2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学理.docx

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1、 1 本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共 6 页，时间 120 分钟，满分 150 分 . 一 、 选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的 . 1.已知 （ 为虚数单位），则复数 =（ ） A. B. C. D. 答案 ： D 解析 ： 由题意得， ，故选 D. 考点：复数的计算 . 2.设 A,B 是两个集合，则 ” ” 是“ ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 ： C 解析： 考点：集合的关系 . 3.执行如图 1 所示的程序框图，如果输入 ，则输出

2、的 ( ) A. B. C. D. 21 1i iz i z1i1i1 i1 iiiiiiz 11 21 )1( 2A B A AB3n S67378949 2 答案 ： B 解析： 考点： 1 程序框图； 2.裂项相消法求数列的和 . 4.若变量 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ） A.-7 B.-1 C.1 D.2 答案 ： A 解析 ： 如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，从而可知当 ， 时， 的最小值是 ，故选 A. ,xy1211xyxyy 3z x y2x 1yyxz 3 7 3 考点：线性规划 . 5.设函数 ，则 是（ ） A.奇函数，且在 上是增函数 B.奇

3、函数，且在 上是减函数 C.偶函数，且在 上是增函数 D.偶函数，且在 上是减函数 答案 ： A 解析： 考点：函数的性质 . 6.已知 的展开式中含 的项的系数为 30，则 （ ） 来源 :Zxxk.Com A. B.B. C.C.6 D.D-6 答案 ： D ( ) l n ( 1 ) l n ( 1 )f x x x ()fx(0,1)(0,1)(0,1)(0,1)5ax x32x a33 4 解析 ： ，令 ，可得 ，故选 D. 考点：二项式定理 . 7.在如图 2 所示的正方形中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分（曲线 C 为正态分布 N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计

4、值为（ ） A.2386 B.2718 C.3413 D.4772 答案 ： C 解析： 考点：正态分布 . 8.已知点 A,B,C 在圆 上运动，且 .若点 P 的坐标为（ 2,0），则 的最大值为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 答案 ： B 解析 ： 由题意得， AC 为圆的直径，故可设 ， ， ，rrrrr xaCT 2551 )1( 1r 6305 aa221xy AB BC PA PB PC),( nmA ),( nmC ),( yxB ( 6 , )P A P B P C x y 5 ， 而 ， 的最大值为 ，故选 B. 考点： 1.圆的性质； 2.平面向量数量积 . 9.

5、将函数 的图像向右平移 个单位后得到函数 的图像，若对满足的 ，有 ，则 （ ） A. B. C. D. 答案 ： D 解析 ： 向右平移 个 单位后，得到 ， 又 ， 不妨 ， ， ， 又 ， ，故选 D. 考点：三角函数的图象和性质 . 10.某工件的三视图如图 3 所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率 = ）（ ） 491237)6( 22 xyx P A P B P C 7( ) sin 2f x x (0 )2 ()gx12( ) ( ) 2f x g x12,xx 12m in 3

6、xx 512346 )22s in()( xxg2|)()(| 21 xgxf kx 222 1 mx 2222 2 )(221 mkxx 12m in 3xx 632 新 工 件 的 体 积原 工 件 的 体 积 6 A. B. C. D. 答案 ： A 8916934( 2 1)312( 2 1) 7 考点： 1.圆锥的内接长方体； 2.基本不等式求最值 . 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 . 11. . 答案 ： 解析： 考点：定积分的计算 . 12.在一次马拉松比赛中， 35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图 4 所示 . 若将运动员按成绩由好到差

7、编为 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间 139,151上的运动员人数是 . 答案 ： 解析 ： 由茎叶图可知，在区间 的人数为 ，再由系统抽样的性质可知人数为 人 . 考点： 1.系统抽样； 2.茎叶图 . 13.设 F 是双曲线 C： 的一个焦点，若 C 上存 在点 P，使线段 PF的中点恰为其虚轴的一 个端点，则 C 的离心率为 . 答案 ： 解析： 考点：双曲线的标准 方程及其性质 . 14.设 为等比数列 的前 项和，若 ，且 成等差数列，则 . 答案 ： 20 ( 1)x dx 01 354151,139 20 435720 221xyab5nS na n 1

8、1a 1 2 33 , 2 ,S S S na13n 8 解析 ： ， ， 成等差数列， ， 又等比数列 ， . 考点：等差数列与等比数列的性质 . 15.已知 ，若存在实数 ，使函数 有两个零点，则 的取值范围 是 . 答案 ： . 解析 ： 分析题意可知，问题等价于方程 与方程 的根的个数和为 ， 若两个方程各有一个根：则可知关于 的不等式组 有解，从而 ； 若方程 无解，方程 有 2 个根：则可知关于 的不等式组 有解，从而 ；，综上，实数 的取值范围是 . 考点： 1.函数与方程； 2.分类讨论的数学思想 . 三、解答题 16.( )如图，在圆 O 中，相交于点 E 的两弦 AB、 C

9、D 的中点分别是 M、 N，直线 MO 与直线 CD 相交于点 F，证明： (1) ； (2) 13S 22S 3S333)(22 23321121 qaaaaaaaana111 3 nnn qaa32,(),x x afxx x a b ( ) ( )g x f x b a),1()0,( )(3 axbx )(2 axbx 2bababab311a)(3 axbx )(2 axbx babab310a a ),1()0,( 0180M E N N O M F E F N F M F O 9 答案： (1) (2) 考点： 1.垂径定理； 2.四点共圆； 3.割线定理 . （）已知直线 （

10、t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 . (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设点 M 的直角坐标为 ，直线 与曲线 C 的交点为 A， B，求 的值 . 解析： 352:132xtlyt 2 cos(5, 3) l | | | |MA MB 10 (1) (2) 答案： (1) (2) 考点： 1.极坐标与直角坐标的互相转化； 2.直线与圆的位置关系 . （）设 ，且 . (1) ； (2) 与 不可能同时成立 . 解析： (1)将已知条件中的式子可等价变形为 ，再由基本不等式即可得证； (2)利用反证法，假设假设

11、与 同时成立，可求得 ， ，从而与 矛盾，即可得证 答案： 由 ， ， ，得 ， (1)由基本不等式及 ，有 ，即 ； (2)假设 与 同时成立，则由 及 得 ，同理 ，从而 ，这与 矛盾，故 与 不可能成立 . 考点： 1.基本不等式； 2.一元二次不等式； 3.反证法 . 17.设 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， ，且 B 为钝角 (1)证明： 0, 0ab 11abab 2ab2 2aa 2 2bb1ab22 aa 22 bb 10 a 10 b 1abab bababa 110a 0b 1ab1ab 22 abba 2ba22 aa 22 bb 22 aa 0a

12、 10 a 10 b 1ab1ab 22 aa 22 bbABC tana b A2BA 11 (2)求 的取 值范围 解析： (1)利用正弦定理，将条件中的式子等价变形为 inB=sin（ +A），从而得证； (2)利用 (1)中的结论，以及三角恒等变形，将 转化为只与 有关的表达式，再利用三角函数的性质即可求解 . 答案 ： (1)由 a=btanA 及正弦定理，得 ,所以 sinB=cosA，即 sinB=sin（ +A） . 又 B 为钝角，因此 +A （ ， A），故 B= +A，即 B-A= ； (2)由（ I）知， C= -（ A+B） = -(2A+ )= -2A0，所以 A

13、，于是 sinA+sinC=sinA+sin（ -2A） = sinA+cos2A=-2 A+sinA+1 =-2（ sinA- ） + ，因为 0= = 而二面角 P-QD-A 的余弦值为 ，因此 = ，解得 m=4，或者 m=8（舍去），此时 Q（ 6,4,0） 1 =0AB PQ371AA 1AA1B1D 06m1DD 92 1AB 1AB PQ 1AB PQ1AB PQDQ 1DD1n 11100n DQn DD 6 ( 6 ) 03 6 0x m yyz 1n 2n1n 2n 12| | | |nn2 2 2 233( 6 ) 6 3 ( 6 ) 4 5mm 3723( 6 ) 4

14、5m37 14 设 = (00，因此 是锐角，从而 是钝角，即可得证 答案 ： (1)由 : 知其焦点 F 的坐标为（ 0,1），因为 F 也是椭圆 的一焦点， 所以 1 又 与 的公共弦的长为 2 ， 与 都关于 y 轴对称，且 的方程为 ，由此易知 与 的公共点的坐标为（ ），所以 2 ，联立 1 ， 2 得 =9， =8，故的方程为 3 ； 2363t 4031 1 1 6 6 4 2 43 3 2A D QV S h 21 :4C x y 222 : 1 ( 0 )yxC a bab 1C 2C262Cl 1C 2C AC BD| | | |AC BD l1C l MFD2C )1,0

15、( 62214y kxxy2x ACBDk FA FM 122x 1 1y 124x AFM180 oM F D A F M 1C 2 4xy 2C221ab 1C 2C 6 1C 2C 1C 2 4xy1C 2C 36,2 229614ab 2a 2b 2C22198xy 16 (2)如图 ，设 A（ ） B（ ） C（ ） D（ ） . （ i）因 与 同向，且 |AC|=|BD|,所以 = ，从而 = ，即 = ，于是 -4 = -4 3 设直线 l 的斜率为 k，则 l 的方程为 y=kx+1.由 得 +16kx-64=0.而 ， 是这个方程的两根 .所以 =4k， =-44 ，由 得

16、（ 9+8 ） +16kx-64=0.而 ， 是这个方程的两根 .所以 =- ， =- 5 ，将 4 5 带入 3 ，得 16（ +1） = + ,即 16（ +1） = ， 所以 = ， 解得 k= ，即直线 l 的斜率为 . （ ii）由 得 = ，所以 在点 A 处的切线方程为 y- = （ x- ），即 y= - .令 y=0 得 x= ，即 M（ ,0） ,所以 =( ,-1).而 =( ).于是 = - = +10，因此 是锐角，从而 是钝角 . 故直线 l 绕点 F 旋转时， MFD 总是钝角三角形 . f 11,xy 22,xy 33,xy 44,xyAC BD AC BD 3

17、1xx 42xx12xx 34xx 212xx 12xx 234xx 34xx214y kxxy2x 1x 2x12xx 12xx 221189y kxxy 2k 2x 3x 4x34xx 21698kk 34xx 26498k 2k 221698kk 24 6498k2k 22221 6 9 ( 1)98kk 2298k 16 9 64 642 4xy y2x 1C 1y 12x 1x1xx 124x 12x 12xFM 12xFA 11,1xyFA FM 122x 1 1y 124x AFM 180 oM F D A F M 17 考点： 1.椭圆的标准方程及其性质； 2.直线与椭圆 位置

18、关系 . 21.已知 ，函数 . 记 为 的从小到大的第 n 个极值点 ,证明： (1)数列 是等比数列 (2)若 ，则对一切 ， 恒成立 . 解析 ： (1)求导，可知 ，求 得 的极值点诶 ，即可得证； (2)分析题意可知，问题等价于 恒成立，构造函数 g（ t） = ，利用导数判断其单调 性即可得证 答案 ： (1) 其中 tan = ， 00； 若（ 2k+1） 0）， 设 g（ t） = （ t） 0），则 .令 =0 得 t=1， 当 01 时， ，所以 g（ t）在区间（ 0,1）上单调递增 . 从而当 t=1 时，函数 g（ t）取得最小值 g（ 1） =e 因此，要是（ ）式

19、恒成立，只需 ，即只需 . 而当 a= 时， tan = = 且 .于是 ，且当 n 时， .因此对一切 , ，所以 g（ ） .故（ ）式亦恒成立 . 综上所述，若 a ，则对一切 ， 恒成立 . 考点： 1.三角函数的性质； 2.导数的运用； 3.恒成立问题 . sin211a *nN nx ()nf x 211 anane 2 1 ana ea an tet 2 ( 1)tgt ett （ ） =gt（ ）gt（ ） 0 2 ()1 1ga ea 211a e 211e 1a 2 1e 3 0 222 13 e 2 22 13 2 en *nN2 11nnaxe nax 2 1(1 ) age a 211e *nN ( ) |nnxxf