2017年江苏省南京市高考一模数学.docx

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1、2017年江苏省南京市高考一模数学 一 、 填空题 (每题 5分，共 70分 ) 1.已知集合 A=x|x| 2， B=x|3x-2 1，则 A B=_. 解析： 由 A中不等式解得： -2 x 2，即 A=x|-2 x 2， 由 B中不等式解得： x 1，即 B=x|x 1， 则 A B=x|1 x 2. 答案 ： x|1 x 2 2.复数 212aii(i是虚数单位 )是纯虚数，则实数 a 的值为 _. 解析： 2 1 2 4 2 1 2 1241 2 1 2 1 2 5 5 5 a i i a a i aa i a ii i i 复数 212aii是纯虚数 4 052105aa，解得：

2、a=4 答案 ： 4 3.已知命题 p： x R， x2+2x+a 0是真命题，则实数 a的取值范围是 _. 解析： 若命题 p： x R， x2+2x+a 0是真命题， 则判别式 =4-4a 0， 即 a 1. 答案 ： (-， 1 4.从长度为 2、 3、 5、 6的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率为 _. 解析： 从长度为 2、 3、 5、 6的四条线段中任选三条， 共有 2、 3、 5； 2、 3、 6； 2、 5、 6； 3、 5、 6； 4种情况， 能构成三角形的有 2、 5、 6； 3、 5、 6，共两种情况， 所以 P(任取三条，能构成三角形 )=24=12 答案 ： 1

3、25.某个容量为 100的样本的频率分布直方图如下，则在区间 4， 5)上的数据的频数为 _. 解析： 根据题意， 在区间 4， 5的频率为： 1-(0.05+0.1+0.15+0.4) 1=0.3， 而总数为 100，因此频数为 30 答案： 30 6.在如图所示的算法流程图中，若输出的 y的值为 26，则输入的 x的值为 _. 解析： 模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出2542 2 4xyx x x的值， 当输出的 y的值为 26 时，显然 x 4，有 x2-2x+2=26， 解得： x=-4或 x=6(舍去 ) 答案 ： -4 7.在平面直角坐标系 xOy中，点 F为抛物线

4、 x2=8y 的焦点，则点 F到双曲线 22 19yx 的渐近线的距离为 _. 解析： 抛物线 x2=8y的焦点 F(0， 2)， 双曲线 22 19yx 的渐近线方程为 y= 3x， 则 F到双曲线 22 19yx 的渐近线的距离为 222 10531d 答案 ： 105 8.已知 a， b为实数，且 a b， a 0，则 a_ 22 bba (填“”、“”或“ =” ) 解析： a b， a 0， 2220（ ） abbabaa ， 22 baba 答案 ： 9. ABC 是直角边等于 4 的等腰直角三角形， D 是斜边 BC 的中点， 1 4A M A B m A C，向量 AM 的终点

5、 M在 ACD的内部 (不含边界 )，则 AM BM 的取值范围是 _. 解析： 以 AB 为 x轴， AC为 y轴，作图如 下 图， 点 A(0， 0)， B(4， 0)， C(0， 4)， D(2， 2)， 则 1144 =A M A B m A C(4， 0)+m(0， 4)=(1， 4m)，则 M(1， 4m) 又点 M在 ACD的内部 (不含边界 )， 1 4m 3， 1344 m， 则 AM BM (1， 4m) (-3， 4m)=16m2-3， -2 16m2-3 6. 答案 ： (-2， 6) 10.已知四数 a1， a2， a3， a4依次成等比数列，且公比 q不为 1将此数

6、列删去一个数后得到的数列 (按原来的顺序 )是等差数列，则正数 q的取值集合是 _. 解析： 因为公比 q不为 1，所以不能删去 a1， a4设 an的公差为 d，则 若删去 a2，则由 2a3=a1+a4得 2a1q2=a1+a1q3，即 2q2=1+q3， 整理得 q2(q-1)=(q-1)(q+1) 又 q 1，则可得 q2=q+1，又 q 0解得 152q ； 若删去 a3，则由 2a2=a1+a4得 2a1q=a1+a1q3，即 2q=1+q3，整理得 q(q-1)(q+1)=q-1 又 q 1，则可得 q(q+1)=1，又 q 0解得 152q 综上所述， 152q 答案 ： 15

7、2， 152 11.已知棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1， F 是棱 BC 的中点， M 是线段 A1F 上的动点，则MDD1与 MCC1的面积和的最小值是 _. 解析： 由题意，就是求 M到 DD1与 CC1距离和的最小值，由于 A1F在平面 ABCD上的射影为 AF，故问题转化为正方形 ABCD中， AF上的点到 D， C距离和的最小值，设出 D关于 AF 的对称点D，则 DD =455， cos CDD = 15 1 6 4 5 1 6 51 2 15 5 55CD ， MDD1与 MCC1的面积和的最小值是 1 6 5 6 52 5 1 0. 答案 ： 6510 12.

8、已知函数 f(x)=-x2+ax+b(a， b R)的值域为 (-， 0，若关于 x的不等式 f(x) c-1 的解集为 (m-4， m+1)，则实数 c的值为 _. 解析： 函数 f(x)=-x2+ax+b(a， b R)的值域为 (-， 0， =0， a2+4b=0， 24ab 关于 x的不等式 f(x) c-1的解集为 (m-4， m+1)， 方程 f(x)=c-1的两根分别为： m-4， m+1， 即方程： 22 14ax a x c 两根分别为： m-4， m+1， 方程： 22 14ax a x c 根为： 12 axc， 两根之差为： 2 1 1 4（ ） （ ）c m m ，

9、214c 答案 ： 214 13.若对任意的 x D，均有 f1(x) f(x) f2(x)成立，则称函数 f(x)为函数 f1(x)到函数 f2(x)在区间 D 上的“折中函数”已知函数 f(x)=(k-1)x-1， g(x)=0， h(x)=(x+1)lnx，且 f(x)是 g(x)到 h(x)在区间 1， 2e上的“折中函数”，则实数 k的值构成的集合是 _. 解析： 根据题意，可得 0 (k-1)x-1 (x+1)lnx在 x 1， 2e上恒成立 当 x 1， 2e时，函数 f(x)=(k-1)x-1的图象为一条线段， 于是， 1020ffe，解得 k 2 另一方面， 1 ln 11

10、xxkx 在 x 1， 2e上恒成立 令 1 l n 1 l n 1ln xx xm x xx x x ， 则 2ln xxmx x 由于 1 x 2e， 所以 1ln 1 0xxx ， 于是函数 x-lnx为增函数， 从而 x-lnx 1-ln1 0， 所以 m (x) 0， 则函数 m(x)为 1， 2e上的增函数 所以 k-1 m(x)min=m(1)=1， 即 k 2 综上， k=2 答案 ： 2 14.若实数 x， y满足 42x y x y ，则 x的取值范围是 _. 解析： 方法一：【几何法】 当 x=0时，解得 y=0，符合题意，当 x 0时，解答如下： 令 0，t y x ，

11、原方程可化为： 222xt x t ， 记函数 22（ ） xf t t ， 2（ ）g t x t， t 0， x ， 这两个函数都是关于 t 的函数，其中 x为参数， f(t)的图象为直线，且斜率为定值 -2， g(t)的图象为四分之一圆，半径为为 x ， 问题等价为，在第一象限 f(t)， g(t)两图象有公共点， 当直线与圆相切时，由 d=r解得 x=20， 当直线过的点 A(0，2x)在圆上的点 (0， x )处时， 即2=xx，解得 x=4， 因此，要使直线与圆有公共点， x 4， 20， 综合以上分析得， x 4， 20 0 方法二：【代数法】 令 0，t y x ，原方程可化为

12、： 242x t x t ， 因为 x-y=x-t2 0，所以 x t2 0， 两边平方并整理得， 20t2-8xt+x2-4x=0(*)， 这是一个关于 t的一元二次方程，则方程 (*)有两个正根 (含相等 )， 222126 4 8 0 4 01 4020x x xt t x x ，解得， x 4， 20 0 特别地，当 x=0时， y=0，符合题意 答案 ： 4， 20 0 二、解答题：本大题共 6小题，共 90 分 .请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 15.如图，在平面直角坐标系 xOy上，点 A(1， 0)，点 B在单位圆上， AOB= (0 )

13、 (1)若点 B 34()55，求 tan( +4)的值； (2)若 O A O B O C， 1813OB OC，求 cos(3- ) 解析： (1)利用三角函数的定义及其和差公式即可得出； (2)利用向量的坐标运算、数量积运算性质、同角三角函数基本关系式、和差公式即可得出 答案： (1)由点 B 34()55， sin =45， cos 35， tan = 43 4 1t a n t a n13t a n4 71 t a n t a n444 1 3（ ） ； (2) O A O B O C， OC =(1+cos， sin ) 1813OB OC， (cos， sin ) (1+cos，

14、 sin )=cos +cos2 +sin2 =cos +1=1813， 解得 cos =513， 0， 2 12s i n 1 c o s13 1 5 3 1 2 5 1 2 3c o s c o s c o s s i n s i n3 3 3 2 1 3 2 1 3 2 6（ ） 16.如图，六面体 ABCDE中，面 DBC面 ABC， AE面 ABC (1)求证： AE面 DBC； (2)若 AB BC， BD CD，求证： AD DC 解析： (1)过点 D作 DO BC， O为垂足，由已知得 DO面 ABC，由此能证明 AE面 DBC (2)由已知得 DO AB， AB面 DBC，

15、从而 AB DC，由此能证明 AD DC 答案： (1)过点 D作 DO BC， O为垂足 因为面 DBC面 ABC，又面 DBC面 ABC=BC， DO 面 DBC， 所以 DO面 ABC 又 AE面 ABC，则 AE DO 又 AE 面 DBC， DO 面 DBC，故 AE面 DBC (2)由 (1)知 DO面 ABC， AB 面 ABC，所以 DO AB 又 AB BC，且 DO BC=O， DO， BC 平面 DBC，则 AB面 DBC 因为 DC 面 DBC，所以 AB DC 又 BD CD， AB DB=B， AB， DB 面 ABD，则 DC面 ABD 又 AD 面 ABD，故可

16、得 AD DC 17.如图，某城市有一条公路正西方 AO 通过市中心 O 后转向北偏东角方向的 OB，位于该市的某大学 M 与市中心 O 的距离 3 13OM km，且 AOM=，现要修筑一条铁路 L， L 在OA上设一站 A，在 OB上设一站 B，铁路在 AB部分为直线段，且经过大学 M，其中 tan =2，3cos13 ， AO=15km (1)求大学 M在站 A的距离 AM； (2)求铁路 AB段的长 AB 解析： (1)在 AOM中，利用已知及余弦定理即可解得 AM的值； (2)由 3cos13 ，且为锐角，可求 sin，由正弦定理可得 sin MAO，结合 tan =2，可求 sin

17、， cos， sin ABO， sin AOB，结合 AO=15，由正弦定理即可解得 AB的值 答案： (1)在 AOM中， A0=15， AOM=，且 3cos13 ， 3 13OM ， 由余弦定理可得： AM2=OA2+OM2-2OA OM cos AOM=22 33 1 3 1 5 2 3 1 3 1 5 7 213（ ） 所以可得： 62AM ，大学 M在站 A的距离 AM 为 62km (2) 3cos13 ，且为锐角， 2sin13 ， 在 AOM中，由正弦定理可得：s in s inA M O MM A O ，即623 1 32s in13 M A O ， 2s in2M A O

18、， 4MAO ， ABO= -4， tan =2， 2sin5， 1cos5 ， 1s i n s i n4 10（ ）ABO ， 又 AOB= -， sin AOB=sin( - )= 25 在 AOB中， AO=15，由正弦定理可得：s i n s i nA B A OA O B A B O，即 15215 10AB ， 解得 30 2AB ，即铁路 AB段的长 AB为 30 2 km 18.设椭圆 C： 221xyab(a b 0)的离心率 32e，直线 y=x+ 2 与以原点为圆心、椭圆 C的短半轴长为半径的圆 O相切 (1)求椭圆 C的方程； (2)设直线 12x与椭圆 C交于不同的

19、两点 M， N，以线段 MN为直径作圆 D，若圆 D与 y轴相交于不同的两点 A， B，求 ABD的面积； (3)如图， A1， A2， B1， B2是椭圆 C 的顶点， P 是椭圆 C 上除顶点外的任意点，直线 B2P 交 x轴于点 F，直线 A1B2交 A2P于点 E，设 A2P的斜率为 k， EF的斜率为 m，求证： 2m-k 为定值 解析： (1)由于直线 y=x+ 2 与以原点为圆心、椭圆 C的短半轴长为半径的圆 O相切，可得 022 b ，解得 b又离心率 32 ce a， b2=a2-c2，联立解得即可得出 (2)把 12x代入椭圆方程可得： 2 1116y ，可得 D的方程为：

20、 2 21 1 52 1 6xy令x=0，解得 y，可得 |AB|，利用 1 2ABDS A B O D即可得出 (3)由 (1)知： A1(-2， 0)， A2(2， 0)， B2(0， 1)，可得直线 A1B2AD的方程，设直线 A2P的方程为 y=k(x-2)， k 0，且 k 12，联立解得 E设 P(x1， y1)，与椭圆方程联立可得(4k2+1)x2-16k2x+16k2-4=0解得 P设 F(x2， 0)，则由 P， B2， F三点共线得， kB2P kB2F可得 F即可证明 2m-k为定值 答案： (1)直线 y=x+ 2 与以原点为圆心、椭圆 C的短半轴长为半径的圆 O 相切

21、， 022 b ，化为 b=1 离心率 32 ce a， b2=a2-c2=1，联立解得 a=2， c= 3 椭圆 C的方程为 2 2 14x y； (2)解：把 12x代入椭圆方程可得： 2 1116y ，解得 154y D的方程为： 2 21 1 52 1 6xy 令 x=0，解得 114y ， 112AB， 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 8ABDS A B O D (3)证明：由 (1)知： A1(-2， 0)， A2(2， 0)， B2(0， 1)， 直线 A1B2的方程为 y 12x+1， 由题意，直线 A2P的方程为 y=k(x-2)， k 0，且 k 12， 由 1

22、122yxy k x ，解得 4 2 421( 2 )1，kkE 设 P(x1， y1)，则由 22214y k xx y ，得 (4k2+1)x2-16k2x+16k2-4=0 21 216 42 41kx k ， 21 28241kx k ，11 242 41（ ） ky k x k 2228 2 44 1 4 )1( ，kkP 设 F(x2， 0)，则由 P， B2， F 三点共线得， kB2P kB2F 即 22 224 1014182 0041kkk xk ，2 4221kx k ， F(4221kk， 0) EF的斜率4 021214 2 4 2 42 1 2 1kkkmkkkk

23、2 1 1222km k k 为定值 19.已知数列 an的前 n项和为 Sn，且满足 Sn+n=2an(n N*) (1)证明：数列 an+1为等比数列，并求数列 an的通项公式； (2)若 bn=(2n+1)an+2n+1，数列 bn的前 n项和为 Tn求满足不等式 2 201021nTn的 n的最小值 解析： (1)利用递推式，再写一式，两式相减，可得数列 an+1为等比数列，从而可求数列an的通项公式； (2)求出数列 bn的前 n项和为 Tn，代入可求满足不等式 2 201021nTn的 n的最小值 答案： (1)证明：当 n=1时， 2a1=a1+1， a1=1 2an=Sn+n，

24、 n N*， 2an-1=Sn-1+n-1， n 2， 两式相减得 an=2an-1+1， n 2，即 an+1=2(an-1+1)， n 2， 数列 an+1为以 2为首项， 2为公比的等比数列， an+1=2n， an=2n-1， n N*； (2)解： bn=(2n+1)an+2n+1=(2n+1) 2n， Tn=3 2+5 22+ +(2n+1) 2n， 2Tn=3 22+5 23+ +(2n+1) 2n+1， 两式相减可得 -Tn=3 2+2 22+2 23+ +2 2n-(2n+1) 2n+1， Tn=(2n-1) 2n+1+2 2 201021nTn可化为 2n+1 2010 2

25、10=1024， 211=2048 满足不等式 2 201021nTn的 n的最小值为 10 20.已知函数 21 ln2（ ）f x a x x， g(x)=-bx，其中 a， b R，设 h(x)=f(x)-g(x)， (1)若 f(x)在 22x处取得极值，且 f (1)=g(-1)-2求函数 h(x)的单调区间； (2)若 a=0时，函数 h(x)有两个不同的零点 x1， x2 求 b的取值范围； 求证： 122 1xxe 解析： (1)根据极值点处的导数为零，结合 f(1)=g(-1)-2列出关于 a， b的方程组，求出 a，b，然后再利用导数研究导数研究单调区间； (2)将 a=0

26、代入，研究极值的符号，即可求出求 b的取值范围， 结合的结论，通过适当的变形，利用放缩法和基本不等式即可证明 答案： (1)由已知得 1f x axx， (x 0)， 所以 22 20 fa ，所以 a=-2 由 f (1)=g(-1)-2， 得 a+1=b-2， 所以 b=1 所以 h(x)=-x2+lnx+x， (x 0) 则 1211 221 xxh x xxx ， (x 0)， 由 h (x) 0得 0 x 1， h (x) 0得 x 1 所以 h(x)的减区间为 (1， + )，增区间为 (0， 1) (2)由已知 h(x)=lnx+bx， (x 0) 所以 1h x bx， (x

27、0)， 当 b 0时，显然 h (x) 0恒成立，此时函数 h(x)在定义域内递增， h(x)至多有一个零点，不合题意 当 b 0时，令 h (x)=0得 1 0xb，令 h (x) 0得 10 xb；令 h (x) 0得 1xb 所以 h(x)极大 = 1 10（ ） （ ） h ln bb ，解得 1 0 be 且 x 0时， lnx 0， x +时， lnx 0 所以当 b ( 1e， 0)时， h(x)有两个零点 证明：由题意得 1122ln 0ln 0x bxx bx，即 1212 bxbxexex， 得 1212b x xe x x 因为 x1， x2 0， 所以 -b(x1+x2

28、) 0， 所以 1212b x xe x x 1， 因为 10 be， 所以 e-b 1， 所以 1 2 1 222 212 b x x x xx x e e e， 所以 122 1xxe 选做题 (选修 4-2：矩阵与变换 ) 21.已知点 P(a， b)，先对它作矩阵1322 3122M对应的变换，再作 20 02N 对应的变换，得到的点的坐标为 (8， 43)，求实数 a， b的值 解析： 利用矩阵的乘法，求出 MN， (NM)-1，利用变换得到的点的坐标为 (8， 43)，即可求实数 a， b的值 答案： 依题意，132 0 1 32202 3 1 3 122NM ， 由逆矩阵公式得，

29、 113443144（ ）NM ， 所以1385444 3 33144 ，即有 a=5， b= 3 选修 4-4：坐标系与参数方程 22.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 x 轴的正半轴重合，若直线 l的极坐标方程为 s in 2 24（ ）p (1)把直线 l的极坐标方程化为直角坐标系方程； (2)已知 P为椭圆 C： 22139xy上一点，求 P到直线 l的距离的最小值 解析： (1)把直线 l的极坐标方程化为直角坐标系方程即可； (2)设 3 c o s 3 s in（ ， ）P ，利用点到直线的距离公式表示出 P 到直线 l 的距离 d，利用余弦函数的值域确定出最小值即

30、可 答案： (1)直线 l的极坐标方程为 s in 2 24（ ）p ， 整理得： 22s i n c o s c o s s i n s i n c o s 2 24 4 2 2（ ） ， 即 sin - cos =4， 则直角坐标系中的方程为 y-x=4，即 x-y+4=0； (2)设 3 c o s 3 s in（ ， ）P ， 点 P 到 直 线 l 的 距 离2 3 c o (s43 c o s 3 s i n 4 2 3 432 2 62|2)2|d ， 则 P到直线 l的距离的最小值为 2 2 6 【必做题】第 23 题、第 24 题，每题 10分，共计 20 分 . 23.抛掷

31、甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有 1， 2， 3， 4 的正四面体，其底面落于桌面，记所得数字分别为 x， y设为随机变量，若 xy为整数，则 =0；若 xy为小于 1 的分数，则 =-1；若 xy为大于 1的分数，则 =1 (1)求概率 P( =0)； (2)求的分布列，并求其数学期望 E( ) 解析： (1)数对 (x， y)共有 16种，利用列举法求出使 xy为整数的种数，由此能求出概率 P(=0) (2)随机变量的所有取值为 -1， 0， 1，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望 答案： (1)依题意，数对 (x， y)共有 16 种，其中使 xy为整数的有以下 8种：

32、(1， 1)， (2， 2)， (3， 3)， (4， 4)， (2， 1)， (3， 1)， (4， 1)， (4， 2)， 所以 81016) 2( P ； (2)随机变量的所有取值为 -1， 0， 1， =-1有以下 6种： (1， 2)， (1， 3)， (1， 4)， (2， 3)， (2， 4)， (3， 4)， 故 63-116) 8( P ， =1有以下 2种： (3， 2)， (4， 3)，故 21116) 8( P ， 3 1 1018 8 2（ ）P ， 的分布列为： -1 0 1 P 38 12 18 的数学期望为 3 1 1 11 0 18 2 8() 4 E 24.

33、已知 (x+2)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2 +an(x-1)n(n N*) (1)求 a0及1nniiSa； (2)试比较 Sn与 (n-2)3n+2n2的大小，并说明理由 解析： (1)令 x=1，则 a0 3n，再令 x=2，则04n niia ，可得1nniiSa的值 (2)要比较 Sn与 (n-2)3n+2n2的大小，只要比较 4n与 (n-1)3n+2n2的大小检验可得当 n=1或 4或 5时， 4n (n-1)3n+2n2，当 n=2或 3时， 4n (n-1)3n+2n2猜测当 n 4时， 4n (n-1)3n+2n2，再用下面用数学归纳法、放缩法证明结论 答案：

34、 (1)令 x=1，则 a0 3n，令 x=2，则04n niia ，所以143n nnniiSa (2)要比较 Sn与 (n-2)3n+2n2的大小，只要比较 4n与 (n-1)3n+2n2的大小 当 n=1时， 4n (n-1)3n+2n2， 当 n=2或 3时， 4n (n-1)3n+2n2，当 n=4或 5时， 4n (n-1)3n+2n2 猜想：当 n 4时， 4n (n-1)3n+2n2下面用数学归纳法证明： 由上述过程可知，当 n=4 时，结论成立 假设当 n=k(k 4， k N*)时结论成立，即 4k (k-1)3k+2k2， 两边同乘以 4，得 4k+1 4(k-1)3k+2k2=k3k+1+2(k+1)2+(k-4)3k+6k2-4k-2， 而 (k-4)3k+6k2-4k-2=(k-4)3k+6(k2-k-2)+2k+10=(k-4)3k+6(k-2)(k+1)+2k+10 0， 所以 4k+1 (k+1)-13k+1+2(k+1)2， 即 n=k+1时结论也成立 由可知，当 n 4 时， 4n (n-1)3n+2n2成立 综上所述，当 n=1时， Sn (n-2)3n+2n2；当 n=2或 3时， 4n (n-1)3n+2n2， Sn (n-2)3n+2n2； 当 n 4时， Sn (n-2)3n+2n2