【考研类试卷】考研数学一-171及答案解析.doc

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1、考研数学一-171 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知 54 矩阵 A=( 1， 2， 3， 4)，若 1=(3，1，-2，1) T， 2=(0，1，0，1) T是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，那么下列命题 1， 3线性无关； 1可以由 2， 3线性表出； 3， 4线性无关； 秩 r( 1， 1+ 2， 3- 4)=3中正确的是（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)=(1+x2)x2-1， （分数：4.00）A.B.C.D.3.商店出售 10 台洗衣机，其中恰有 3 台次品现已售出一台洗衣机，在余下的洗衣

2、机中任取两台发现均为正品，则原先售出的一台为次品的概率为（分数：4.00）A.B.C.D.4.设总体 X 服从正态分布 N(， 2)，X 1，X 2，X 25是取自总 Xx 的简单随机样本， 为样本均值，若 则 a=（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 r=(x，y，z)，S：x 2+y2+z2=1，取外侧，则（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 、 均为大于 1 的常数，则级数 （分数：4.00）A.B.C.D.7.下列命题中正确的是（分数：4.00）A.设(x 0，f(x 0)是 y=f(x)的拐点，则 x=x0不是 f(x)的极值点B.设 x=x0是 f(x)的极小值点，f(x)

3、在 x=x0二阶可导，则 f(x0)=0，f“(x 0)0C.若 f(x)在(a，b)只有一个驻点 x0，且 x0是 f(x)的极小值点，则 f(x0)是 f(x)在(a，b)的最小值D.若 f-(b)0，则 f(b)不是 f(x)在a，b的最大值8.a=-5 是齐次方程组 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_10.微分方程 y“+4y=cos2x 的通解为 y=_.（分数：4.00）填空项 1:_11.设为柱面 x2+y2=1 介于 z=0 与 z=2-x 之间部分，有均匀面密度 (常数)，则的质量 M=_（分数

4、：4.00）填空项 1:_12.设 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_14.假设每次试验只有成功与失败两种结果，并且每次试验的成功率都是 p(0P1).现进行重复独立试验直至成功与失败的结果都出现为止，已知试验次数 X 的数学期望 EX=3，则 P=_.（分数：4.00）_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求不定积分 （分数：11.00）_16.设 f(x)在(0，+)内二阶可导，在0，+)有连续的导数，且 f“(x)0(x0)，求证：F(x)（分数：11.00）_17.设 u=u(x，y)由方程组u=f(x，y，z，t)， g(y，

5、z，t)=0， h(z，t)=0所确定，其中 f，g，h 对各变量有连续的偏导数，且求 （分数：11.00）_18.设函数 其中 n=1，2，3，为任意自然数，f(x)为0，+)上正值连续函数求证：()F n(x)在(0，+)存在唯一零点 xn；() 收敛；() （分数：11.00）_19.设()求 其中 C 是椭圆周 取逆时针方向；()分别讨论在 y0 与 x1 且(x，y)(0，0)时，积分 （分数：11.00）_20.已知 A 是 3 阶矩阵， i(i=1，2，3)是 3 维非零列向量，若 A i=i i(i=1，2，3)，令 = 1+ 2+ 3.()证明：，A，A 2 线性无关；()设

6、 P=(，A，A 2)，求 P-1AP（分数：11.00）_21.设二次型矩阵 A 满足 AB=0，其中 （分数：11.00）_22.设随机变量 X 的概率密度为 （分数：11.00）_23.进行独立重复试验直到试验取得首次成功为止，设每次试验的成功率都是 p(0p1)现进行 10 批试验，其各批试验次数分别为5，4，8，3，4，7，3，1，2，3求：()试验成功率的矩估计值； ()试验失败率的最大似然估计值（分数：6.00）_考研数学一-171 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知 54 矩阵 A=( 1， 2， 3， 4)，

7、若 1=(3，1，-2，1) T， 2=(0，1，0，1) T是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，那么下列命题 1， 3线性无关； 1可以由 2， 3线性表出； 3， 4线性无关； 秩 r( 1， 1+ 2， 3- 4)=3中正确的是（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 由 1， 2是齐次方程组 Ax=0 的解，有*(*)-(*)得 3 1-2 3=0 或*故命题错误，命题正确由 1， 2是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，知 n-r(A)=2那么秩r( 1， 2， 3， 4)=r(A)=2如果 3， 4线性相关，则 4=k 3又* 2=- 4，与秩 r( 1， 2， 3， 4)

8、=2 相矛盾故命题正确用排除法知错误，当然也可用初等变换判断出 r( 1， 1+ 2， 3- 4)=r( 1， 2，0)2，得到命题错误综上分析，可知应选(C)2.设 f(x)=(1+x2)x2-1， （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 这是考察如下的*型极限，用洛必达法则与等价无穷小因子替换得*其中用了下面的等价无穷小因子替换：x0 时*应选(B)3.商店出售 10 台洗衣机，其中恰有 3 台次品现已售出一台洗衣机，在余下的洗衣机中任取两台发现均为正品，则原先售出的一台为次品的概率为（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 设 A 表示第一次取出为次品，B 表示在余下的洗衣

9、机中任取两台为正品，则由全概率公式有*由贝叶斯公式，可得*故应选(B)4.设总体 X 服从正态分布 N(， 2)，X 1，X 2，X 25是取自总 Xx 的简单随机样本， 为样本均值，若 则 a=（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 由于 XN(， 2)，故有*而*依题意*故应选(B)5.设 r=(x，y，z)，S：x 2+y2+z2=1，取外侧，则（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 这是向量形式的第二类曲面积分，若 F=(P，Q，R)，则*其中 n=(cos，cos，cos)是有向曲面 s 的单位法向量方法 1*因为 S 是单位球面，球心在原点，所以在 S 上，|r|=

10、1|n|=1，n 为 S 指向外侧的法向量，n 与 r 同方向，所以*因此*(单位球面的面积)方法 2 S 围成的球域记为 ，则*其中单位球的体积为*因此选(C)6.设 、 均为大于 1 的常数，则级数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 这里有三种类型的无穷大量：n (0)， q n(q1)， ln n(0)，其中 n+，它们的关系是*现考察此正项级数的一般项：*这里*即*因此，原级数收敛*故应选(B)*7.下列命题中正确的是（分数：4.00）A.设(x 0，f(x 0)是 y=f(x)的拐点，则 x=x0不是 f(x)的极值点B.设 x=x0是 f(x)的极小值点，f(x)在

11、x=x0二阶可导，则 f(x0)=0，f“(x 0)0C.若 f(x)在(a，b)只有一个驻点 x0，且 x0是 f(x)的极小值点，则 f(x0)是 f(x)在(a，b)的最小值D.若 f-(b)0，则 f(b)不是 f(x)在a，b的最大值 解析：分析一 由举例易知(A)，(B)，(C)不正确如图(1)所示，(x 0，f(x 0)是 y=f(x)的拐点且 x=x0是 f(x)的极小值点(A)是错的极小值点 x0处可以有 f“(x0)=0，如 f(x)=(x-x0)4，x=x 0是 f(x)的极小值点，f“(x 0)=0(B)是错误的若 f(x)不连续，命题(C)不正确如图(2)中 f(x)

12、在(a，b)有唯一驻点 x0，是 f(x)的极小值点，但 f(x0)不是 f(x)在(a，b)的最小值因此，选(D)*分析二 由最值点处导数性质可知(D)正确因为，若 f(b)是 f(x)在a，b的最大值且 f-(b)存在，则*于是当 f-(b)0 时，f(b)不可能是 f(x)在a，b的最大值因此，选(D)8.a=-5 是齐次方程组 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 n 个方程 n 个未知数的齐次方程组 Ax=0 有非零解*又*可见 a=-5 能保证|A|=0，但|A|=0 并不必须 a=-5因而 a=-5 是充分条件并非必要条件故应选(B)二、填空题(总题数：6，分数：24.

13、00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：4e）解析：分析 由 g(x)在点 x=0 处连续及 g(x)=1+2x+0(x)(x0)*由复合函数求导法及变限积分求导法*10.微分方程 y“+4y=cos2x 的通解为 y=_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 y“+4y=cos2x 对应的齐次方程的特征方程是 r 2+4=0它的两个特征根为 r1,2=2i因此对应的齐次方程的通解为 y=C1cos2x+C2sin2xi=2i 是特征方程的根，所以，设非齐次方程的特解为y*=x(Acos2x+Bsin2x)，则 (y *)=x(-2Asin2x+2B

14、cos2x)+Acos2x+Bsin2x，(y*)“=-x(4Acos2x+4Bsin2x)-4Asin2x+4Bcos2x将上两式代入方程 y“+4y=cos2x 中，得 -4Asin2x+4Bcos2x=cos2x比较上式系数得 A=0，*故原方程的通解为*评注 这是一个阶常系数线性非齐次方程的求解问题，对于本题考生容易犯的错误是将非齐次方程的特解设为 y*=xAcos2x.注意，形如 y“+4y=pcos2x,y“+4y=qsin2x,y“+4y=pcos2x+qsin2x(其中 p,q 是不等于零的常数)，其特解都应设为 y“=x(Acos2x+Bsin2x)11.设为柱面 x2+y2

15、=1 介于 z=0 与 z=2-x 之间部分，有均匀面密度 (常数)，则的质量 M=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：4p）解析：分析 的质量*投影到 zx,平面，它在 zx 平面的投影区域是Dzx:-1x1，0x2-x*柱面方程为*再由对称性，可得*12.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 简单的放大、缩小法不能解决问题，再看 xn是否是某函数在某区间上的一个积分和*这是*在0，1上的一个积分和(将区间0，1n 等分)因此*13.已知矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：k(-1，1，1) T，k0 为任意常数）解析：分析 “特征值不

16、同特征向量线性无关”，现在矩阵 A 只有一个线性无关的特征向量，故特征值 0必是 3 重根，且秩 r( 0E-)=2由 i=a ii知 3 0=4+(-2)+1，得特征值 =1(3 重)又*因为秩 r(E-A)=2，因此有 a=-2此时(E-A)x=0 的基础解系是(-1，1，1) T故 A 的特征向量为 k(-1，1，1) T，k0 为任意常数评注 特征值有重根时，要会用秩来分析判断问题.14.假设每次试验只有成功与失败两种结果，并且每次试验的成功率都是 p(0P1).现进行重复独立试验直至成功与失败的结果都出现为止，已知试验次数 X 的数学期望 EX=3，则 P=_.（分数：4.00）_解

17、析：分析 首先我们求出 X 的概率分布，再用期望定义求解 p 的值依题意 X 取值为 2，3，且PX=n三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求不定积分 （分数：11.00）_正确答案：(分析与求解一 作变量替换*则有*再分部积分得*其中*于是*根据三角形示意图，易变量还原得*分析与求解二 为了作分部积分，先求*同样由三角形示意图，变量还原得*于是分部积分得*)解析：16.设 f(x)在(0，+)内二阶可导，在0，+)有连续的导数，且 f“(x)0(x0)，求证：F(x)（分数：11.00）_正确答案：(分析与证明 由题设条件可求得*下证 F“(x)0(x0)由*有g(x)=x2f“

18、(x)+2xf(x)-2xf(x)-2f(x)+2f(x)=x2f“(x)，由于*单调增加*g(x)g(0)=0 (x0)*f“(x)0(x0)因此 F(x)在(0，+)是凹函数)解析：17.设 u=u(x，y)由方程组u=f(x，y，z，t)， g(y，z，t)=0， h(z，t)=0所确定，其中 f，g，h 对各变量有连续的偏导数，且求 （分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 这里有 5 个变量，3 个方程，因而确定 3 个因变量，其余两个为自变量按题意 x，)，为自变量，于是 u，z，t 均为因变量由第二、第三个方程知，z 与 t 只是 y 的函数，因此*对 y 求偏导数，由复合函

19、数求导法得*方程，是以*为未知数的二元线性方程组，因系数行列式不为零*有唯一解，即*代入*)解析：评注 隐函数求导时，首先由方程式的个数及变量的个数确定因变量与自变量的个数(因变量的个数=方程式的个数)，再按题意具体地确定因变量与自变量，然后再用复合函数求导法.18.设函数 其中 n=1，2，3，为任意自然数，f(x)为0，+)上正值连续函数求证：()F n(x)在(0，+)存在唯一零点 xn；() 收敛；() （分数：11.00）_正确答案：(分析与证明 ()F n(x)在0，+)内可导(也就必然连续)，又*Fn(x)在*存在零点，记为 xn则 Fn(xn)=0又*有唯一零点，就是这个 xn

20、()在前面的证明中已得估计式*因*收敛，由比较原理知，*收敛又ln(1+xn)x n (n+)*收敛()方法 1 前面已导出*方法 2 直接由*同样得*)解析：19.设()求 其中 C 是椭圆周 取逆时针方向；()分别讨论在 y0 与 x1 且(x，y)(0，0)时，积分 （分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 ()记*由 C 的参数方程直接计算 J 不方便，由于*可考虑用格林公式计算 J因为 P，Q 在点(0，0)处没定义，所以不能在 C 所围的区域 D 上直接用格林公式但可在 D 中挖掉以(0，0)为圆心，0 充分小为半径的圆所余下的区域中用格林公式见图求解如下：*以(0，0)为圆心

21、，0 充分小为半径作圆周*(取顺时针方向)，C 与 C 围成的区域记为 D ，在 D 上用格林公式得*其中*取逆时针方向用“挖洞法”求得*可用 C 的方程化简被积表达式，然后用格林公式得*其中*为*所围成的圆域()y0 是单连通区域，且有*因此，在 y0 中积分*与路径无关区域 D：x1，(x，y)(0，0)不是单连通区域题()中已求出*取 C 使得它含在 D 中因为在 D 中*一条闭曲线 L=C+ ，使得*在区域 D：x1，(x，y)(0，0)内不是与路径无关的)解析：20.已知 A 是 3 阶矩阵， i(i=1，2，3)是 3 维非零列向量，若 A i=i i(i=1，2，3)，令 = 1

22、+ 2+ 3.()证明：，A，A 2 线性无关；()设 P=(，A，A 2)，求 P-1AP（分数：11.00）_正确答案：(证明与求解 ()由 A 1= 1，A 2=2 2，A 3=3 3，且 1， 2， 3非零可知， 1， 2， 3是 A 的不同特征值的特征向量，故 1， 2， 3线性无关又 A= 1+2 2+3 3，A 2= 1+4 2+9 3，若 k 1+k 2A+k 3A2=0，即k1( 1+ 2+ 3)+k2( 1+2 2+3 3)+k3( 1+4 2+9 3) =0，则 (k 1+k2+k3)1+(k 1+2k2+4k3) 2+(k1+3k2+9k3) 3=0由 1， 2， 3线

23、性无关，得齐次线性方程组*因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为 0，所以必有 k1=k2=k3=0，即 ，A，A 2 线性无关() 因为 A3= 1+8 2+27 3=6-11A+6A 2，所以AP=A(，A，A 2)=(A，A 2，6-11A+6A 2)*故*)解析：评注 证明向量组的线性无关性有多种方法，本题是用定义法，要掌握这种证明方法.即先设k1 1+k2 2+.ks s=0，然后根据已知条件作恒变形，证明必有 k1=0，k2=0,.ks=0.从而 1, 2,. s线性无关.对于 A3 要会用 ,A,A 2 线性表出，要会把矩阵 AP=(A,A 2,A 3)恒等变形为 PB 形式.2

24、1.设二次型矩阵 A 满足 AB=0，其中 （分数：11.00）_正确答案：(解 ()由*知，矩阵 B 的列向量是齐次方程组 Ax=0 的解向量记*则 A 1=0=0 1，A 2=0=0 2所以 =0 是矩阵 A 的特征值(至少是二重)， 1， 2是 =0 的线性无关的特征向量根据*有 0+0+ 3=1+4+1，故知矩阵 A 有特征值 =6因此，矩阵 A 的特征值是 0，0，6设 =6 的特征向量为 3=(x1，x 2，x 3)T，那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，有*解出 3=(1，2，-1) T对 1， 2正交化，令 1=(1，0，1) T，则*再对 1， 2， 3单位化，得*

25、那么经坐标变换 x=Qy，即*二次型化为标准形*()因为*有*进而*又*所以由*于是*)解析：评注 要会用 AB=0，即由 AB=0 要联想到 B 的列向量是 Ax=0 的解，进而可转换出特征值、特征向量的信息.要掌握用正交变换法化二次型为标准形.本题也可由 AB=0 先求出 a、b、c 的值，然后再求解.22.设随机变量 X 的概率密度为 （分数：11.00）_正确答案：(解 ()先求 Y 的分布函数 FY(y)当 y0 时，F Y(y)=0；当 y0 时，*其中 FX(x)是随机变量 X 的分布函数当 x0 时，F X(x)=(x)，*当 x0 时，*从而*故*其中 (x)与 (x)分别为

26、标准正态分布的分布函数与概率密度函数()*评注 *)解析：23.进行独立重复试验直到试验取得首次成功为止，设每次试验的成功率都是 p(0p1)现进行 10 批试验，其各批试验次数分别为5，4，8，3，4，7，3，1，2，3求：()试验成功率的矩估计值； ()试验失败率的最大似然估计值（分数：6.00）_正确答案：(*试验成功率 p 的矩估计量*相应矩估计值为*()最大似然函数 L(x1，x 10；p)，简记为 L，则*解似然方程*可得*于是试验成功率 p 的最大似然估计值*根据最大似然估计的不变性，其试验失败率的最大似然估计值为*)解析：评注 *分析 依题意，试验总体 X 服从参数为 p 的几何分布，即 PX=m=pqm-1，其中 m=1，2，q=1-p题中数据就是从总体 X 中取出的样本值，样本容量 n=10其未知参数 p 的矩估值与 q 的最大似然估计值待求