【考研类试卷】考研数学一-401及答案解析.doc

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1、考研数学一-401 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.曲线 y=(x-1) 2 (x-3) 2 的拐点个数为_（分数：4.00）A.0B.1C.2D.32.设函数 y=y(x)由参数方程 (t1)所确定，则 =_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.3.直线 l：x-1=y=1-z 在平面 ：x-y+2z-1=0 上的投影直线 l 0 的方程为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设级数 收敛，则级数 （分数：4.00）A.敛散性不定B.条件收敛C.发散D.绝对收敛5.设 A，B 均为 n 阶矩

2、阵，且 AB=A+B，则下列命题中 若 A 可逆，则 B 可逆； 若 A+B 可逆，则 B 可逆； 若 B 可逆，则 A+B 可逆； A-E 恒可逆 正确的有_个（分数：4.00）A.1B.2C.3D.46.设 3 维列向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 = 1 + 2 - 3 ， 2 =3 1 - 2 ， 3 =4 1 - 3 ， 4 =2 1 -2 2 + 3 ，则向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 的秩为_（分数：4.00）A.1B.2C.3D.47.设 X 为随机变量，若矩阵 （分数：4.00）A.X 服从区间0，2的均匀分布B.X 服从二项分布 B(2，0.5)C.X 服从参

3、数为 1 的指数分布D.X 服从正态分布8.设 0P(A)1，0P(B)1， （分数：4.00）A.事件 A 和 B 互不相容B.事件 A 和 B 互相对立C.事件 A 和 B 互不独立D.事件 A 和 B 相互独立二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设曲线 y=f(x)与 y=x 2 -x 在点(1，0)处有公共切线，则 （分数：4.00）10.极限 （分数：4.00）11.设 ，则 在点 （分数：4.00）12.向量场 A=(x 2 -y)i+4zj+x 2 k 的旋度为 1 （分数：4.00）13.设 （分数：4.00）14.设 X 服从参数为 2 的指数分布，则 Y=1-e

4、-2X 的概率密度 f Y (y)= 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知 ，求 （分数：10.00）_16.设 f(x)在a，b上可导，且 f“ + (a)0，f“ - (b)0，证明方程 f“(x)=0 在(a，b)内至少有一个根 （分数：10.00）_(1).计算 （分数：5.00）_(2).求 （分数：5.00）_17.设 为不经过原点的光滑封闭曲面，n 为 上任一点(x，y，z)处的单位外法向量，r=xi+yj+zk，计算曲面积分 （分数：10.00）_18.设函数 f(x，y)在区域 D：x 2 +y 2 1 上有二阶连续偏导数，且 计算二重积

5、分 （分数：10.00）_已知 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，非齐次线性方程组 Ax=b 的通解为(1，1，1，1) T +k 1 (1，0，2，1) T +k 2 (2，1，1，-1) T （分数：11.00）(1).令 B=( 1 ， 2 ， 3 )，求 Bx=b 的通解；（分数：5.50）_(2).令 C=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，b)，求 Cx=b 的通解（分数：5.50）_19.设矩阵 （分数：11.00）_设二维随机变量(X，Y)的概率分布为 （分数：11.01）(1).a，b，c 的值；（分数：3.67）_(2).Z 的概率分布；（分数：3.67）_(3).PX

6、=Z（分数：3.67）_20.设总体 X 的均值 E(X)=，方差 D(X)=2，(X 1 ，X 2 ，X n )为取自 X 的一个简单随机样本，求 与 （分数：11.00）_考研数学一-401 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.曲线 y=(x-1) 2 (x-3) 2 的拐点个数为_（分数：4.00）A.0B.1C.2 D.3解析：考点 导数的几何应用 解析 利用 y“的符号即可判别 解：y“=2(x-1)(x-3) 2 +2(x-1) 2 (x-3)，y“=4(3x 2 -12x+11)=0 解得 y“=0 的两个根，且两根两

7、侧二阶导数符号都变号 故应选 C2.设函数 y=y(x)由参数方程 (t1)所确定，则 =_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 变限函数及参数方程求导数 解析 利用参数方程求导法直接求导数即可 解：由所给参数方程，得 当 x=9 时，由 9=x=1+2t 2 知 t=2(因为 t1)，则 3.直线 l：x-1=y=1-z 在平面 ：x-y+2z-1=0 上的投影直线 l 0 的方程为_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 平面方程与直线方程 解析 先求出过直线 l 且与已知平面 垂直的平面 1 的方程，然后由平面 1 与两面 的方程即可

8、得直线 l 0 的方程 解法一：设经过 l 且垂直于平面 的平面方程为 1 ：A(x-1)+By+C(z-1)=0， 则由条件可知 A-B+2C=0，A+B-C=0， 由此解得 A:B:C=-1:3:2， 于是 1 的方程为 x-3y-2z+1=0 从而 l 0 的方程为 解法二：由于直线 l 方程可写为 所以过 l 的平面方程可设为 x-y-1+(y+z-1)=0， 即 x+(-1)y+z-(1+)=0 由它与平面 垂直，得 1-(-1)+2=0， 解得 =-2 于是经过 l 且垂直于 的平面方程为 x-3y-2z+1=0 从而 l 0 的方程为 4.设级数 收敛，则级数 （分数：4.00）

9、A.敛散性不定B.条件收敛C.发散D.绝对收敛 解析：考点 数项级数敛散性判别 解析 由级数收敛的必要条件推出 ，再由正项级数的比较判别法推导 收敛 解：因为级数 收敛，故 ，即 ，于是有 ，又因为级数 收敛，所以 收敛，即 5.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则下列命题中 若 A 可逆，则 B 可逆； 若 A+B 可逆，则 B 可逆； 若 B 可逆，则 A+B 可逆； A-E 恒可逆 正确的有_个（分数：4.00）A.1B.2C.3D.4 解析：考点 矩阵可逆性的判别 解析 命题、是借助行列式来判别，而是利用定义来判别 解：由于(A-E)B=AB-B=A+B-B=A，若 A

10、可逆，则 B 可逆，即正确 若 A+B 可逆，则|AB|=|A+B|0，则|B|0，即 B 可逆，正确 由于 A(B-E)=B，|A|B-E|=|B|，若 B 可逆，则|A|0，即 A 可逆，从而 A+B=AB 可逆，正确 对于，由 AB=A+B，可得(A-E)(B-E)=E，故 A-E 恒可逆 故应选 D6.设 3 维列向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 = 1 + 2 - 3 ， 2 =3 1 - 2 ， 3 =4 1 - 3 ， 4 =2 1 -2 2 + 3 ，则向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 的秩为_（分数：4.00）A.1B.2 C.3D.4解析：考点 向量组的秩 解析

11、 利用 1 ， 2 ， 3 ， 4 与 1 ， 2 ， 3 之间的线性表示关系求解 解： 由 1 ， 2 ， 3 线性无关，A 可逆，所以，r(B)=r(C) 7.设 X 为随机变量，若矩阵 （分数：4.00）A.X 服从区间0，2的均匀分布 B.X 服从二项分布 B(2，0.5)C.X 服从参数为 1 的指数分布D.X 服从正态分布解析：考点 考查重要分布 解析 利用特征值概念以及重要分布的性质做判断 解：由 8.设 0P(A)1，0P(B)1， （分数：4.00）A.事件 A 和 B 互不相容B.事件 A 和 B 互相对立C.事件 A 和 B 互不独立D.事件 A 和 B 相互独立 解析：

12、考点 考查独立性 解析 利用条件概率公式及独立定义得结论 解：因为 ，所以 ， 即 ， 由条件概率公式得 ，所以 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设曲线 y=f(x)与 y=x 2 -x 在点(1，0)处有公共切线，则 （分数：4.00）解析：-2 考点 导数的几何意义与导数定义 解析 利用有公共切线求出 f(1)、f“(1)，再利用导数定义求出极限值 解：因为曲线 y=f(x)与 y=x 2 -x 在点(1，0)处有公共切线，所以 f(1)=0，f“(1)=1，从而知 10.极限 （分数：4.00）解析： 考点 数列极限 解析 显然乘积(n+1)(n+2)(n+n)无法表达，若

13、简化放大、缩小却得不到相同的极限，只能往定积分方面考虑 解：因为 ，取其对数，得 因此可看成把0，1分成 n 等份，小区间长度为 ，而 可视为函数 ln(1+x)在分点 上的值，因此 所以， 故应填 11.设 ，则 在点 （分数：4.00）解析： 考点 多元复合函数求偏导数值 解析 先由函数关系式求出一阶、二阶偏导函数，再将点 的坐标代入即可 解： ； 于是 故应填 12.向量场 A=(x 2 -y)i+4zj+x 2 k 的旋度为 1 （分数：4.00）解析：-4i-2xj+k 考点 旋度计算 解析 直接利用旋度公式即可 解：由旋度公式得 13.设 （分数：4.00）解析： 考点 伴随矩阵的

14、定义和求解 解析 先求伴随矩阵 A*，进而求得 A*所有元素之和，即为|A|的所有代数余子式之和 解：由于 A*=(A ij )，只要能求出 A 的伴随矩阵，就可求出 因为 A*=|A|A -1 ，而 又由分块矩阵求逆，有 从而 ，故 故应填 14.设 X 服从参数为 2 的指数分布，则 Y=1-e -2X 的概率密度 f Y (y)= 1 （分数：4.00）解析： 考点 考查连续型随机变量函数的分布 解析 利用公式或一般方法求 Y=g(X)的概率密度 解：因为 X 服从以 2 为参数的指数分布，所以 X 的概率密度为 由 Y=1-e -2X 得 ，所以 Y 的概率密度为 故应填 三、解答题(

15、总题数：9，分数：94.00)15.已知 ，求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：因为 所以 ，其中 (x)满足： 整理，得 考点 求函数极限 解析 由已知极限求出函数 f(x)的表达式，将 f(x)的表达式代入 16.设 f(x)在a，b上可导，且 f“ + (a)0，f“ - (b)0，证明方程 f“(x)=0 在(a，b)内至少有一个根 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证：由 ，可知存在 x 0 0，使 a+x 0 (a，b)且 f(a+x 0 )f(a) 同理，由 (1).计算 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：(2).求 （分数：5.00）_正确答案：

16、()解析：设 nxn+1，有 nx(n+1)于是 即 当 n时，由夹逼准则，得 17.设 为不经过原点的光滑封闭曲面，n 为 上任一点(x，y，z)处的单位外法向量，r=xi+yj+zk，计算曲面积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：令 n=cos，cos，cos，其中 ， 为 n 的方向角，则 ，显然(0，0，0)是它们的奇点 当(x，y，z)(0，0，0)时， 同理，有 ，则 若原点(0，0，0)不在封闭曲面三内，则由高斯公式得 其中 是闭曲面 所围的闭区域 若原点(0，0，0)在封闭曲面 内，则作一个半径为 的小球面 1 ，取内侧( 1 在 内)在 和 1 所围的封闭区域

17、1 上，由高斯公式得 由于在- 1 上恒有 x 2 +y 2 +z 2 = 2 ，且 与 r 同向，于是有 即 18.设函数 f(x，y)在区域 D：x 2 +y 2 1 上有二阶连续偏导数，且 计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：令 L：x 2 +y 2 =1(正向)， ， ，则由格林公式得 另外， 以上两式相减，得 已知 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，非齐次线性方程组 Ax=b 的通解为(1，1，1，1) T +k 1 (1，0，2，1) T +k 2 (2，1，1，-1) T （分数：11.00）(1).令 B=( 1 ， 2 ， 3 )，求 Bx=b

18、的通解；（分数：5.50）_正确答案：()解析：先求 Bx=0 的基础解系，为此，首先要找出矩阵 B 的秩 由题目的已知信息可得：Ax=0 的基础解系中含有两个向量，故 4-r(A)=2，也即 r(A)=2，而由(1，0，2，1) T 是 Ax=0 的解可得 1 +2 3 + 4 =0，故 4 =- 1 -2 3 可知 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，故 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=r( 1 ， 2 ， 3 )=r(B)，也即 r(B)=2因此 Bx=0 的基础解系中仅含一个向量，求出 Bx=0 的任一非零解即为其基础解系 由于(1，0，2，1)T，(2，1，1，-1)T 均

19、为 Ax=0 的解，故它们的和(3，1，3，0)T 也为 Ax=0 的解，可知3 1 + 2 +3 3 =0，因此(3，1，3) T 为 Bx=0 的解，也即(3，1，3) T 为 Bx=0 的基础解系 最后，再求 Bx=b 的任何一个特解即可只需使得 Ax=b 的通解中 1 的系数为 0 即可，为此，令(1，1，1，1) T +k 1 (1，0，2，1) T +k 2 (2，1，1，-1) T 中 k 1 =0，k 2 =1，得(3，2，2，0) T 是Ax=b 的一个解，故(3，2，2) T 是 Bx=b 和一个解 可知 Bx=b 的通解为(3，2，2) T +k(3，1，3) T ，kR

20、(2).令 C=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，b)，求 Cx=b 的通解（分数：5.50）_正确答案：()解析：两小题类似，先求 Cx=0 的基础解系 由于 C 即为线性方程组 Ax=b 的增广矩阵，故 r(C)=r(A)=2，可知 Cx=0 的基础解系中含有 5-2=3 个线性无关的解向量，为此，需要找出 Cx=0 的三个线性无关的解 由于(1，0，2，1) T ，(2，1，1，-1) T 均为 Ax=0 的解，可知(1，0，2，1，0) T ，(2，1，1-1，0) T 均为 Cx=0 的解而(1，1，1，1) T 为 Ax=b 的解，可知 1 + 2 + 3 + 4 =b，也即 1

21、+ 2 + 3 + 4 -b=0故(1，1，1，1，-1) T 也为 Cx=0 的解 这样，我们就找到了 Cx=0 的三个解：(1，0，2，1，0) T ，(2，1，1，-1，0) T ，(1，1，1，1，-1) T ，容易验证它们是线性无关的。故它们即为 Cx=0 的基础解系 最后，易知(0，0，0，0，1) T 为 Cx=b 的解，故 Cx=b 的通解为 (0，0，0，0，1) T +k 1 (1，0，2，1，0) T +k 2 (2，1，1，-1，0) T +k 3 (1，1，1，1，-1) T ，k i R，i=1，2，3 考点 求解抽象型线性方程组 解析 对于抽象型线性方程组，通常利

22、用解的结构求解19.设矩阵 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解：由 得 A 的特征值为 2，1，-1因此 A 相似于 进而求得对应于 2，1，-1 的特征向量分别为 令 P=( 1 ， 2 ， 3 )，则有 又因为 B 是下三角矩阵，所以特征值为 2，1，-1B 也相似于 进而求得对应 2，1，-1 的特征向量分别为 令 Q=( 1 ， 2 ， 3 )，则 因此 P -1 AP=Q -1 BQ，所以 B=QP -1 APQ -1 =(PQ -1 ) -1 A(PQ -1 )， 令 设二维随机变量(X，Y)的概率分布为 （分数：11.01）(1).a，b，c 的值；（分数：3.67）_

23、正确答案：()解析：解：由概率分布的性质知 a+0.2+0.1+b+0.2+0.1+c=1，即 a+b+c=0.4 (*) 由(X，Y)的概率分布可写出 X 的边缘概率分布为 X -1 0 1 P a+0.2 b+0.3 c+0.1 故 E(X)=-(a+0.2)+(c+0.1)=-0.2，即 a-c=0.1 (*) 又因 (2).Z 的概率分布；（分数：3.67）_正确答案：()解析：Z 的可能取值为-2，-1，0，1，2，则 PZ=-2=PX=-1，Y=-1=0.2， PZ=-1=PX=-1，Y=0+PX=0，Y=-1=0.1， PZ=0=PX=-1，Y=1+PX=0，Y=0+PX=1，Y=-1=0.3， PZ=1=PX=1，Y=0+PX=0，Y=1=0.3， PZ=2=PX=1，Y=1=0.1 故 Z 的概率分布为 Z -2 -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1 (3).PX=Z（分数：3.67）_正确答案：()解析：PX=Z=PX=X+Y=PY=0=0+0.1+0.1=0.2 考点 考查二维离散型随机变量 解析 由题意确定 a，b，c，利用分布律求概率20.设总体 X 的均值 E(X)=，方差 D(X)=2，(X 1 ，X 2 ，X n )为取自 X 的一个简单随机样本，求 与 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解：