【考研类试卷】考研数学一-442及答案解析.doc

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1、考研数学一-442 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：6.00)1.设 y=y(x)满足 ，且有 y(1)=1，则 （分数：1.00）2.微分方程 （分数：1.00）3.微分方程 yy“-2(y“) 2 =0 的通解为 1 （分数：1.00）4.微分方程 （分数：1.00）5.以 y=C 1 e x +e x (C 2 cosx+C 3 sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为 1 （分数：1.00）6.设 y(x)为微分方程 y“-4y“+4y=0 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=2 的特解，则 （分数：1.00）二、选择题(总

2、题数：3，分数：3.00)7.设 y(x)是微分方程 y“+(x-1)y“+x 2 y=e x 满足初始条件 y(0)=0，y“(0)=1 的解，则 （分数：1.00）A.等于 1B.等于 2C.等于 0D.不存在8.二阶常系数非齐次线性微分方程 y“-2y“-3y=(2x+1)e -x 的特解形式为_ A.(ax+b)e-x B.x2e-x C.x2(ax+b)e-x D.x(ax+b)e-x（分数：1.00）A.B.C.D.9.设 1 (x)， 2 (x)， 3 (x)为二阶非齐次线性方程 y“+a 1 (x)y“+a 2 (x)y=f(x)的三个线性 无关解，则该方程的通解为 _ （分数

3、：1.00）A.C11(x)+2(x)+C23(x)B.C11(x)-2(x)+C23(x)C.C11(x)+2(x)+C21(x)-3(x)D.C11(x)+C22(x)+C33(x)，其中 C1+C2+C3=1三、解答题(总题数：27，分数：91.00)设 f(x)是连续函数（分数：4.00）(1).求初值问题 （分数：2.00）_(2).若|f(x)|k，证明：当 x0 时，有 （分数：2.00）_10.设有微分方程 y“-2y=(x)，其中 （分数：4.00）_11.设 f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f“(0)=1，且xy(x+y)-f(x)ydx+f“(x)+x 2 ydy=0

4、 为全微分方程，求 f(x)及该全微分方程的通解 （分数：4.00）_12.利用变换 x=arctant 将方程 （分数：4.00）_13.设 f(x)为偶函数，且满足 （分数：4.00）_14.设二阶常系数线性微分方程 y“+ay“+by=ce x 有特解 y=e 2x +(1+x)e x ，确定常数 a，b，C，并求该方程的通解 （分数：4.00）_15.设 且二阶连续可导，又 （分数：4.00）_设函数 f(x)在0，+)内可导，f(0)=1，且 （分数：4.00）(1).求 f“(x)；（分数：2.00）_(2).证明：当 x0 时，e -x f(x)1（分数：2.00）_16.设 y

5、=y(x)二阶可导，且 y“0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数 (1)将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)所满足的微分方程； (2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0， （分数：4.00）_17.设函数 f(x，y)可微， ，且 （分数：4.00）_设函数 f(x)(x0)可微，且 f(x)0将曲线 y=f(x)，x=1，x=a(a1)及 x 轴所围成平面图形绕 x 轴旋转一周得旋转体体积为 若 （分数：3.00）(1).f(x)；（分数：1.50）_(2).f(x)的极值（分数：1.50）_设函数 f(x)满足 xf“(x)-2f(x)=-x，且由曲线 y=

6、f(x)，x=1 及 x 轴(x0)所围成的平面图形为 D若 D 绕x 轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：（分数：3.00）(1).曲线 y=f(x)；（分数：1.50）_(2).曲线在原点处的切线与曲线及直线 x=1 所围成的平面图形的面积（分数：1.50）_18.位于上半平面的上凹曲线 y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x，y)处的曲率与 及 1+y“ 2 之积成反比，比例系数为 （分数：3.00）_19.设 y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 （分数：3.00）_飞机以匀速 v 沿 y 轴正向飞行，当飞机行至 O 时被发现，随即

7、从 x 轴上(x 0 ，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(x 0 0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为 2v（分数：3.00）(1).求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件；（分数：1.50）_20.细菌的增长率与总数成正比如果培养的细菌总数在 24 小时内由 100 增长到 400，求前 12 小时后的细菌总数 （分数：3.00）_21.某湖泊水量为 V，每年排入湖泊中内含污染物 A 的污水量为 ，流入湖泊内不含 A 的水量为 ，流出湖的水量为 设 1999 年底湖中 A 的含量为 5m 0 ，超过国家规定指标为了治理污染，从 2000 年初开始，限定排入湖中含 A 污水的浓度不超过 （

8、分数：3.00）_22.在 t=0 时，两只桶内各装 10L 的盐水，盐的浓度为 15g/L，用管子以 2L/rmn 的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以 2L/min 的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用 1L/min 的速度输出求在任意时刻 t0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程 （分数：3.00）_23.某人的食量是 2500 卡/天，其中 1200 卡/天用于基本的新陈代谢在健身运动中，他所消耗的为 16 卡/千克/天乘以他的体重假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量 10000 卡，求该人体重怎样随时间变化 （分数：3

9、.00）_24.一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长 18m，运动开始时链条一边下垂 8m，另一边下垂10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间? （分数：3.00）_25.质量为 1g 的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比，在 t=10s 时，速度等于 50cm/s外力为 39.2cm/s 2 ，问运动开始 1min 后的速度是多少? （分数：3.00）_26.设非负函数 f(x)当 x0 时连续可微，且 f(0)=1由 y=f(x)，x 轴，y 轴及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线围成的图形的面积与 y=f(x)在0，x上弧的长度相等，求 f(x) （

10、分数：3.00）_27.设函数 f(x)二阶连续可导，f(0)=1 且有 （分数：3.00）_28.高度为 h(t)(t 为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足 （分数：3.00）_29.早晨开始下雪，整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午 2 点扫雪 2km，到下午 4 点又扫雪 1km，问降雪是什么时候开始的? （分数：3.00）_30.设 A 从原点出发，以固定速度 v 0 沿 y 轴正向行驶，B 从(x 0 ，0)出发(x 0 0)，以始终指向点 A 的固定速度 v 1 朝 A 追去，求 B 的轨迹方程 （分数：3.00）_31.飞机在机场开始滑行着陆，在着陆时刻

11、已失去垂直速度，水平速度为 v 0 (m/s)，飞机与地面的摩擦系数为 ，且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比，在水平方向的比例系数为 k x (kgs 2 /m 2 )，在垂直方向的比例系数为 k y (kgs 2 /m 2 )设飞机的质量为 m(kg)，求飞机从着陆到停止所需要的时间 （分数：3.00）_考研数学一-442 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：6.00)1.设 y=y(x)满足 ，且有 y(1)=1，则 （分数：1.00）解析： 解析 由 得函数 y=y(x)可微且 ，积分得 ，因为 y(1)=1，所以 C=0， 于是

12、，故 2.微分方程 （分数：1.00）解析： 解析 由 ，得 ，即 ， 令 z=e y ，则 ，解得 所以原方程的通解为 3.微分方程 yy“-2(y“) 2 =0 的通解为 1 （分数：1.00）解析：y=C 或者 解析 令 y“=p，得 ，代入原方程得 则 p=0，或 当 p=0 时，y=C； 当 时， ，即 由 ，得 ，从而 ，所以原方程的通解为 y=C 或者 4.微分方程 （分数：1.00）解析： 解析 所以 5.以 y=C 1 e x +e x (C 2 cosx+C 3 sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为 1 （分数：1.00）解析：y“-3y“+4y“-2y=0 解析

13、 特征值为 1 =1， 2，3 =1i，特征方程为(-1)(-1+i)(-1-i)=0，即 3 -3 2 +4-2=0，所求方程为 y“-3y“+4y“-2y=06.设 y(x)为微分方程 y“-4y“+4y=0 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=2 的特解，则 （分数：1.00）解析： 解析 y“-4y“+4y=0 的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e 2x ， 由初始条件 y(0)=1，y“(0)=2 得 C 1 =1，C 2 =0，则 y=e 2x ， 于是 二、选择题(总题数：3，分数：3.00)7.设 y(x)是微分方程 y“+(x-1)y“+x 2 y=e x 满足初始条

14、件 y(0)=0，y“(0)=1 的解，则 （分数：1.00）A.等于 1 B.等于 2C.等于 0D.不存在解析：解析 微分方程 y“+(x-1)y“+x 2 y=e x 中，令 x=0，则 y“(0)=2， 于是 8.二阶常系数非齐次线性微分方程 y“-2y“-3y=(2x+1)e -x 的特解形式为_ A.(ax+b)e-x B.x2e-x C.x2(ax+b)e-x D.x(ax+b)e-x（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 方程 y“-2y“-3y=(2x+1)e -x 的特征方程为 2 -2-3=0，特征值为 1 =-1， 2 =3，故方程 y“-2y“-3y=(2x+

15、1)e -x 的特解形式为 x(ax+b)e -x ，选 D9.设 1 (x)， 2 (x)， 3 (x)为二阶非齐次线性方程 y“+a 1 (x)y“+a 2 (x)y=f(x)的三个线性 无关解，则该方程的通解为 _ （分数：1.00）A.C11(x)+2(x)+C23(x)B.C11(x)-2(x)+C23(x)C.C11(x)+2(x)+C21(x)-3(x)D.C11(x)+C22(x)+C33(x)，其中 C1+C2+C3=1 解析：解析 因为 1 (x)， 2 (x)， 3 (x)为方程 y“+a 1 (x)y“+a 2 (x)y=f(x)的三个线性无关解， 所以 1 (x)-

16、3 (x)， 2 (x)- 3 (x)为方程 y“+a 1 (x)y“+a 2 (x)y=0 的两个线性无关解， 于是方程 y“+a 1 (x)y“+a 2 (x)y=f(x)的通解为 C 1 1 (x)- 3 (x)+C 2 2 (x)- 3 (x)+ 3 (x) 即 C 1 1 (x)+C 2 2 (x)+C 3 3 (x)，其中 C 3 =1-C 1 -C 2 或 C 1 +C 2 +C 3 =1，选 D三、解答题(总题数：27，分数：91.00)设 f(x)是连续函数（分数：4.00）(1).求初值问题 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 y“+ay=f(x)的通解为 ， 由

17、y(0)=0 得 C=0，所以 (2).若|f(x)|k，证明：当 x0 时，有 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 当 x0 时，10.设有微分方程 y“-2y=(x)，其中 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 当 x1 时，y“-2y=2 的通解为 y=C 1 e 2x -1，由 y(0)=0 得 C 1 =1，y=e 2x -1； 当 x1 时，y“-2y=0 的通解为 y=C 2 e 2x ，根据给定的条件， y(1+0)=C 2 e 2 =y(1-0)=e 2 -1，解得 C 2 =1-e -2 ，y=(1-e -2 )e 2x ， 补充定义 y(1)=e 2 -1

18、，则得在(-，+)内连续且满足微分方程的函数 11.设 f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f“(0)=1，且xy(x+y)-f(x)ydx+f“(x)+x 2 ydy=0 为全微分方程，求 f(x)及该全微分方程的通解 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 P(x，y)=xy(x+y)-f(x)y，Q(x，y)=f“(x)+x 2 y，因为xy(x+y)-f(x)ydx+f“(x)+x 2 ydy=0 为全微分方程，所以 ，即 f“(x)+f(x)=x2， 解得 f(x)=C 1 cosx+C 2 sinx+x 2 -2，由 f(0)=0，f“(0)=1 得 C 1 =2，C 2

19、=1 所以 f(x)=2cosx+sinx+x 2 -2 原方程为xy 2 -(2cosx+sinx)y+2ydx+(-2sinx+cosx+2x+x 2 y)dy=0，整理得 (xy 2 dx+x 2 ydy)+2(ydx+xdy)-2(ycosxdx+sinxdy)+(-ysinxdx+cosxdy)=0， 即 原方程的通解为 12.利用变换 x=arctant 将方程 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 代入整理得 的特征方程为 2 +2+1=0，特征值为 1 = 2 =-1， 则 13.设 f(x)为偶函数，且满足 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 则有 ，因为 f(

20、x)为偶函数，所以 f“(x)是奇函数， 于是 f“(0)=0，代入上式得 f(0)=1 将 14.设二阶常系数线性微分方程 y“+ay“+by=ce x 有特解 y=e 2x +(1+x)e x ，确定常数 a，b，C，并求该方程的通解 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 将 y=e 2x +(1+x)e x 代入原方程得 (4+2a+b)e 2x +(3+2a+b)e x +(1+a+b)xe x =ce x ，则有 15.设 且二阶连续可导，又 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 得 f(1)=0，f“(1)=2，令 ，则 同理 由 得 或 rf“(r)+f“(r)=

21、0， 解得 rf“(r)=C 1 ，由 f“(1)=2 得 C 1 =2，于是 设函数 f(x)在0，+)内可导，f(0)=1，且 （分数：4.00）(1).求 f“(x)；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 (x+1)f“(x)+(x+1)f(x)- =0，两边求导数，得 再由 f(0)=1，f“(0)+f(0)=0，得 f“(0)=-1，所以 C=-1，于是 (2).证明：当 x0 时，e -x f(x)1（分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 当 x0 时，因为 f“(x)0 且 f(0)=1，所以 f(x)f(0)=1 令 g(x)=f(x)-e -x ，g(0)=0，g

22、“(x)=f“(x)+e -x = 0， 由 16.设 y=y(x)二阶可导，且 y“0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数 (1)将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)所满足的微分方程； (2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0， （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 代入原方程得 y“-y=sinx，特征方程为 r 2 -1=0，特征根为 r 1，2 =1，因为 i 不是特征值，所以设特解为 y * =acosx+bsinx，代入方程得 a=0， ，故 ，于是方程的通解为 ，由初始条件得 C 1 =1，C 2 =-1，满足初始条件的特解为 17.设函数 f

23、(x，y)可微， ，且 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 由 ，得 C=0，即 f(0，y)=siny 又由 设函数 f(x)(x0)可微，且 f(x)0将曲线 y=f(x)，x=1，x=a(a1)及 x 轴所围成平面图形绕 x 轴旋转一周得旋转体体积为 若 （分数：3.00）(1).f(x)；（分数：1.50）_正确答案：()解析：解 由题设知， ，两边对 a 求导，得 令 ，即 ，由 ，得 c=-1，所以 (2).f(x)的极值（分数：1.50）_正确答案：()解析：解 因为 令 f“(x)=0，得 又因为 ，所以 设函数 f(x)满足 xf“(x)-2f(x)=-x，且由曲

24、线 y=f(x)，x=1 及 x 轴(x0)所围成的平面图形为 D若 D 绕x 轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：（分数：3.00）(1).曲线 y=f(x)；（分数：1.50）_正确答案：()解析：解 由 xf“(x)-2f(x)=-x f(x)- =-1 f(x)=x+cx 2 设平面图形 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V，则 因为 ，所以 为 V(c)的最小值点，且曲线方程为 (2).曲线在原点处的切线与曲线及直线 x=1 所围成的平面图形的面积（分数：1.50）_正确答案：()解析：解 ，f“(0)=1，曲线 在原点处的切线方程为 y=x，则18.位于上半平面的上凹曲线 y

25、=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x，y)处的曲率与 及 1+y“ 2 之积成反比，比例系数为 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 根据题意得 令 y“=p，则有 因为 p(2)=0，所以 C 1 =0，故 ， 进一步解得 ， 因为 y(0)=2，所以 C 2 =0，故曲线方程为 19.设 y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为曲线是上凸的，所以 y“0，由题设得 令 y“=p， ，则有 因为曲线 y=y(x)在点(0，1)处的切线方程为 y=x+1，所以 p| x=0 =1，从而

26、y“= ，积分得 因为曲线过点(0，1)，所以 ， 所求曲线为 因为 ，所以当 时函数取得极大值 飞机以匀速 v 沿 y 轴正向飞行，当飞机行至 O 时被发现，随即从 x 轴上(x 0 ，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(x 0 0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为 2v（分数：3.00）(1).求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件；（分数：1.50）_正确答案：()解析：解 设 t 时刻导弹的位置为 M(x，y)，根据题意得 ，即 ，两边对 x 求导数得 又 所以导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件为 _正确答案：()解析：解 令 则 解得 进一步解得 故轨迹方程为 20.细菌的增长率

27、与总数成正比如果培养的细菌总数在 24 小时内由 100 增长到 400，求前 12 小时后的细菌总数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 设 t 时刻细菌总数为 S，则有 ，S(0)=100，S(24)=400， 所以 21.某湖泊水量为 V，每年排入湖泊中内含污染物 A 的污水量为 ，流入湖泊内不含 A 的水量为 ，流出湖的水量为 设 1999 年底湖中 A 的含量为 5m 0 ，超过国家规定指标为了治理污染，从 2000 年初开始，限定排入湖中含 A 污水的浓度不超过 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 设从 2000 年初开始，第 t 年湖中污染物 A 的总量为 m，则

28、浓度为 ，任取时间元素t，t+dt，排入湖中污染物 A 的含量为 ，流出湖的污染物 A 的含量为 ，则在此时间元素内污染物 A 的改变量为 解得 ，又由 m(0)=5m 0 ，得 ，于是 22.在 t=0 时，两只桶内各装 10L 的盐水，盐的浓度为 15g/L，用管子以 2L/rmn 的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以 2L/min 的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用 1L/min 的速度输出求在任意时刻 t0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 设在任意时刻 t0，第一只桶和第二只桶内含盐分别为

29、m 1 (t)，m 2 (t)，在时间t，t+dt内有 ，即 ，且满足初始条件 m 1 (0)=150， 解得 ；在时间t，t+dt内有 ，即 23.某人的食量是 2500 卡/天，其中 1200 卡/天用于基本的新陈代谢在健身运动中，他所消耗的为 16 卡/千克/天乘以他的体重假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量 10000 卡，求该人体重怎样随时间变化 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 输入率为 2500 卡/天，输出率为(1200+16w)，其中 w 为体重，根据题意得 ， 由 ，得 ，代入初始条件得 ， 于是 24.一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条

30、长 18m，运动开始时链条一边下垂 8m，另一边下垂10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间? （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 设链条的线密度为 p，取 x 轴正向为垂直向下，设 t 时刻链条下垂 x(t)m，则下垂那段的长度为(10+x)m，另一段长度为(8-x)m，此时链条受到的重力为 (10+x)g-(8-x)g=2(x+1)g 链条的总重量为 18，由牛顿第二定理 F=ma 得 即 ，且 x(0)=0，x“(0)=0， 解得 ，当链条滑过整个钉子时，x=8， 由 25.质量为 1g 的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比，在 t=10s 时，速度

31、等于 50cm/s外力为 39.2cm/s 2 ，问运动开始 1min 后的速度是多少? （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由题意得 ，因为当 t=10 时，v=50，F=39.2，所以 k=196， 从而 ，又因为 ，所以挈一 196 三，分离变量得 vdv=196tdt， 所以 ，由 v| t=10 =50，得 C=-8550， 于是 26.设非负函数 f(x)当 x0 时连续可微，且 f(0)=1由 y=f(x)，x 轴，y 轴及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线围成的图形的面积与 y=f(x)在0，x上弧的长度相等，求 f(x) （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 根据题意得 所以 分离变量得 积分得 ，或者 ， 由 y(0)=1，得 C=1，所以 ，解得 27.设函数 f(x)二阶连续可导，f(0)=1 且有 （分数：3.00）_