【学历类职业资格】专升本高等数学(二)-导数的应用、中值定理及其应用及答案解析.doc

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1、专升本高等数学(二)-导数的应用、中值定理及其应用及答案解析(总分：94.53，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：5，分数：5.00)1.在下列函数中，以 x=0为极值点的函数是_ A.y=-x3 B.y=cosx C.y=tanx-x D.y=arcsinx-x（分数：1.00）A.B.C.D.2.下列命题正确的是_ A.在(a，b)内，f(x)0 是 y=f(x)在(a，b)内为增函数的充分条件 B.可导函数的驻点一定是极值点 C.连续函数在a，b上的极大值必大于极小值 D.函数 y=f(x)的极值点一定是此函数的驻点（分数：1.00）A.B.C.D.3.已知 y=f(x)在

2、 x0处有极大值，下列结论正确的是_ A.f(x0)=0，且 f“(x0)0 B.f(x0)=0，或 f(x0)不存在 C.f(x0)=0 D.f“(x0)0（分数：1.00）A.B.C.D.4.下列命题正确的是_ A.若(x 0，f(x 0)为曲线 y=f(x)的拐点，则 f“(x0)=0 B.若 f“(x0)=0，则(x 0，f(x 0)为曲线 y=f(x)的拐点 C.若 f“(x0)=0，或 f“(x0)不存在，则(x 0，f(x 0)可能为曲线 y=f(x)的拐点 D.以上命题都不对（分数：1.00）A.B.C.D.5.已知(0，1)是曲线 y=ax3+bx+1上的拐点，则 a，b 的

3、值是_ A.a=1，b=-3 B.a0，bR C.a=1，b=0 D.aR，bR（分数：1.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：2，分数：2.00)6.曲线 f(x)=x3-2x在点 x=1的切线方程是 1（分数：1.00）填空项 1:_7.曲线 y=x3-3x2-x的拐点坐标为 1（分数：1.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：3，分数：87.50)证明下列等式或不等式（分数：22.50）(1).arcsinx+arccosx= （分数：2.50）_(2). (x1) （分数：2.50）_(3).求函数 （分数：2.50）_(4).求函数 （分数：2.50）_(5).求

4、曲线 y=ax3+bx2+cx+d，使得(-2，44)为驻点，(1，-10)为拐点（分数：2.50）_(6).描绘函数 （分数：2.50）_(7).欲用围墙围成面积为 216m2的一块巨型的地，并在正中间用一堵墙将其隔成两块问这块土地的长和宽选取多大尺寸时，才能使所用建筑材料最省?（分数：2.50）_(8).求曲线 （分数：2.50）_(9).讨论 （分数：2.50）_求下列函数的极值（分数：35.00）(1).y=excosx（分数：2.50）_(2). （分数：2.50）_(3).试证明：如果函数 y=ax3+bx2+cx+d满足条件 b2-3ac0，那么这个函数没有极值（分数：2.50）

5、_(4).试问 a为何值时，函数 f(x)=asinx+ sin3x在 （分数：2.50）_(5).问函数 y=x2- （分数：2.50）_(6).求函数 f(x)= （分数：2.50）_(7).求函数 y=x2e-x的凹凸区间和拐点（分数：2.50）_(8).描绘函数 y=e-x2的图形（分数：2.50）_(9).求极限 （分数：2.50）_(10).某工厂每天生产 x支产品的总成本为 C(x)= （分数：2.50）_(11).设计一个容积为 Vm3的圆柱形无盖容器，已知每平方米侧面材料的价格是底面材料价格的 1.5倍，问容器的底半径 r与高 h为多少时，材料总造价 y最小?（分数：2.50

6、）_(12).欲围造一个面积为 15000m2的长方形运动场，其正面围墙材料造价为 600元/m 2，其余三面围墙材料造价为 300元/m 2，试问正面长为多少米才能使材料费最少(设围墙的高相同)?（分数：2.50）_(13).由拉格朗日中值定理有 f(b)-f(a)=f()(b-a)，其中 ab讨论求 （分数：2.50）_(14).要产生因式 f(x)-f(x)，如何拼凑?要产生因式 f(x)-f(x)，如何拼凑?要产生因式 f(x)+f(x)，又如何拼凑?（分数：2.50）_已知函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1试证明：（分数：30.03

7、）(1).存在 (0，1)，使得 f()=1-（分数：2.73）_(2).存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f()f()-1（分数：2.73）_(3).设函数 f(x)在区间a，b上连续，在(a，b)内可导证明：在(a，b)内至少存在一点 ，使 （分数：2.73）_(4).设 f(x)在闭区间a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0试证明：在(a，b)内，一定存在kf(x)+f(x)的零点（分数：2.73）_(5).设 f(x)在闭区间0，1上有二阶连续导数，且 f(0)=f(1)=0试证明：至少存在一点 c(0，1)，使 cf“(c)+ （分数：2.73）_(6).设

8、函数 (x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，证明在(a，b)内至少存在一点 ，使 （分数：2.73）_(7).设 =k，求 （分数：2.73）_(8).试确定常数 a，b，使 f(x)=x-(a+bcosx)sinx为当 x0 时是关于 x的 5阶无穷小（分数：2.73）_(9).用麦克劳林公式求极限 （分数：2.73）_(10).设 f(x)为连续函数，若对任意区间a，b都有 （分数：2.73）_(11).设 f(x)为区间a，b上单调减少的连续函数证明： （分数：2.73）_专升本高等数学(二)-导数的应用、中值定理及其应用答案解析(总分：94.53，做题时间：90 分钟)一、B选择题

9、/B(总题数：5，分数：5.00)1.在下列函数中，以 x=0为极值点的函数是_ A.y=-x3 B.y=cosx C.y=tanx-x D.y=arcsinx-x（分数：1.00）A.B. C.D.解析：2.下列命题正确的是_ A.在(a，b)内，f(x)0 是 y=f(x)在(a，b)内为增函数的充分条件 B.可导函数的驻点一定是极值点 C.连续函数在a，b上的极大值必大于极小值 D.函数 y=f(x)的极值点一定是此函数的驻点（分数：1.00）A. B.C.D.解析：3.已知 y=f(x)在 x0处有极大值，下列结论正确的是_ A.f(x0)=0，且 f“(x0)0 B.f(x0)=0，

10、或 f(x0)不存在 C.f(x0)=0 D.f“(x0)0（分数：1.00）A.B. C.D.解析：4.下列命题正确的是_ A.若(x 0，f(x 0)为曲线 y=f(x)的拐点，则 f“(x0)=0 B.若 f“(x0)=0，则(x 0，f(x 0)为曲线 y=f(x)的拐点 C.若 f“(x0)=0，或 f“(x0)不存在，则(x 0，f(x 0)可能为曲线 y=f(x)的拐点 D.以上命题都不对（分数：1.00）A.B.C. D.解析：5.已知(0，1)是曲线 y=ax3+bx+1上的拐点，则 a，b 的值是_ A.a=1，b=-3 B.a0，bR C.a=1，b=0 D.aR，bR（

11、分数：1.00）A.B. C.D.解析：二、B填空题/B(总题数：2，分数：2.00)6.曲线 f(x)=x3-2x在点 x=1的切线方程是 1（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：y=x-2）解析：7.曲线 y=x3-3x2-x的拐点坐标为 1（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：(1，-1)）解析：三、B解答题/B(总题数：3，分数：87.50)证明下列等式或不等式（分数：22.50）(1).arcsinx+arccosx= （分数：2.50）_正确答案：(证明一个函数是常数函数，分为两步：第一步先证其为常数，即证其导为 0；第二步，再用特殊点求常数 设 y=arcsinx

12、+arccosx，由于*，得知函数 y为常数函数取 x=0，得 y=arcsin 0+arccos 0=*，所以 arcsinx+arccosx=*)解析：(2). (x1) （分数：2.50）_正确答案：(设*，由于*，在 x1 时恒有 y0，所以函数*在 x1 上是单调递增的函数而 y(1)=0，从而 y(x)y(1)=0，即 lnx-*，也即 *)解析：(3).求函数 （分数：2.50）_正确答案：(因为*，令 y=0，得驻点 x=1，不可导点 x=0，x=2由于 y(0)=0，y(2)=0，y(3)=*，所以最大值为 y(3)=*，最小值为 y(0)=0，y(2)=0)解析：(4).求

13、函数 （分数：2.50）_正确答案：(为方便求导，把函数改写成指数对数形式：*，由于 * 令 y=0，得 x=e 当 xe 时，y0；当 xe 时，y0说明函数在 x=e处取得极大值，且*)解析：(5).求曲线 y=ax3+bx2+cx+d，使得(-2，44)为驻点，(1，-10)为拐点（分数：2.50）_正确答案：(求曲线 y=ax3+bx2+cx+d，使得(-2，44)为驻点，(1，-10)为拐点由 y=3ax2+2bx+C一 0及已知得知：3a(-2) 2+2b(-2)+c=0，44=a(-2) 3+b(-2)2+c(-2)+d由 y“=6ax+2b=0及已知得知：6a+2b=0，-10

14、=a+b+c+d联立解得：*)解析：(6).描绘函数 （分数：2.50）_正确答案：(描绘函数*的图形 (1)函数 y=f(x)定义域为(-，-1)(-1，+)x=-1 为间断点 * (2)f(x)=0的根为 x=1；f“(x)=0 的根为 x=2点 x=1和 x=2把定义域划分成四个区间：(-，-1)，(-1，1，1，2，2，+) (3)在各部分区间内 f(x)，f“(x)的符号、相应曲线弧的升降及凹凸，以及极值点和拐点等如下表所示 x(-，-1)(-1，1)1(1，2)2(2，+)f(x) - + 0 - - -f“(x) - - - - 0 +f(x) * *极大值点* 拐点 *(4)由

15、于*所以图形有一条水平渐近线 y=2和一条铅直渐近线 x=-1 (5)补充几个点，如算出 x=1，x=2 处的函数值 * 从而得图形上的两个点* 又由于 f(0)=2，*，f(-2)=-4，f(-4)=*，从而得图形上的 4个点 M3(0，2)，*，M 5(-2，-4)，* 函数*的图形如下图所示 *)解析：(7).欲用围墙围成面积为 216m2的一块巨型的地，并在正中间用一堵墙将其隔成两块问这块土地的长和宽选取多大尺寸时，才能使所用建筑材料最省?（分数：2.50）_正确答案：(设 s为围墙总长，长为 x，宽为 y则 xy=216所以* 因为 s=2x+3y=2x+*，所以令*，得 x=18(

16、为 x=-18舍去)且 x=18是函数的唯一驻点由结论知 x=18是极小值点，也是最小值点所以当 x=18m，*时，所用材料最省)解析：(8).求曲线 （分数：2.50）_正确答案：(由*得交点(1，1) 再由*，得切线方程为 *)解析：(9).讨论 （分数：2.50）_正确答案：(定义域为 x-1 由*，得 x=0，x=-2 列表讨论(见下表) x(-，-2)(-2.-1)(-1，0)(0，+)f(x) + - - +f(x) * * * *所以函数的单调递增区间为(-，-2)和(0，+)；单调递减区间为(-2，-1)和(-1，0)解析：求下列函数的极值（分数：35.00）(1).y=exc

17、osx（分数：2.50）_正确答案：(y=e xcosx-exsinx=ex(cosx-sinx)，令 y=0得 x=k+*又 y“=-2exsinx，当*时，*，函数有极大值*当*时，*，函数有极小值*)解析：(2). （分数：2.50）_正确答案：(*，令 f(x)=0，得驻点 x=1，不可导点 x=0列表讨论(见下表) x(-，0)0(0，1)1(1，+)f(z) + - 0 +l厂(z) *极大值*极小值*点 点故极大值 f(0)=0，极小值*)解析：(3).试证明：如果函数 y=ax3+bx2+cx+d满足条件 b2-3ac0，那么这个函数没有极值（分数：2.50）_正确答案：(证明

18、：因 y=3ax2+2bx+c，要使可导函数没有极值，必使 y=0恒不成立即使 3ax2+2bx+c=0没有实数解，从而必须使一元二次方程的判别式 =(26) 2-43ac0 即 b2-3ac0)解析：(4).试问 a为何值时，函数 f(x)=asinx+ sin3x在 （分数：2.50）_正确答案：(f(x)=acosx+cos3x，当*时，f(x)=0，得 acos*+cos=0，从而 a=2 又 f“(x)=-asinx-3sin3x，*，所以有极大值*)解析：(5).问函数 y=x2- （分数：2.50）_正确答案：(*，令 y=0得 x=-3又*所以在 x=-3时 y有最小值，其值为

19、 27)解析：(6).求函数 f(x)= （分数：2.50）_正确答案：(由*得驻点 x=-2，不可导点 x=-5，x=1而 f(-3)=4，f(-2)=*，f(1)=0，f(3)=*所以最大值是 f(3)=*，最小值是 f(1)=0)解析：(7).求函数 y=x2e-x的凹凸区间和拐点（分数：2.50）_正确答案：(因为 y=2xe-x-x2e-x=e-x(2x-x2)y“=e-x(2x-x2)+e-x(2-2x)=e-x(x2-4x+2)令 y“=0解得*易判定*都是拐点凹区间是(-，2-*)(2+*，+)，凸区间是(2-*，2+*)解析：(8).描绘函数 y=e-x2的图形（分数：2.5

20、0）_正确答案：(对于* (1)定义域为 R (2)易知其为偶函数，图像关于 y轴对称，且有 y=-2xe-x2，y“=(4x 2-2)e-x2 令 y=0，得 x1=0； 令 y“=0，得*因此没有使 y，y“不存在的点 (3)讨论函数的性质，如下表所示 x * * * 0 * * *f(x) + + + 0 - - -f“(x) + 0 - - - 0 +f(x) *拐点 *极大 *拐点 *值点可见，有两个拐点*(-0.7，0.6)，*(0.7，0.6)一个极大值点(0，1) (4)因*，所以有水平渐近线 y=0)解析：(9).求极限 （分数：2.50）_正确答案：(*)解析：(10).某

21、工厂每天生产 x支产品的总成本为 C(x)= （分数：2.50）_正确答案：(设利润为 L(x)，*，则L(x)=px-C(x)=*x2+32x-75求导得 L(x)=*+32，令 L(x)=0，得*+32=0，x=36，从而*又 L“(x)=*0，所以当每天生产 36支时，获利润最大，此时每支售价为 13元)解析：(11).设计一个容积为 Vm3的圆柱形无盖容器，已知每平方米侧面材料的价格是底面材料价格的 1.5倍，问容器的底半径 r与高 h为多少时，材料总造价 y最小?（分数：2.50）_正确答案：(在不影响问题解答的前提下，不妨设底面材料价格为 1个单位则y=r 2+2rh1.5由于 V

22、=r 2h，得*，代入上式得 y=r 2+*求导得 y=2r-*，令 y=0，解得 3V=2r 3联立 V=r 2h。两式相比得*又因*，所以函数 y有极小值进一步求出*)解析：(12).欲围造一个面积为 15000m2的长方形运动场，其正面围墙材料造价为 600元/m 2，其余三面围墙材料造价为 300元/m 2，试问正面长为多少米才能使材料费最少(设围墙的高相同)?（分数：2.50）_正确答案：(设运动场正面围墙长为 xm，则宽为*m四面围墙的高记为 hm，四面围墙所用材料费用 f(x)来表示，则*令 f(x)=0，所以 x1=100m，x 2=-100m(舍)*因为 f“(100)0，由

23、于驻点唯一，且存在最小值，可知 x=100m，侧面长为 150m时，所用材料费最小)解析：(13).由拉格朗日中值定理有 f(b)-f(a)=f()(b-a)，其中 ab讨论求 （分数：2.50）_正确答案：(*可能存在，也可能不存在 在 f“(x)在 x=a连续的条件下，有*=f“(a) 错误解法：由拉格朗日中值定理知，存在(a，b)内的 ，所以当 ba 时，必有 a，从而有 * 分析错因：上述推理实际上似定了 f(x)在 x=a连续，此时才成立=*=f(a)但这个假定是拉格朗日中值定理的条件中所不具备的，所以不能推出这个结论 例如，函数 * 在0，1上连续，在(0，1)内可导，满足拉格朗日

24、中值定理的条件，但由定义可知 f(0)根本不存在，因而*不可能成立)解析：(14).要产生因式 f(x)-f(x)，如何拼凑?要产生因式 f(x)-f(x)，如何拼凑?要产生因式 f(x)+f(x)，又如何拼凑?（分数：2.50）_正确答案：(要产生因式 f(x)-f(x)，只须用(f(x)e -x )=(f(x)-f(x)e -x 拼凑；要产生因式f(x)-f(x)，只须用*拼凑；要产生因式 f(x)+f(x)，只须用*拼凑)解析：已知函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1试证明：（分数：30.03）(1).存在 (0，1)，使得 f()=1-

25、（分数：2.73）_正确答案：(证明 令 g(x)=f(x)+x-1，则 g(x)在0，1上连续，且 g(0)=-10，g(1)=10 根据连续函数的零点定理，可知存在 (0，1)，使得 g()=f()+-1=0，即 f()=1-)解析：(2).存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f()f()-1（分数：2.73）_正确答案：(证明 由于函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在(0，1)内可导，根据拉格朗日中值定理，存在 (0，)*(0，1)，(，1)*(0，1)，使得 *)解析：(3).设函数 f(x)在区间a，b上连续，在(a，b)内可导证明：在(a，b)内至少存在一点 ，使 （分数：2.

26、73）_正确答案：(证明 作辅助函数 F(x)=xf(x)，则 F(x)在区间a，b上连续，在(a，b)内可导，满足拉格朗日中值定理条件，从而至少存在一点 (a，b)，使得 * 由于 F(x)=f(x)+xf(x)，可见 *)解析：(4).设 f(x)在闭区间a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0试证明：在(a，b)内，一定存在kf(x)+f(x)的零点（分数：2.73）_正确答案：(证明 设 F(x)=ekxf(x)，则 F(x)在闭区间a，b上连续，在(a，b)内可导，且F(a)=ekaf(a)=0，F(b)=e kbef(b)=0由罗尔定理知至少存在一点 (a，b)

27、，使得 F()=0，即kekxf(x)+ekxf(x)|x= =0kf(x)+f(x)|x= =0也就是在(a，b)内，一定存在是 kf(x)+f(x)的零点)解析：(5).设 f(x)在闭区间0，1上有二阶连续导数，且 f(0)=f(1)=0试证明：至少存在一点 c(0，1)，使 cf“(c)+ （分数：2.73）_正确答案：(证明 设*，由于 F(0)=0，*，由题意，F(x)在闭区间0，1上连续且可导由罗尔定理知至少存在一点 c(0，1)，使得 * 即 *)解析：(6).设函数 (x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，证明在(a，b)内至少存在一点 ，使 （分数：2.73）_正确答案：(证明 取 F(x)=(b-x)(x)-(a)，F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 F(a)=F(b)，由罗尔定理知至少存在一点 (a，b)使 F()=0，即*)解析：解析 要证(b-)()-()-(a)=0，即要证(b-x)(x)-(a)+(b-x)(x)-(a)| x=(b-x)(x)-(a)| x= =0可取 F(x)=(b-x)(x)-(a)，利用罗尔定理证明(7).设 =k，求 （分数：2.73）_正确答案：(由拉格朗日中值定理知，f(x+a)-f(x)=f()a，其中， 介于 x，x+a 之间，故当 x