【考研类试卷】考研数学一-402 (1)及答案解析.doc

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1、考研数学一-402 (1)及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知当 x0 时，f(x)=arcsinx-arctanax 与 g(x)=bxx-ln(1+x)是等价无穷小，则（分数：4.00）A.a=b=1B.a=1，b=2C.a=2，b=1D.a=b12.设 ，则下列结论错误的是 A 与 至少有一个成立 Bx n )与y n )中至少有一个为无界变量 C若x n )是无穷小量，则y n )必为无界变量 D若 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设有命题 若 收敛，则 收敛 若正项级数 满足 ，则 收敛 若 ，则 与 同敛散

2、若 a n b n c n (n=1，2，)且 与 都收敛，则 （分数：4.00）A.0B.1C.2D.34.设曲面 ，并取上侧，则不等于零的积分为 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.已知 A 是 3 阶矩阵且 ，则 （分数：4.00）A.16B.-16C.256D.-2566.已知 =(1，-3，2) T ，=(0，1，-1) T ，矩阵 A=2 T +7E，则矩阵 A 的最小特征值的特征向量是（分数：4.00）ABC.+D.-7.设随机变量 X i B(1，p i )，(i=1，2)，它们的分布为 F i (x)已知有一点 x=x 0 处 F 1 (x 0 )F 2 (

3、x 0 )，则（分数：4.00）A.p1p2B.p1p2C.p1=p2D.p1+p2=18.设二维随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，设 XN(0，1)，且 Y=X，已知 （分数：4.00）A.a=0，b=0B.a=0，b0C.a=0，b0D.min(a，b)=0二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知曲线 y=f(x)与 y=sin2x 在原点处相切，则 （分数：4.00）10.设 为圆柱面 x 2 +y 2 =4(0z1)，则 （分数：4.00）11.函数 f(x)=ln|(x-1)(x-2)(x-2014)|的驻点个数为 1 （分数：4.00）12.设 L 是单位圆周

4、 x 2 +y 2 =1，n 为 L 的外法线向量， ，则 （分数：4.00）13.设 （分数：4.00）14.设来自总体 X 的简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n ，总体 X 的概率分布为 ，其中 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.设 f(x)二阶可导，且 （分数：10.00）_17.设函数 ，其中 u=x， ，且函数 z=z(x，y)满足 求证 （分数：10.00）_18.设曲线 L 过点(1，1)，L 上任一点 P(x，y)处的切线交 x 轴于 T，且|PT|=|OT|，试求曲线 L 的方程 （分数：10.00）_

5、19.设 f(x，y)在圆域 x 2 +y 2 1 上二阶连续可微，且满足 （分数：10.00）_20.已知矩阵 与矩阵 （分数：11.00）_21.设 A 是各行元素之和均为 0 的三阶矩阵， 是线性无关的三维列向量，并满足A=3，A=3 ()证明矩阵 A 和对角矩阵相似； ()如 =(0，-1，1) T ，=(1，0，-1) T ，求矩阵 A； ()由()用配方法化二次型 T A 为标准形，并写出所用坐标变换 （分数：11.00）_22.设二维正态随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)已知条件概率密度 （分数：11.00）_23.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自标准正态总体 X

6、 的简单随机样本，记 （分数：11.00）_考研数学一-402 (1)答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知当 x0 时，f(x)=arcsinx-arctanax 与 g(x)=bxx-ln(1+x)是等价无穷小，则（分数：4.00）A.a=b=1 B.a=1，b=2C.a=2，b=1D.a=b1解析：解析 由题设知 则 a=1，此时 2.设 ，则下列结论错误的是 A 与 至少有一个成立 Bx n )与y n )中至少有一个为无界变量 C若x n )是无穷小量，则y n )必为无界变量 D若 （分数：4.00）A. B.C.D.

7、解析：解析 分析一 直接法 令 ， ，则 但 和 都不成立，则 A 是错误的 分析二 排除法 如果x n )与y n 都有界，则x n y n 有界，与题设 矛盾，则 B 是正确的 若y n 为有界变量，由题设x n )是无穷小量，则x n y n 为无穷小量，与题设 矛盾，则 C 正确 若 ， 则 (由于 3.设有命题 若 收敛，则 收敛 若正项级数 满足 ，则 收敛 若 ，则 与 同敛散 若 a n b n c n (n=1，2，)且 与 都收敛，则 （分数：4.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析 不正确事实上若取 ，显然 收敛，但 发散 不正确若取 ，显然 ，但级数 发散 不正确

8、设 ， ，显然 且 收敛，而 发散，这是由于 而 收敛， 发散 是正确的由 a n b n c n 知 0b n-anc n-an由 与 收敛知 收敛，从而 收敛，又 由 4.设曲面 ，并取上侧，则不等于零的积分为 A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由于曲面 关于 yOz 坐标面前后对称，而函数 x 2 关于变量 x 是偶函数，则 同理，曲面 关于坐标面 xOz 左右对称，而函数 z 2 和 z 关于变量 y 都是偶函数，则 5.已知 A 是 3 阶矩阵且 ，则 （分数：4.00）A.16B.-16C.256D.-256 解析：解析 由(kA)*=k n-1 A*

9、知(2A)*=2 2 A*=4A*，又 有 ，以及 A*=|A|A -1 得 6.已知 =(1，-3，2) T ，=(0，1，-1) T ，矩阵 A=2 T +7E，则矩阵 A 的最小特征值的特征向量是（分数：4.00）AB C.+D.-解析：解析 B= T ，则秩 r(B)=1 由 T =-5，知矩阵 B 的特征值是-5，0，0 那么矩阵 A=2B+7E 的特征值是-3，7，7 矩阵 B 关于 =-5 的特征向量就是矩阵 A 关于 =-3 的特征向量 而 B=( T )=( T )=-5， 所以应选 B7.设随机变量 X i B(1，p i )，(i=1，2)，它们的分布为 F i (x)已

10、知有一点 x=x 0 处 F 1 (x 0 )F 2 (x 0 )，则（分数：4.00）A.p1p2B.p1p2 C.p1=p2D.p1+p2=1解析：解析 X i 的分布 ， 分布函数为 8.设二维随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，设 XN(0，1)，且 Y=X，已知 （分数：4.00）A.a=0，b=0B.a=0，b0C.a=0，b0D.min(a，b)=0 解析：解析 设标准正态分布的分布函数为 ，则 F(x，y)=PXx，Yy=PXx，Xy =PXmin(x，y)= (min(x，y) 所以， 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知曲线 y=f(x)与 y=si

11、n2x 在原点处相切，则 （分数：4.00）解析： 解析 由曲线 y=f(x)与 y=sin2x 在原点处相切知 f(0)=0，f“(0)=2 10.设 为圆柱面 x 2 +y 2 =4(0z1)，则 （分数：4.00）解析：8 解析 由于曲面 关于 xOz 面左右对称，而 y 关于变量 y 为奇函数，则 由变量对称性知 则 11.函数 f(x)=ln|(x-1)(x-2)(x-2014)|的驻点个数为 1 （分数：4.00）解析：2013 解析 12.设 L 是单位圆周 x 2 +y 2 =1，n 为 L 的外法线向量， ，则 （分数：4.00）解析： 解析 为函数 u 沿曲线 x 2 +y

12、 2 =1 的外法线方向的方向导数，则 13.设 （分数：4.00）解析：(5-2a，-1，2-a，a-1) T ，其中 a1 解析 A=0 解空间是 1 维的向量空间，即 n-r(A)=1 从而秩 r(A)=3对 A 作初等行变换有 可见 r(A)=3 a1 那么 14.设来自总体 X 的简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n ，总体 X 的概率分布为 ，其中 （分数：4.00）解析： 解析 一个参数 的矩估计为 ， EX=-12+0+1(1-3)=1-5 ，解得 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 由于当 n时 ，则 又

13、由于 ， 则 故 16.设 f(x)二阶可导，且 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 当 x1 时，令 1+(x-1)t=u， 则 由 可知，f(1)=0，f“(1=0) 则当 x1 时， 当 x=1 时， 从而 当 x1 时， 当 x=1 时， 由于 f(x)二阶可导，由 “(x)的表达式可知，“(x)在 x1 处连续，又 而 则 则 “(x)在 x=1 处连续，故 “(x)处处连续 解析 首先可利用 17.设函数 ，其中 u=x， ，且函数 z=z(x，y)满足 求证 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 由 及 u=x 知 该式两端对 u 求偏导得 显然 ，等式 ，即

14、两端对 u 求偏导得 则 从而 18.设曲线 L 过点(1，1)，L 上任一点 P(x，y)处的切线交 x 轴于 T，且|PT|=|OT|，试求曲线 L 的方程 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 设曲线 L 的方程为 y=f(x)，则曲线 L 在点 P(x，y)处的切线方程为 Y-f(x)=f“(x)(X-x)令 Y=0，得 由|PT|=|OT|知 整理得 即 令 ，则 y=xu，y“=u+xu“ 即 19.设 f(x，y)在圆域 x 2 +y 2 1 上二阶连续可微，且满足 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 设 C 为单位圆 x 2 +y 2 =1 沿逆时针方向显然

15、设 D 为圆域 x 2 +y 2 1，则由格林公式知 则 解析 要将圆域 x 2 +y 2 1 上的二重积分 与已知条件 20.已知矩阵 与矩阵 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 ()矩阵 A 和 B 等价 A 和 B 均为 mn 矩阵且秩 r(A)=r(B) 对矩阵 A 作初等变换，有 由秩 r(B)=2，知 r(A)=2，故 a=6 ()对矩阵 A 作初等变换化为矩阵 B，有 21.设 A 是各行元素之和均为 0 的三阶矩阵， 是线性无关的三维列向量，并满足A=3，A=3 ()证明矩阵 A 和对角矩阵相似； ()如 =(0，-1，1) T ，=(1，0，-1) T ，求矩阵 A

16、； ()由()用配方法化二次型 T A 为标准形，并写出所用坐标变换 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 ()矩阵 A 各行元素之和均为 0，即 知 0 是矩阵 A 的特征值， 1 =(1，1，1) T 是矩阵 A 属于特征值 =0 的特征向量又 A(+)=3(+)，A(-)=-3(-)且由 ， 线性无关，知 +，- 均不是零向量从而，3 和-3都是矩阵 A 的特征值+，- 分别是 =3 和 =-3 的特征向量，那么矩阵 A 有 3 个不同的特征值，所以 ()当 =(0，-1，1) T ，=(1，0，-1) T 时，按已知有 A( 1 ，)=(0，3，3)， 即 所以 () 令 即

17、有 22.设二维正态随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)已知条件概率密度 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 ()可由性质 ，定出常数 A 也可以把 看成形如 的正态分布 N(， 2 )的概率密度 ，所以 解得 ， ， 由对称性得 ()已知 ， ，所以 由于 ，故可以得出 其中 C 为常数 显然 XN(0，1)，YN(0，1) ，即 ，-x+； ，-y+ () 二维正态密度的一般形式为 对比本题所求出的二维密度，可知 1 = 2 =0， 1 = 2 =1 ，即 2-2 2 =3，2 2 +3-2=0， (2-1)(+2)=0，解得 ， 2 =-2(不可能) 所以 23.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自标准正态总体 X 的简单随机样本，记 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 ()由 和 S 2 的性质： 当 XN(0，1)时， ， ，ES 2 =DX=1 所以 ()ET 2 =DT+(ET) 2 ，由()知 ET=1 已知，当 XN(0，1)时，(n-1)S 2 2 (n-1) 而 所以 总之