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    【考研类试卷】考研数学一-171及答案解析.doc

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    【考研类试卷】考研数学一-171及答案解析.doc

    1、考研数学一-171 及答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.已知 54 矩阵 A=( 1, 2, 3, 4),若 1=(3,1,-2,1) T, 2=(0,1,0,1) T是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系,那么下列命题 1, 3线性无关; 1可以由 2, 3线性表出; 3, 4线性无关; 秩 r( 1, 1+ 2, 3- 4)=3中正确的是(分数:4.00)A.B.C.D.2.设 f(x)=(1+x2)x2-1, (分数:4.00)A.B.C.D.3.商店出售 10 台洗衣机,其中恰有 3 台次品现已售出一台洗衣机,在余下的洗衣

    2、机中任取两台发现均为正品,则原先售出的一台为次品的概率为(分数:4.00)A.B.C.D.4.设总体 X 服从正态分布 N(, 2),X 1,X 2,X 25是取自总 Xx 的简单随机样本, 为样本均值,若 则 a=(分数:4.00)A.B.C.D.5.设 r=(x,y,z),S:x 2+y2+z2=1,取外侧,则(分数:4.00)A.B.C.D.6.设 、 均为大于 1 的常数,则级数 (分数:4.00)A.B.C.D.7.下列命题中正确的是(分数:4.00)A.设(x 0,f(x 0)是 y=f(x)的拐点,则 x=x0不是 f(x)的极值点B.设 x=x0是 f(x)的极小值点,f(x)

    3、在 x=x0二阶可导,则 f(x0)=0,f“(x 0)0C.若 f(x)在(a,b)只有一个驻点 x0,且 x0是 f(x)的极小值点,则 f(x0)是 f(x)在(a,b)的最小值D.若 f-(b)0,则 f(b)不是 f(x)在a,b的最大值8.a=-5 是齐次方程组 (分数:4.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.设 (分数:4.00)填空项 1:_10.微分方程 y“+4y=cos2x 的通解为 y=_.(分数:4.00)填空项 1:_11.设为柱面 x2+y2=1 介于 z=0 与 z=2-x 之间部分,有均匀面密度 (常数),则的质量 M=_(分数

    4、:4.00)填空项 1:_12.设 (分数:4.00)填空项 1:_13.已知矩阵 (分数:4.00)填空项 1:_14.假设每次试验只有成功与失败两种结果,并且每次试验的成功率都是 p(0P1).现进行重复独立试验直至成功与失败的结果都出现为止,已知试验次数 X 的数学期望 EX=3,则 P=_.(分数:4.00)_三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.求不定积分 (分数:11.00)_16.设 f(x)在(0,+)内二阶可导,在0,+)有连续的导数,且 f“(x)0(x0),求证:F(x)(分数:11.00)_17.设 u=u(x,y)由方程组u=f(x,y,z,t), g(y,

    5、z,t)=0, h(z,t)=0所确定,其中 f,g,h 对各变量有连续的偏导数,且求 (分数:11.00)_18.设函数 其中 n=1,2,3,为任意自然数,f(x)为0,+)上正值连续函数求证:()F n(x)在(0,+)存在唯一零点 xn;() 收敛;() (分数:11.00)_19.设()求 其中 C 是椭圆周 取逆时针方向;()分别讨论在 y0 与 x1 且(x,y)(0,0)时,积分 (分数:11.00)_20.已知 A 是 3 阶矩阵, i(i=1,2,3)是 3 维非零列向量,若 A i=i i(i=1,2,3),令 = 1+ 2+ 3.()证明:,A,A 2 线性无关;()设

    6、 P=(,A,A 2),求 P-1AP(分数:11.00)_21.设二次型矩阵 A 满足 AB=0,其中 (分数:11.00)_22.设随机变量 X 的概率密度为 (分数:11.00)_23.进行独立重复试验直到试验取得首次成功为止,设每次试验的成功率都是 p(0p1)现进行 10 批试验,其各批试验次数分别为5,4,8,3,4,7,3,1,2,3求:()试验成功率的矩估计值; ()试验失败率的最大似然估计值(分数:6.00)_考研数学一-171 答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.已知 54 矩阵 A=( 1, 2, 3, 4),

    7、若 1=(3,1,-2,1) T, 2=(0,1,0,1) T是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系,那么下列命题 1, 3线性无关; 1可以由 2, 3线性表出; 3, 4线性无关; 秩 r( 1, 1+ 2, 3- 4)=3中正确的是(分数:4.00)A.B.C. D.解析:分析 由 1, 2是齐次方程组 Ax=0 的解,有*(*)-(*)得 3 1-2 3=0 或*故命题错误,命题正确由 1, 2是齐次方程组 Ax=0 的基础解系,知 n-r(A)=2那么秩r( 1, 2, 3, 4)=r(A)=2如果 3, 4线性相关,则 4=k 3又* 2=- 4,与秩 r( 1, 2, 3, 4)

    8、=2 相矛盾故命题正确用排除法知错误,当然也可用初等变换判断出 r( 1, 1+ 2, 3- 4)=r( 1, 2,0)2,得到命题错误综上分析,可知应选(C)2.设 f(x)=(1+x2)x2-1, (分数:4.00)A.B. C.D.解析:分析 这是考察如下的*型极限,用洛必达法则与等价无穷小因子替换得*其中用了下面的等价无穷小因子替换:x0 时*应选(B)3.商店出售 10 台洗衣机,其中恰有 3 台次品现已售出一台洗衣机,在余下的洗衣机中任取两台发现均为正品,则原先售出的一台为次品的概率为(分数:4.00)A.B. C.D.解析:分析 设 A 表示第一次取出为次品,B 表示在余下的洗衣

    9、机中任取两台为正品,则由全概率公式有*由贝叶斯公式,可得*故应选(B)4.设总体 X 服从正态分布 N(, 2),X 1,X 2,X 25是取自总 Xx 的简单随机样本, 为样本均值,若 则 a=(分数:4.00)A.B. C.D.解析:分析 由于 XN(, 2),故有*而*依题意*故应选(B)5.设 r=(x,y,z),S:x 2+y2+z2=1,取外侧,则(分数:4.00)A.B.C. D.解析:分析 这是向量形式的第二类曲面积分,若 F=(P,Q,R),则*其中 n=(cos,cos,cos)是有向曲面 s 的单位法向量方法 1*因为 S 是单位球面,球心在原点,所以在 S 上,|r|=

    10、1|n|=1,n 为 S 指向外侧的法向量,n 与 r 同方向,所以*因此*(单位球面的面积)方法 2 S 围成的球域记为 ,则*其中单位球的体积为*因此选(C)6.设 、 均为大于 1 的常数,则级数 (分数:4.00)A.B. C.D.解析:分析 这里有三种类型的无穷大量:n (0), q n(q1), ln n(0),其中 n+,它们的关系是*现考察此正项级数的一般项:*这里*即*因此,原级数收敛*故应选(B)*7.下列命题中正确的是(分数:4.00)A.设(x 0,f(x 0)是 y=f(x)的拐点,则 x=x0不是 f(x)的极值点B.设 x=x0是 f(x)的极小值点,f(x)在

    11、x=x0二阶可导,则 f(x0)=0,f“(x 0)0C.若 f(x)在(a,b)只有一个驻点 x0,且 x0是 f(x)的极小值点,则 f(x0)是 f(x)在(a,b)的最小值D.若 f-(b)0,则 f(b)不是 f(x)在a,b的最大值 解析:分析一 由举例易知(A),(B),(C)不正确如图(1)所示,(x 0,f(x 0)是 y=f(x)的拐点且 x=x0是 f(x)的极小值点(A)是错的极小值点 x0处可以有 f“(x0)=0,如 f(x)=(x-x0)4,x=x 0是 f(x)的极小值点,f“(x 0)=0(B)是错误的若 f(x)不连续,命题(C)不正确如图(2)中 f(x)

    12、在(a,b)有唯一驻点 x0,是 f(x)的极小值点,但 f(x0)不是 f(x)在(a,b)的最小值因此,选(D)*分析二 由最值点处导数性质可知(D)正确因为,若 f(b)是 f(x)在a,b的最大值且 f-(b)存在,则*于是当 f-(b)0 时,f(b)不可能是 f(x)在a,b的最大值因此,选(D)8.a=-5 是齐次方程组 (分数:4.00)A.B. C.D.解析:分析 n 个方程 n 个未知数的齐次方程组 Ax=0 有非零解*又*可见 a=-5 能保证|A|=0,但|A|=0 并不必须 a=-5因而 a=-5 是充分条件并非必要条件故应选(B)二、填空题(总题数:6,分数:24.

    13、00)9.设 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:4e)解析:分析 由 g(x)在点 x=0 处连续及 g(x)=1+2x+0(x)(x0)*由复合函数求导法及变限积分求导法*10.微分方程 y“+4y=cos2x 的通解为 y=_.(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:分析 y“+4y=cos2x 对应的齐次方程的特征方程是 r 2+4=0它的两个特征根为 r1,2=2i因此对应的齐次方程的通解为 y=C1cos2x+C2sin2xi=2i 是特征方程的根,所以,设非齐次方程的特解为y*=x(Acos2x+Bsin2x),则 (y *)=x(-2Asin2x+2B

    14、cos2x)+Acos2x+Bsin2x,(y*)“=-x(4Acos2x+4Bsin2x)-4Asin2x+4Bcos2x将上两式代入方程 y“+4y=cos2x 中,得 -4Asin2x+4Bcos2x=cos2x比较上式系数得 A=0,*故原方程的通解为*评注 这是一个阶常系数线性非齐次方程的求解问题,对于本题考生容易犯的错误是将非齐次方程的特解设为 y*=xAcos2x.注意,形如 y“+4y=pcos2x,y“+4y=qsin2x,y“+4y=pcos2x+qsin2x(其中 p,q 是不等于零的常数),其特解都应设为 y“=x(Acos2x+Bsin2x)11.设为柱面 x2+y2

    15、=1 介于 z=0 与 z=2-x 之间部分,有均匀面密度 (常数),则的质量 M=_(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:4p)解析:分析 的质量*投影到 zx,平面,它在 zx 平面的投影区域是Dzx:-1x1,0x2-x*柱面方程为*再由对称性,可得*12.设 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:分析 简单的放大、缩小法不能解决问题,再看 xn是否是某函数在某区间上的一个积分和*这是*在0,1上的一个积分和(将区间0,1n 等分)因此*13.已知矩阵 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:k(-1,1,1) T,k0 为任意常数)解析:分析 “特征值不

    16、同特征向量线性无关”,现在矩阵 A 只有一个线性无关的特征向量,故特征值 0必是 3 重根,且秩 r( 0E-)=2由 i=a ii知 3 0=4+(-2)+1,得特征值 =1(3 重)又*因为秩 r(E-A)=2,因此有 a=-2此时(E-A)x=0 的基础解系是(-1,1,1) T故 A 的特征向量为 k(-1,1,1) T,k0 为任意常数评注 特征值有重根时,要会用秩来分析判断问题.14.假设每次试验只有成功与失败两种结果,并且每次试验的成功率都是 p(0P1).现进行重复独立试验直至成功与失败的结果都出现为止,已知试验次数 X 的数学期望 EX=3,则 P=_.(分数:4.00)_解

    17、析:分析 首先我们求出 X 的概率分布,再用期望定义求解 p 的值依题意 X 取值为 2,3,且PX=n三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.求不定积分 (分数:11.00)_正确答案:(分析与求解一 作变量替换*则有*再分部积分得*其中*于是*根据三角形示意图,易变量还原得*分析与求解二 为了作分部积分,先求*同样由三角形示意图,变量还原得*于是分部积分得*)解析:16.设 f(x)在(0,+)内二阶可导,在0,+)有连续的导数,且 f“(x)0(x0),求证:F(x)(分数:11.00)_正确答案:(分析与证明 由题设条件可求得*下证 F“(x)0(x0)由*有g(x)=x2f“

    18、(x)+2xf(x)-2xf(x)-2f(x)+2f(x)=x2f“(x),由于*单调增加*g(x)g(0)=0 (x0)*f“(x)0(x0)因此 F(x)在(0,+)是凹函数)解析:17.设 u=u(x,y)由方程组u=f(x,y,z,t), g(y,z,t)=0, h(z,t)=0所确定,其中 f,g,h 对各变量有连续的偏导数,且求 (分数:11.00)_正确答案:(分析与求解 这里有 5 个变量,3 个方程,因而确定 3 个因变量,其余两个为自变量按题意 x,),为自变量,于是 u,z,t 均为因变量由第二、第三个方程知,z 与 t 只是 y 的函数,因此*对 y 求偏导数,由复合函

    19、数求导法得*方程,是以*为未知数的二元线性方程组,因系数行列式不为零*有唯一解,即*代入*)解析:评注 隐函数求导时,首先由方程式的个数及变量的个数确定因变量与自变量的个数(因变量的个数=方程式的个数),再按题意具体地确定因变量与自变量,然后再用复合函数求导法.18.设函数 其中 n=1,2,3,为任意自然数,f(x)为0,+)上正值连续函数求证:()F n(x)在(0,+)存在唯一零点 xn;() 收敛;() (分数:11.00)_正确答案:(分析与证明 ()F n(x)在0,+)内可导(也就必然连续),又*Fn(x)在*存在零点,记为 xn则 Fn(xn)=0又*有唯一零点,就是这个 xn

    20、()在前面的证明中已得估计式*因*收敛,由比较原理知,*收敛又ln(1+xn)x n (n+)*收敛()方法 1 前面已导出*方法 2 直接由*同样得*)解析:19.设()求 其中 C 是椭圆周 取逆时针方向;()分别讨论在 y0 与 x1 且(x,y)(0,0)时,积分 (分数:11.00)_正确答案:(分析与求解 ()记*由 C 的参数方程直接计算 J 不方便,由于*可考虑用格林公式计算 J因为 P,Q 在点(0,0)处没定义,所以不能在 C 所围的区域 D 上直接用格林公式但可在 D 中挖掉以(0,0)为圆心,0 充分小为半径的圆所余下的区域中用格林公式见图求解如下:*以(0,0)为圆心

    21、,0 充分小为半径作圆周*(取顺时针方向),C 与 C 围成的区域记为 D ,在 D 上用格林公式得*其中*取逆时针方向用“挖洞法”求得*可用 C 的方程化简被积表达式,然后用格林公式得*其中*为*所围成的圆域()y0 是单连通区域,且有*因此,在 y0 中积分*与路径无关区域 D:x1,(x,y)(0,0)不是单连通区域题()中已求出*取 C 使得它含在 D 中因为在 D 中*一条闭曲线 L=C+ ,使得*在区域 D:x1,(x,y)(0,0)内不是与路径无关的)解析:20.已知 A 是 3 阶矩阵, i(i=1,2,3)是 3 维非零列向量,若 A i=i i(i=1,2,3),令 = 1

    22、+ 2+ 3.()证明:,A,A 2 线性无关;()设 P=(,A,A 2),求 P-1AP(分数:11.00)_正确答案:(证明与求解 ()由 A 1= 1,A 2=2 2,A 3=3 3,且 1, 2, 3非零可知, 1, 2, 3是 A 的不同特征值的特征向量,故 1, 2, 3线性无关又 A= 1+2 2+3 3,A 2= 1+4 2+9 3,若 k 1+k 2A+k 3A2=0,即k1( 1+ 2+ 3)+k2( 1+2 2+3 3)+k3( 1+4 2+9 3) =0,则 (k 1+k2+k3)1+(k 1+2k2+4k3) 2+(k1+3k2+9k3) 3=0由 1, 2, 3线

    23、性无关,得齐次线性方程组*因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为 0,所以必有 k1=k2=k3=0,即 ,A,A 2 线性无关() 因为 A3= 1+8 2+27 3=6-11A+6A 2,所以AP=A(,A,A 2)=(A,A 2,6-11A+6A 2)*故*)解析:评注 证明向量组的线性无关性有多种方法,本题是用定义法,要掌握这种证明方法.即先设k1 1+k2 2+.ks s=0,然后根据已知条件作恒变形,证明必有 k1=0,k2=0,.ks=0.从而 1, 2,. s线性无关.对于 A3 要会用 ,A,A 2 线性表出,要会把矩阵 AP=(A,A 2,A 3)恒等变形为 PB 形式.2

    24、1.设二次型矩阵 A 满足 AB=0,其中 (分数:11.00)_正确答案:(解 ()由*知,矩阵 B 的列向量是齐次方程组 Ax=0 的解向量记*则 A 1=0=0 1,A 2=0=0 2所以 =0 是矩阵 A 的特征值(至少是二重), 1, 2是 =0 的线性无关的特征向量根据*有 0+0+ 3=1+4+1,故知矩阵 A 有特征值 =6因此,矩阵 A 的特征值是 0,0,6设 =6 的特征向量为 3=(x1,x 2,x 3)T,那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交,有*解出 3=(1,2,-1) T对 1, 2正交化,令 1=(1,0,1) T,则*再对 1, 2, 3单位化,得*

    25、那么经坐标变换 x=Qy,即*二次型化为标准形*()因为*有*进而*又*所以由*于是*)解析:评注 要会用 AB=0,即由 AB=0 要联想到 B 的列向量是 Ax=0 的解,进而可转换出特征值、特征向量的信息.要掌握用正交变换法化二次型为标准形.本题也可由 AB=0 先求出 a、b、c 的值,然后再求解.22.设随机变量 X 的概率密度为 (分数:11.00)_正确答案:(解 ()先求 Y 的分布函数 FY(y)当 y0 时,F Y(y)=0;当 y0 时,*其中 FX(x)是随机变量 X 的分布函数当 x0 时,F X(x)=(x),*当 x0 时,*从而*故*其中 (x)与 (x)分别为

    26、标准正态分布的分布函数与概率密度函数()*评注 *)解析:23.进行独立重复试验直到试验取得首次成功为止,设每次试验的成功率都是 p(0p1)现进行 10 批试验,其各批试验次数分别为5,4,8,3,4,7,3,1,2,3求:()试验成功率的矩估计值; ()试验失败率的最大似然估计值(分数:6.00)_正确答案:(*试验成功率 p 的矩估计量*相应矩估计值为*()最大似然函数 L(x1,x 10;p),简记为 L,则*解似然方程*可得*于是试验成功率 p 的最大似然估计值*根据最大似然估计的不变性,其试验失败率的最大似然估计值为*)解析:评注 *分析 依题意,试验总体 X 服从参数为 p 的几何分布,即 PX=m=pqm-1,其中 m=1,2,q=1-p题中数据就是从总体 X 中取出的样本值,样本容量 n=10其未知参数 p 的矩估值与 q 的最大似然估计值待求


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