【学历类职业资格】四川省专升本（高等数学）-试卷8及答案解析.doc

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1、四川省专升本（高等数学）-试卷 8 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_2.当 x0 时，x 2 是 xln(1+x)的 ( )（分数：2.00）A.较高阶的无穷小量B.等价无穷小量C.同阶但不等价无穷小量D.较低阶的无穷小量3.= ( ) （分数：2.00）A.0B.C.1D.24.下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是 ( )（分数：2.00）A.f(x)=B.f(x)=xe x ，0，1C.f(x)=D.f(x)=x，0，15.设曲线 y=xe x

2、在点(0，一 1)处与直线 l 相切，则直线 l 的斜率为 ( )（分数：2.00）A.B.1C.0D.一 16.平面 1 ：x 一 2y+3z+1=0 与 2 ：2x+y+2=0 的位置关系为 ( )（分数：2.00）A.垂直B.斜交C.平行不重合D.重合7.设 I 1 = （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3B.I 1 I 3 I 2C.I 3 I 1 I 2D.I 2 I 1 I 38.设 z=ln(x 2 +y)，则 （分数：2.00）A.B.C.D.9.设 u n av n (n=1，2，)(a0)，且 v n 收敛，则 （分数：2.00）A.必定收敛B.必定发散C.收敛性与

3、 a 有关D.上述三个结论都不正确10.微分方程 y=x 的通解为 ( )（分数：2.00）A.y=xB.y=x+CC.y= D.y= 11.设矩阵 A 33 满足 A * =A T ，其中 A * 为 A 的伴随矩阵，A T 为 A 的转置矩阵，若 a 11 ，a 12 ，a 13 为三个相等的正数，则 a 11 为 ( )（分数：2.00）A.B.3C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)12.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_13.点(3，2，1)到平面 x+y+z 一 1=0 的距离是 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 f(x)=x(x+1) 10 ，

4、则f(x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.z=(1x) 2 +(2y) 2 的驻点是 1（分数：2.00）填空项 1:_16.求 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)17.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_18.求函数 y= （分数：2.00）_19.求 （分数：2.00）_20.设 z=f(xy， )，其中 f 具有二阶连续偏导数求 （分数：2.00）_21. 取何值时直线 （分数：2.00）_22.计算 （分数：2.00）_23.将 f(x)=arctan （分数：2.00）_24.求由曲线 y=2xx 2 与 y=

5、x 所围成的平面图形的面积 S，并求此平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 V x （分数：2.00）_25.解线性方程组 （分数：2.00）_四、综合题(总题数：2，分数：4.00)26.做一个如图所示的角铁架子，其底为等腰三角形，底边长为 6m，架子总长为 5m，试求所用角铁最少时，三根角铁的长度各为多少? （分数：2.00）_27.求由曲线 y=2x 2 ，y=2x 一 1 及 x0 围成的平面图形的面积 S 以及此平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 V x （分数：2.00）_五、证明题(总题数：1，分数：2.00)28.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且

6、 f(x)1，又设 f(a)a，f(b)b，证明：存在唯一的点 (a，b)，使得 f()=（分数：2.00）_四川省专升本（高等数学）-试卷 8 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_解析：2.当 x0 时，x 2 是 xln(1+x)的 ( )（分数：2.00）A.较高阶的无穷小量B.等价无穷小量C.同阶但不等价无穷小量 D.较低阶的无穷小量解析：解析：本题考查的知识点为无穷小量阶的比较 由于 3.= ( ) （分数：2.00）A.0B. C.1D.2解析：解

7、析：4.下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是 ( )（分数：2.00）A.f(x)= B.f(x)=xe x ，0，1C.f(x)=D.f(x)=x，0，1解析：解析：注意罗尔定理有三个条件：(1)f(x)在a，b上连续；(2)f(x)在(a，b)内可导； (3)f(a)=f(b)逐一检查三个条件即可为了简便起见先检查 f(a)=f(b)故选 A5.设曲线 y=xe x 在点(0，一 1)处与直线 l 相切，则直线 l 的斜率为 ( )（分数：2.00）A.B.1C.0 D.一 1解析：解析：本题考查的知识点为导数的几何意义由于 y=xe x ，y=1 一 e x ，y x=0 =0由导数

8、的几何意义可知，曲线 y=xe x 在点(0，一 1)处切线斜率为 0，因此选 C6.平面 1 ：x 一 2y+3z+1=0 与 2 ：2x+y+2=0 的位置关系为 ( )（分数：2.00）A.垂直 B.斜交C.平行不重合D.重合解析：解析：本题考查的知识点为两平面的位置关系 两平面的关系可由平面的法向量 n 1 ，n 2 间的关系确定 若 n 1 n 2 ，则两平面必定垂直 若 n 1 n 2 ，当 时，两平面平行，但不重合；当 7.设 I 1 = （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3B.I 1 I 3 I 2C.I 3 I 1 I 2D.I 2 I 1 I 3 解析：解析：I 1

9、 = I 2 = I 3 = 8.设 z=ln(x 2 +y)，则 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：求 时，将 y 认定为常量，则9.设 u n av n (n=1，2，)(a0)，且 v n 收敛，则 （分数：2.00）A.必定收敛B.必定发散C.收敛性与 a 有关D.上述三个结论都不正确 解析：解析：由正项级数的比较判别法知，若 u n v n ，则当 v n 收敛时， u n 也收敛；若 u n 发散时，则 10.微分方程 y=x 的通解为 ( )（分数：2.00）A.y=xB.y=x+CC.y= D.y= 解析：解析：本题考查可分离变量的微分方程分离变量得 dy=xdx

10、，两端分别积分，dy=xdx，y= 11.设矩阵 A 33 满足 A * =A T ，其中 A * 为 A 的伴随矩阵，A T 为 A 的转置矩阵，若 a 11 ，a 12 ，a 13 为三个相等的正数，则 a 11 为 ( )（分数：2.00）A. B.3C.D.解析：解析：利用公式 A * A=AA * =AE(E 是与 A 同阶的单位矩阵) 由 A * =A T 及 AA * =AE得 AA T =AE 于是，A 2 =A 3 ，即A=0，1 由可得 =1(显然A=0 不符合题意)，所以 a 11 = 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)12.设 f(x)= （分数：2.00）填空

11、项 1:_ （正确答案：正确答案：x）解析：解析：ff(x)=13.点(3，2，1)到平面 x+y+z 一 1=0 的距离是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由点到平面的距离公式，可得所求距离为 d=14.设 f(x)=x(x+1) 10 ，则f(x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： (x+1) 12 一 ）解析：解析：f(x)dx=x(x+1) 10 dx=(x+1)(x+1) 10 dx 一(x+1) 10 dx=(x+1) 11 d(x+1)一(x+1) 10 d(x+1)= (x+1) 12 一 15.z=(1

12、x) 2 +(2y) 2 的驻点是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1，2)）解析：解析： =一 2(1 一 x)，令 =0，则 x=1， =2(2 一 y)，令16.求 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：43）解析：解析：三、解答题(总题数：9，分数：18.00)17.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.求函数 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y= sin3x，则 导函数 在点 x=0 处没有定义由导数定义有 )解析：解析：此题如果先求函数 y 的导数 y后，再代入 x=0 便得 y没有意义，所以

13、此题只能利用导数的定义式，即 f(x 0 )= 19.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将被积函数变形为 )解析：解析：利用基本积分公式和积分运算性质进行积分，注意在计算时，对被积函数要进行适当的变形20.设 z=f(xy， )，其中 f 具有二阶连续偏导数求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：本题考查的是抽象函数求偏导数的方法，所以直接利用复合函数求偏导的链式法则即可21. 取何值时直线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：直线 )解析：解析：本题考查空间直线与坐标轴的位置关系22.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：L：y=x 2 ，x

14、：01，dy=2xdx， )解析：解析：本题考查曲线积分的计算23.将 f(x)=arctan （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：所给 f(x)与标准展开级数中的形式不同，由于 因而 即有 故)解析：解析：f(x)=arctan 不容易直接展开为幂级数形式，但是对其求导后所得函数，即 f(x)=24.求由曲线 y=2xx 2 与 y=x 所围成的平面图形的面积 S，并求此平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 V x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：所给平面图形如图中阴影部分所示，由 可解得 因此 S= (2xx 2 一 x)dx = (xx 2 )dx V x = (2

15、xx 2 ) 2 一 x 2 dx = (3x 2 4x 3 +x 4 )dx= )解析：解析：本题考查的知识点为定积分的几何应用：利用定积分表示平面图形的面积；利用定积分求绕坐标轴旋转所得旋转体体积25.解线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这里的增广矩阵是 把第一行的适当倍数加到其他各行，得 继续施行初等变换，这一矩阵可以化为 再进一步由第一行减去第二行的三倍，得出矩阵 其对应的线性方程组是 把 x 2 ，x 4 移到右边，作为自由未知数，得原方程组的一般解： x 1 = )解析：解析：本题考查用初等变换求线性方程组的通解四、综合题(总题数：2，分数：4.00)26.做一

16、个如图所示的角铁架子，其底为等腰三角形，底边长为 6m，架子总长为 5m，试求所用角铁最少时，三根角铁的长度各为多少? （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设等腰三角形的高为 h，则 BD=DC= 三根角铁的总长 l=5 一 h+2 l=1+ =0，得 4h 2 =h 2 +9， 解得 h= m 由于只有唯一的驻点，所以 h= m时，所用角铁最少，此时三根角铁的长度分别为 BD=DC= m，AD=(5 )解析：解析：这是应用题中的最值问题，首先要列出函数关系式，再求其在已知条件下的最值27.求由曲线 y=2x 2 ，y=2x 一 1 及 x0 围成的平面图形的面积 S 以及此平面图形绕

17、x 轴旋转一周所得旋转体的体积 V x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知曲线画出平面图形如图阴影区域所示 由 ，得交点坐标为(1，1)，则 )解析：解析：本题考查的知识点有平面图形面积的计算及旋转体体积的计算难点是根据所给的已知曲线画出封闭的平面图形，然后再求其面积 S求面积的关键是确定对 x 积分还是对 y 积分确定平面图形的最简单方法是： 题中给的曲线是三条，则该平面图形的边界也必须是三条，多一条或少一条都不是题中所要求的 确定对 x 积分还是对 y 积分的一般原则是：尽可能用一个定积分而不是几个定积分之和来表示本题如改为对 y 积分，则有 计算量显然比对 x 积分的计算量

18、要大，所以选择积分变量的次序是能否快而准地求出积分的关键 在求旋转体的体积时，一定要注意题目中的旋转轴是 x 轴还是 y 轴 由于本题在 x 轴下面的图形绕 x 旋转成的体积与 x 轴上面的图形绕 x 轴旋转的旋转体的体积重合了，所以只要计算 x 轴上面的图形绕 x 轴旋转形成旋转体的体积即可如果将旋转体的体积写成 V x = (2x 一 1)dx， 则有 而实际体积为 ，两者之差为 ，恰为 x 轴下面的三角形图形绕 z 轴旋转一周的旋转体体积 五、证明题(总题数：1，分数：2.00)28.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(x)1，又设 f(a)a，f(b)b，证明：存在唯一的点 (a，b)，使得 f()=（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：构造函数 F(x)=f(x)一 x，则 F(a)0，F(b)0， 由 F(x)的连续性知，至少存在一点 (a，b)，使 F()=0，即 f()= 若存在 1 ， 2 (a，b)， 1 2 使 F( 1 )=F( 2 )=0 由罗尔中值定理知，存在 (a，b)使 F()=0，即 f()=1，矛盾 故(a，b)内存在唯一的 ，使得 f()=)解析：解析：本题是对罗尔中值定理的考查，通过构造函数 F(x)=f(x)一 x，证明存在唯一的点(a，b)，使得 f()=