2015年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学理.docx
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1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试 (安徽卷 )数学理 一 .选择题 (每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的 ) 1.设 i 是虚数单位,则复数 21ii在复平面内对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析: 先化简复数,再得出点的坐标,即可得出结论 . 21ii =i(1+i)=-1+i,对应复平面上的点为 (-1, 1),在第二象限, 故选: B 2.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是 ( ) A.y=cosx B.y=sinx C.y=lnx D.y=x2+1 解析: 对于 A,定义域为 R,并且 cos
2、(-x)=cosx,是偶函数并且有无数个零点; 对于 B, sin(-x)=-sinx,是奇函数,由无数个零点; 对于 C,定义域为 (0, + ),所以是非奇非偶的函数,有一个零点; 对于 D,定义域为 R,为偶函数,都是没有零点; 故选 A 3.设 p: 1 x 2, q: 2x 1,则 p 是 q 成立的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析: 由 1 x 2 可得 2 2x 4,则由 p 推得 q成立, 若 2x 1 可得 x 0,推不出 1 x 2. 由充分必要条件的定义可得 p 是 q 成立的充分不必要条件 . 故选 A
3、4.下列双曲线中,焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y= 2x 的是 ( ) A. B. C. D. 解析: 由 A 可得焦点在 x 轴上,不符合条件; 由 B 可得焦点在 x 轴上,不符合条件; 由 C 可得焦点在 y 轴上,渐近线方程为 y= 2x,符合条件; 由 D 可得焦点在 y 轴上,渐近线方程为 y= 12x,不符合条件 . 故选 C 5.已知 m, n 是两条不同直线,是两个不同平面,则下列命题正确的是 ( ) A.若,垂直于同一平面,则与平行 B.若 m, n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行 C.若,不平行,则在内不存在与平行的直线 D.若 m, n 不平行,则 m 与 n
4、 不可能垂直于同一平面 解析: 对于 A,若,垂直于同一平面,则与不一定平行,如果墙角的三个平面;故A 错误; 对于 B,若 m, n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行 .相交或者异面;故 B 错误; 对于 C,若,不平行,则在内存在无数条与平行的直线;故 C 错误; 对于 D,若 m, n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面;假设两条直线同时垂直同一个平面,则这两条在平行;故 D 正确; 故选 D 6.若样本数据 x1, x2, x10 的标准差为 8,则数据 2x1-1, 2x2-1, 2x10-1 的标准差为 ( ) A.8 B.15 C.16 D.32 解析: 样本数据
5、x1, x2, x10的标准差为 8, DX =8,即 DX=64, 数据 2x1-1, 2x2-1, 2x10-1 的方差为 D(2X-1)=4DX=4 64, 则对应的标准差为 2 1 4 6 4DX =16. 故选: C 7.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是 ( ) A.1+ 3 B.2+ 3 C.1+2 2 D.2 2 解析: 根据几何体的三视图,得 , 该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥,如图所示; 该几何体的表面积为 S表面积 =S PAC+2S PAB+S ABC =2+ 3 . 故选: B 8. ABC 是边长为 2 的等边三角形,已知向量 a , b 满足
6、 , ,则下列结论正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析: 因为已知三角形 ABC 的等边三角形, a , b 满足 , ,又,所以 , , 所以 , , , ,所以 ,即 ,即0,所以 . 故选 D 9. 函数 f(x)= 的图象如图所示,则下列结论成立的是 ( ) A.a 0, b 0, c 0 B.a 0, b 0, c 0 C.a 0, b 0, c 0 D.a 0, b 0, c 0 解析: 函数在 P 处无意义,即 -c 0,则 c 0, f(0)=2bc 0, b 0, 由 f(x)=0 得 ax+b=0,即 x=-ba, 即函数的零点 x=-ba 0, a 0, 综上
7、a 0, b 0, c 0, 故选: C 10.已知函数 f(x)=Asin( x+ )(A,均为正的常数 )的最小正周期为,当 x=23时,函数 f(x)取得最小值,则下列结论正确的是 ( ) A.f(2) f(-2) f(0) B.f(0) f(2) f(-2) C.f(-2) f(0) f(2) D.f(2) f(0) f(-2) 解析: 依题意得,函数 f(x)的周期为, 0, =2=2. 又当 x=23时,函数 f(x)取得最小值, 2 23+ =2k +32, k Z,可解得: =2k +6, k Z, f(x)=Asin(2x+2k +6)=Asin(2x+6). f(-2)=A
8、sin(-4+6)=Asin(6-4+2 ) 0. f(2)=Asin(4+6) 0 f(0)=Asin6=Asin56 0 又 236-4+2 566,而 f(x)=Asin(2x+ 6)在区间 (6, 23)是单调递减的, f(2) f(-2) f(0) 故选: A 二 .填空题 (每小题 5 分,共 25 分 ) 11.(x3+1x)7的展开式中的 x5的系数是 (用数字填写答案 ) 解析: 根据所给的二项式写出展开式的通项, ; 要求展开式中含 x5的项的系数, 21-4r=5, r=4,可得: 47C=35. 故答案为: 35 12.在极坐标系中,圆 =8sin上的点到直线 =3(
9、R)距离的最大值是 . 解析:圆 =8sin化为 2=8 sin, x2+y2=8y,化为 x2+(y-4)2=16. 直线 =3( R)化为 y= 3 x. 圆心 C(0, 4)到直线的距离 d= =2, 圆 =8sin上的点到直线 =3( R)距离的最大值 =d+r=2+4=6. 故答案为: 6 13.执行如图所示的程序框图 (算法流程图 ),输出的 n 为 . 解析: 模拟执行程序框图,可得 a=1, n=1, 满足条件 |a-1.414| 0.005, a=32, n=2, 满足条件 |a-1.414| 0.005, a=75, n=3, 满足条件 |a-1.414| 0.005, a
10、=1712, n=4, 不满足条件 |a-1.414|=0.00267 0.005,退出循环,输出 n 的值为 4. 故答案为: 4 14.已知数列 an是递增的等比数列, a1+a4=9, a2a3=8,则数列 an的前 n项和等于 . 解析: 数列 an是递增的等比数列, a1+a4=9, a2a3=8, 可得 a1a4=8,解得 a1=1, a4=8, 8=1 q3, q=2, 数列 an的前 n 项和为: . 故答案为: 2n-1 15.设 x3+ax+b=0,其中 a, b 均为实数,下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是 .(写出所有正确条件的编号 ) a=-3, b=-3.
11、a=-3, b=2. a=-3, b 2. a=0, b=2. a=1, b=2. 解析: 设 f(x)=x3+ax+b, f(x)=3x2+a, a=-3, b=-3 时,令 f(x)=3x2-3=0,解得 x= 1, x=1 时 f(1)=-5, f(-1)=-1; 并且 x 1 或者 x -1 时 f(x) 0, 所以 f(x)在 (-, -1)和 (1, + )都是增函数, 所以函数图象与 x 轴只有一个交点,故 x3+ax+b=0 仅有一个实根;如图 a=-3, b=2 时,令 f(x)=3x2-3=0,解得 x= 1, x=1 时 f(1)=0, f(-1)=4;如图 a=-3,
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