已知曲线 y=f(x)在原点处与 y=sinx 相切，相当于已知 f(x)在点 x=0 处的函数值 f(0)与导数值 f(0)，再根据导数的定义即可得要求的极限。详解 由题设知，f(0)=sin0=0，*7.设随机变

12、量 x 的分布函数 F(x)为严格单调增加的连续函数，Y 在区间0，1上服从均匀分布，F -1(y)表示 F(y)的反函数，则随机变量 Z=F-1(y)的分布函数( )（分数：4.00）A.有一个间断点B.有两个间断点C.连续但不同于 X 的分布函数D.连续且与 X 同分布 解析：详解 因 Y 服从0，1上的均匀分布，于是 Y 的分布函数为*Z=F-1(Y)的分布函数为H(z)=P(Zz)=Pr-1(Y)z=PyF(z)(F(x)严格单调增加)=G(F(z)因为 0F(z)1，故 G(F(z)=F(z)即 Z 与 X 有相同的分布函数8.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 因为

13、*所以应选(B)。二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 g(x)是微分方程 g(x)+sinxg(x)=cosx 满足初始条件 g(0)=0 的解，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：分析 极限*相当于 g(x)在点 x=0 处的导数值。详解 因为*，而由 g(x)+sinxg(x)=cosx 知 g(0)=1，故*10.设 f(x)连续，且当 x0 时， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 由等价无穷小的定义及洛必达法则有*故*11.设 y=1，y=e x，y=2e x， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y“-y=

14、0）解析：详解 在解 1，e x，2e x，*中，2e x=2ex，*可见 2ex，*不是方程的独立解，而*常数，知 1 和 ex是方程的两个线性无关的解，1 和 ex对应的特征根分别为 0 和 1，因而对应的特征方程为 r(r-1)=r2-r=0，故对应的二阶常系数线性微分方程为 y“-y=0。12.设 f(x，y)连续，且 其中 D 为区域：0x1，0y1，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 注意*为常数，只需确定此常数即可。详解 令*有*于是*即有*可见*故*因此选(C)。评注 类似问题也可从含有定积分的等式来考查，如已知 f(x)=g(x)+*求 f(x)

15、。13.已知向量组 1， 2， 3， 4线性无关，则向量组 2 1+ 2+ 1， 2- 4， 3+ 4， 2+ 3，2 1+ 2- 3的秩为_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：详解 不妨设向量组为列向量组由分块矩阵的运算得B=(2 1+ 2+ 4， 2- 4， 3+ 4， 2+ 3，2 1+ 2- 3)=( 1， 2， 3， 4)*又 1， 2， 3， 4线性无关，于是 r( 1， 2， 3， 4)=4，故*14.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 D(X)=D(Y)=2，E(X)=E(Y)=1，则 D(XY)=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：8）解

16、析：详解 E(X 2)=D(X)+E2(X)=3E(Y2)=D(Y)+E2(Y)=3D(XX)=E(XY)2-E2(XY)=E(X2)E(Y2)-E2(X)E2(Y)=33-11=8三、解答题(总题数：9，分数：94.00)（分数：10.00）(1).对于曲线 y=f(x)，试在横坐标 a 与 a+h 之间找一点 ，使在这点两边阴影部分面积相等(如图 1)。（分数：5.00）_正确答案：(由题意应用*由此可解得*故 的存在性得证。)解析：分析 根据题意，列出关系式，可直接求出 S，从而证明存在性；(2).在(1)中设曲线为 y=ex，记 =a+h，其余如(1)所述，求 ，并计算 （分数：5.0

17、0）_正确答案：(当 f(x)=ex时，*故*解得*于是*)解析：分析 根据题意，列出关系式，可直接求出 S，从而证明存在性；(2)将 f(x)=ex代入(1)中求出，再求极限即可。评注 本题将介值直接表示出来，再求介值的极限，尽管计算过程并不复杂，但综合考查了积分的几何意义、介值及其极限。15.设 求 及 （分数：10.00）_正确答案：(由复合函数概念知，当 x-1 时，f(x)=1-x 20，故ff(x)=1-f(x)2=1-(1-x2)2=2x2-x4，当-1x0 时，f(x)=1-x20，故ff(x)=1+f(x)=1+(1-x2)=2-x2，当 x0 时，f(x)=1+x0，故ff

18、(x)=1+f(x)=1+(1+x)=2+x，综上有*于是，当 x-1 时，*当-1x0 时，*当 x0 时，*从而*)解析：16.求微分方程 y“+y=f(x)满足初始条件 y(0)=0，y(0)=1 的特解，其中连续函数 f(x)满足条件（分数：10.00）_正确答案：(因为*于是题设条件可表为*两边对 x 求导，得*两边对 x 求导，整理可得f“(x)+f(x)=-sinx，且 f(0)=0，f(0)=1解上述方程组得*可见原方程为*对应齐次方程通解为 Y=C1cosx+C2 sinx，且特解可设为y*=x(b1x+b2)cosx+x(b3x+b4)sinx代入方程后得*再根据初始条件

19、y(0)=0，y(0)=1 得所求解为*)解析：17.设 D:2xx 2+y2，0yx2，求 （分数：10.00）_正确答案：(D 如图 3 所示，采用极坐标，x 2+y2=2x 的极坐标方程为 r=2cos，x=2 的极坐标方程为r=2sec，y=x 的极坐标方程为*故*)解析：设 u0=0，u 1=1，u n+1=aun+bun-1(n=1，2，)，其中 a，b 为常数，又设 f(x)= （分数：10.00）(1).试导出 f(x)满足的微分方程；（分数：5.00）_正确答案：(*由 u n+1=aun+bun-1，得 f“(x)-af(x)-bf(x)=0， f(0)=u0=0，f(0)

20、=u 1=1 )解析：分析 对 f(x)逐项求导，再利用已知条件 un+1=aun+bun-1，这里 un相差二阶，可以预期要对 f(x)求二阶导数，得关于 f(x)的二阶微分方程；(2).证明：f(x)=-e axf(-x)。（分数：5.00）_正确答案：(令 g(x)=-e axf(-x)，g(x)=-aeaxf(-x)+eaxf(-x)，g“(x)=-a2eaxf(-x)+2aeaxf(-x)-eaxf“(-x)，故 g“(x)-ag(x)-bg(x)=-e axf“(-x)-af(-x)-bf(-x)=0即 g(x)满足微分方程又 g(0)=-f(0)=0，g(0)=-af(0)+f(

21、0)=1，故 g(x)也满足初始条件，因此 g(x)=f(x)，即 f(x)=-e axf(-x)。)解析：分析 可令 g(x)=-eaxf(-x)，满足与 f(x)相同的微分方程及初始条件，从而 f(x)=g(x)。评注 微分方程满足初始条件的解是唯一确定的，由无穷级数引出微分方程是一类重要题型。设 B 是 mn 矩阵，BB T可逆，A=E-B T(BBT)-1B，其中 E 是 n 阶单位矩阵。（分数：11.01）(1).证明：A T=A。（分数：3.67）_正确答案：(A T=E-BT(BBT)-1BT=ET-BT(BBT)-1BT=E-BT(BBT)-1T(BT)T=E-BT(BBT)T

22、-1B=E-BT(BBT)-1B=A)解析：(2).证明：A 2=A。（分数：3.67）_正确答案：(A 2=E-BT(BBT)-1BE-BT(BBT)-1B=E-2BT(BBT)-1B+BT(BBT)-1BBT(BBT)-1B=E-2BT(BBT)-1B+BT(BBT)-1B=A)解析：(3).若 r(A)=rn，且 A 可对角化，求行列式|A+E|。（分数：3.67）_正确答案：(设 Ax=x，x0，则由 A2=A，知 2=，即 =0 或 1，又存在可逆矩阵 P，使* i=0 或 1由 r(A)=r 知，*(有 r 个 1)于是 P -1(A+E)P=*故 |A+E|=*)解析：已知实二次

23、型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 的矩阵 A 满足 且 AB-3B=0，其中（分数：11.00）(1).用正交变换 x=Py 化二次型为标准形，并写出所用正交变换及所得标准形；（分数：5.50）_正确答案：(由*|2E-A|=0，知矩阵 A 有特征值 1=2，令 B=( 1， 2， 3)，由 AB-3B=0 知 B 的每一列 j，满足 A j-3 j=0，即 A j=3 j，j=1，2，3。显然 B 的第 1，2 列*线性无关，是属于 A 的特征值 =3 的线性无关特征向量，从而知 A 有二重特征值 2= 3=3。设 1=2 对应的特征向量为*，则 1与 1， 2正交，于是有*解得 3

24、=-1，0，1 T，将 1， 2正交化得：*再将正交向量组 1， 2， 3单位化得正交单位向量组：*令 P= 1， 2， 3，则正交变换 x=Py 化二次型为标准形*)解析：(2).求出二次型 f(x1，x 2，x 3)的具体表达式。（分数：5.50）_正确答案：(因*，所以*故二次型*)解析：设随机变量 X 在区间(0，1)上服从均匀分布，在 X=x(0x1)的条件下，随机变量 Y 在区间(0，x)上服从均匀分布，求：（分数：11.00）(1).条件概率密度 fX|Y(x|y)；（分数：5.50）_正确答案：(X 的概率密度与在 X=x(0x1)的条件下 Y 的条件概率密度分别为：*故，当

25、0yx1 时，随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为*在其他点(x，y)处，有 f(x，y)=0，即*当 03，1 时，Y 的概率密度为*当 y0 或 y1 时，f Y(y)=O因此*从而，当 0y1 时，条件概率密度*)解析：(2).概率 PX2+Y21（分数：5.50）_正确答案：(*其中区域 D：*)解析：18.设总体 X 的密度函数为 （分数：11.00）_正确答案：(1) 因为似然函数为*于是*由可知 lnL 关于 单调增加，即 L(x1，x n；，)关于 单调增加，又因为 *，故 的最大似然估计为*，另外，由式，得*令*即得 的最大似然估计量为*(2) 因为*于是令*解得*因此 与 的矩估计值为*)解析：