复变函数与积分变换重要知识点归纳.pdf

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1、复 变 函 数 与 积 分 变 换 重 要 知 识 点 归 纳 ( 一 ) 复 数 的 概 念 1 . 复 数 的 概 念 ： z x i y ， , x y 是 实 数 , R e , I m x z y z . 2 1 i . 注 ： 一 般 两 个 复 数 不 比 较 大 小 ， 但 其 模 （ 为 实 数 ） 有 大 小 . 2 . 复 数 的 表 示 1 ） 模 ： 2 2 z x y ； 2 ） 幅 角 ： 在 0 z 时 ， 矢 量 与 x 轴 正 向 的 夹 角 ， 记 为 A r g z （ 多 值 函 数 ） ； 主 值 a r g z 是 位 于 ( , 中 的 幅 角

2、。 3 ） a r g z 与 a r c t a n y x 之 间 的 关 系 如 下 ： 当 0 , x a r g a r c t a n y z x ； 当 0 , a r g a r c t a n 0 , 0 , a r g a r c t a n y y z x x y y z x ； 4 ） 三 角 表 示 ： c os s i n z z i ， 其 中 a r g z ； 注 ： 中 间 一 定 是 “ + ” 号 。 5 ） 指 数 表 示 ： i z z e ， 其 中 a r g z 。 ( 二 ) 复 数 的 运 算 1 . 加 减 法 ： 若 1 1 1 2 2

3、 2 , z x i y z x i y ， 则 1 2 1 2 1 2 z z x x i y y 2 . 乘 除 法 ： 1 ） 若 1 1 1 2 2 2 , z x i y z x i y ， 则 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 z z x x y y i x y x y ； 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x i y x i y z x i y x x y y y x y x i z x i y x i y x i y x y x y 。 2 ） 若 1 2 1 1 2 2 , i i z

4、 z e z z e , 则 1 2 1 2 1 2 i z z z z e ； 1 2 1 1 2 2 i z z e z z 3 . 乘 幂 与 方 根 1 ） 若 ( c os s i n ) i z z i z e ， 则 ( c os s i n ) n n n i n z z n i n z e 。1 2 ） 若 ( c os s i n ) i z z i z e ， 则 1 2 2 c os s i n ( 0 , 1 , 2 1 ) n n k k z z i k n n n （ 有 n 个 相 异 的 值 ） （ 三 ） 复 变 函 数 1 复 变 函 数 ： w f z

5、， 在 几 何 上 可 以 看 作 把 z 平 面 上 的 一 个 点 集 D 变 到 w 平 面 上 的 一 个 点 集 G 的 映 射 . 2 复 初 等 函 数 1 ） 指 数 函 数 ： c os s i n z x e e y i y ， 在 z 平 面 处 处 可 导 ， 处 处 解 析 ； 且 z z e e 。 注 ： z e 是 以 2 i 为 周 期 的 周 期 函 数 。 （ 注 意 与 实 函 数 不 同 ） 3 ） 对 数 函 数 ： l n ( a r g 2 ) L nz z i z k ( 0 , 1 , 2 ) k （ 多 值 函 数 ） ； 主 值 ： l

6、n l n a r g z z i z 。 （ 单 值 函 数 ） L nz 的 每 一 个 主 值 分 支 l n z 在 除 去 原 点 及 负 实 轴 的 z 平 面 内 处 处 解 析 ， 且 1 l nz z ； 注 ： 负 复 数 也 有 对 数 存 在 。 （ 与 实 函 数 不 同 ） 3 ） 乘 幂 与 幂 函 数 ： ( 0) b bL na a e a ； ( 0) b bL nz z e z 注 ： 在 除 去 原 点 及 负 实 轴 的 z 平 面 内 处 处 解 析 ， 且 1 b b z bz 。 4 ） 三 角 函 数 ： s i n c os s i n ,

7、c os , t , 2 2 c os s i n i z i z i z i z e e e e z z z z gz c t gz i z z s i n , c os z z 在 z 平 面 内 解 析 ， 且 s i n c os , c os s i n z z z z 注 ： 有 界 性 s i n 1 , c os 1 z z 不 再 成 立 ； （ 与 实 函 数 不 同 ） 4 ） 双 曲 函 数 , 2 2 z z z z e e e e s hz c hz ； s h z 奇 函 数 ， c h z 是 偶 函 数 。 , s hz c hz 在 z 平 面 内 解 析

8、， 且 , s hz c hz c hz s hz 。 （ 四 ） 解 析 函 数 的 概 念 1 复 变 函 数 的 导 数 1 ） 点 可 导 ： 0 f z = 0 0 0 l i m z f z z f z z ；2 2 ） 区 域 可 导 ： f z 在 区 域 内 点 点 可 导 。 2 解 析 函 数 的 概 念 1 ） 点 解 析 ： f z 在 0 z 及 其 0 z 的 邻 域 内 可 导 ， 称 f z 在 0 z 点 解 析 ； 2 ） 区 域 解 析 ： f z 在 区 域 内 每 一 点 解 析 ， 称 f z 在 区 域 内 解 析 ； 3 ） 若 ( ) f z

9、 在 0 z 点 不 解 析 ， 称 0 z 为 f z 的 奇 点 ； 3 解 析 函 数 的 运 算 法 则 ： 解 析 函 数 的 和 、 差 、 积 、 商 （ 除 分 母 为 零 的 点 ） 仍 为 解 析 函 数 ； 解 析 函 数 的 复 合 函 数 仍 为 解 析 函 数 ； （ 五 ） 函 数 可 导 与 解 析 的 充 要 条 件 1 函 数 可 导 的 充 要 条 件 ： , , f z u x y i v x y 在 z x i y 可 导 , u x y 和 , v x y 在 , x y 可 微 ， 且 在 , x y 处 满 足 C D 条 件 ： , u v u

10、 v x y y x 此 时 ， 有 u v f z i x x 。 2 函 数 解 析 的 充 要 条 件 ： , , f z u x y i v x y 在 区 域 内 解 析 , u x y 和 , v x y 在 , x y 在 D 内 可 微 ， 且 满 足 C D 条 件 ： , u v u v x y y x ； 此 时 u v f z i x x 。 注 意 ： 若 , , , u x y v x y 在 区 域 D 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 则 , , , u x y v x y 在 区 域 D 内 是 可 微 的 。 因 此 在 使 用 充 要 条 件 证 明

11、 时 ， 只 要 能 说 明 , u v 具 有 一 阶 连 续 偏 导 且 满 足 C R 条 件 时 ， 函 数 ( ) f z u i v 一 定 是 可 导 或 解 析 的 。 3 函 数 可 导 与 解 析 的 判 别 方 法 1 ） 利 用 定 义 （ 题 目 要 求 用 定 义 ， 如 第 二 章 习 题 1 ） 2 ） 利 用 充 要 条 件 （ 函 数 以 , , f z u x y i v x y 形 式 给 出 ， 如 第 二 章 习 题 2 ） 3 ） 利 用 可 导 或 解 析 函 数 的 四 则 运 算 定 理 。 （ 函 数 f z 是 以 z 的 形 式 给 出

12、 ， 如 第 二 章 习 题 3 ） （ 六 ） 复 变 函 数 积 分 的 概 念 与 性 质 1 复 变 函 数 积 分 的 概 念 ： 1 l i m n k k c n k f z dz f z ， c 是 光 滑 曲 线 。3 注 ： 复 变 函 数 的 积 分 实 际 是 复 平 面 上 的 线 积 分 。 2 复 变 函 数 积 分 的 性 质 1 ） 1 c c f z dz f z dz （ 1 c 与 c 的 方 向 相 反 ） ； 2 ） , , c c c f z g z dz f z dz g z dz 是 常 数 ； 3 ） 若 曲 线 c 由 1 c 与 2 c

13、连 接 而 成 ， 则 1 2 c c c f z dz f z dz f z dz 。 3 复 变 函 数 积 分 的 一 般 计 算 法 1 ） 化 为 线 积 分 ： c c c f z dz udx v dy i v dx udy ； （ 常 用 于 理 论 证 明 ） 2 ） 参 数 方 法 ： 设 曲 线 c ： ( ) z z t t ， 其 中 对 应 曲 线 c 的 起 点 ， 对 应 曲 线 c 的 终 点 ， 则 ( ) c f z dz f z t z t dt 。 （ 七 ） 关 于 复 变 函 数 积 分 的 重 要 定 理 与 结 论 1 柯 西 古 萨 基 本

14、定 理 ： 设 f z 在 单 连 域 B 内 解 析 ， c 为 B 内 任 一 闭 曲 线 ， 则 0 c f z dz 2 复 合 闭 路 定 理 ： 设 f z 在 多 连 域 D 内 解 析 ， c 为 D 内 任 意 一 条 简 单 闭 曲 线 ， 1 2 , , n c c c 是 c 内 的 简 单 闭 曲 线 ， 它 们 互 不 包 含 互 不 相 交 ， 并 且 以 1 2 , , n c c c 为 边 界 的 区 域 全 含 于 D 内 ， 则 c f z dz 1 , k n k c f z dz 其 中 c 与 k c 均 取 正 向 ； 0 f z dz ， 其

15、中 由 c 及 1 ( 1 , 2 , ) c k n 所 组 成 的 复 合 闭 路 。 3 闭 路 变 形 原 理 ： 一 个 在 区 域 D 内 的 解 析 函 数 f z 沿 闭 曲 线 c 的 积 分 ， 不 因 c 在 D 内 作 连 续 变 形 而 改 变 它 的 值 ， 只 要 在 变 形 过 程 中 c 不 经 过 使 f z 不 解 析 的 奇 点 。 4 解 析 函 数 沿 非 闭 曲 线 的 积 分 ： 设 f z 在 单 连 域 B 内 解 析 ， G z 为 f z 在 B 内 的 一 个 原 函 数 ， 则 2 1 2 1 1 2 ( , ) z z f z dz

16、 G z G z z z B 说 明 ： 解 析 函 数 f z 沿 非 闭 曲 线 的 积 分 与 积 分 路 径 无 关 ， 计 算 时 只 要 求 出 原 函 数 即 可 。 5 。 柯 西 积 分 公 式 ： 设 f z 在 区 域 D 内 解 析 ， c 为 D 内 任 一 正 向 简 单 闭 曲 线 ， c 的 内 部 完 全 属 于 D ， 0 z 为 c 内 任 意 一 点 ， 则 0 0 2 c f z dz i f z z z 4 6 高 阶 导 数 公 式 ： 解 析 函 数 f z 的 导 数 仍 为 解 析 函 数 ， 它 的 n 阶 导 数 为 0 1 0 2 (

17、1 , 2 ) ( ) ! n n c f z i dz f z n z z n 其 中 c 为 f z 的 解 析 区 域 D 内 围 绕 0 z 的 任 何 一 条 正 向 简 单 闭 曲 线 ， 而 且 它 的 内 部 完 全 属 于 D 。 7 重 要 结 论 ： 1 2 , 0 1 0 , 0 ( ) n c i n dz n z a 。 （ c 是 包 含 a 的 任 意 正 向 简 单 闭 曲 线 ） 8 复 变 函 数 积 分 的 计 算 方 法 1 ） 若 f z 在 区 域 D 内 处 处 不 解 析 ， 用 一 般 积 分 法 c f z dz f z t z t dt

18、2 ） 设 f z 在 区 域 D 内 解 析 ， c 是 D 内 一 条 正 向 简 单 闭 曲 线 ， 则 由 柯 西 古 萨 定 理 ， 0 c f z dz c 是 D 内 的 一 条 非 闭 曲 线 ， 1 2 , z z 对 应 曲 线 c 的 起 点 和 终 点 ， 则 有 2 1 2 1 z c z f z dz f z dz F z F z 3 ） 设 f z 在 区 域 D 内 不 解 析 曲 线 c 内 仅 有 一 个 奇 点 ： 0 0 0 1 0 2 2 ( ) ! c n n c f z dz i f z z z f z i dz f z z z n （ ( ) f

19、 z 在 c 内 解 析 ） 曲 线 c 内 有 多 于 一 个 奇 点 ： c f z dz 1 k n k c f z dz （ i c 内 只 有 一 个 奇 点 k z ） 或 ： 1 2 R e ( ) , n k k c f z dz i s f z z （ 留 数 基 本 定 理 ） 若 被 积 函 数 不 能 表 示 成 1 ( ) n o f z z z ， 则 须 改 用 第 五 章 留 数 定 理 来 计 算 。 （ 八 ） 解 析 函 数 与 调 和 函 数 的 关 系 1 调 和 函 数 的 概 念 ： 若 二 元 实 函 数 ( , ) x y 在 D 内 有 二

20、阶 连 续 偏 导 数 且 满 足 2 2 2 2 0 x y ， ( , ) x y 为 D 内 的 调 和 函 数 。 2 解 析 函 数 与 调 和 函 数 的 关 系5 解 析 函 数 f z u i v 的 实 部 u 与 虚 部 v 都 是 调 和 函 数 ， 并 称 虚 部 v 为 实 部 u 的 共 轭 调 和 函 数 。 两 个 调 和 函 数 u 与 v 构 成 的 函 数 ( ) f z u i v 不 一 定 是 解 析 函 数 ； 但 是 若 , u v 如 果 满 足 柯 西 黎 曼 方 程 ， 则 u i v 一 定 是 解 析 函 数 。 3 已 知 解 析 函

21、 数 f z 的 实 部 或 虚 部 ， 求 解 析 函 数 f z u i v 的 方 法 。 1 ） 偏 微 分 法 ： 若 已 知 实 部 , u u x y ， 利 用 C R 条 件 ， 得 , v v x y ； 对 v u y x 两 边 积 分 ， 得 u v dy g x x （ * ） 再 对 （ * ） 式 两 边 对 x 求 偏 导 ， 得 v u dy g x x x x （ * * ） 由 C R 条 件 ， u v y x ， 得 u u dy g x y x x ， 可 求 出 g x ； 代 入 （ * ） 式 ， 可 求 得 虚 部 u v dy g x x

22、 。 2 ） 线 积 分 法 ： 若 已 知 实 部 , u u x y ， 利 用 C R 条 件 可 得 v v u u dv dx dy dx dy x y y x ， 故 虚 部 为 0 0 , , x y x y u u v dx dy c y x ； 由 于 该 积 分 与 路 径 无 关 ， 可 选 取 简 单 路 径 （ 如 折 线 ） 计 算 它 ， 其 中 0 0 , x y 与 , x y 是 解 析 区 域 中 的 两 点 。 3 ） 不 定 积 分 法 ： 若 已 知 实 部 , u u x y ， 根 据 解 析 函 数 的 导 数 公 式 和 C R 条 件 得

23、知 ， u v u u f z i i x y x y 将 此 式 右 端 表 示 成 z 的 函 数 U z ， 由 于 f z 仍 为 解 析 函 数 ， 故 f z U z dz c （ c 为 实 常 数 ） 注 ： 若 已 知 虚 部 v 也 可 用 类 似 方 法 求 出 实 部 . u （ 九 ） 复 数 项 级 数 1 复 数 列 的 极 限 1 ） 复 数 列 n n n a i b （ 1 , 2 n ） 收 敛 于 复 数 a b i 的 充 要 条 件 为6 l i m , l i m n n n n a a b b （ 同 时 成 立 ） 2 ） 复 数 列 n 收

24、敛 实 数 列 , n n a b 同 时 收 敛 。 2 复 数 项 级 数 1 ） 复 数 项 级 数 0 ( ) n n n n n a i b 收 敛 的 充 要 条 件 是 级 数 0 n n a 与 0 n n b 同 时 收 敛 ； 2 ） 级 数 收 敛 的 必 要 条 件 是 l i m 0 n n 。 注 ： 复 数 项 级 数 的 敛 散 性 可 以 归 纳 为 两 个 实 数 项 级 数 的 敛 散 性 问 题 的 讨 论 。 （ 十 ） 幂 级 数 的 敛 散 性 1 幂 级 数 的 概 念 ： 表 达 式 0 0 ( ) n n n c z z 或 0 n n n

25、c z 为 幂 级 数 。 2 幂 级 数 的 敛 散 性 1 ） 幂 级 数 的 收 敛 定 理 阿 贝 尔 定 理 ( A b e l ) ： 如 果 幂 级 数 0 n n n c z 在 0 0 z 处 收 敛 ， 那 么 对 满 足 0 z z 的 一 切 z ， 该 级 数 绝 对 收 敛 ； 如 果 在 0 z 处 发 散 ， 那 么 对 满 足 0 z z 的 一 切 z ， 级 数 必 发 散 。 2 ） 幂 级 数 的 收 敛 域 圆 域 幂 级 数 在 收 敛 圆 域 内 ， 绝 对 收 敛 ； 在 圆 域 外 ， 发 散 ； 在 收 敛 圆 的 圆 周 上 可 能 收

26、敛 ； 也 可 能 发 散 。 3 ） 收 敛 半 径 的 求 法 ： 收 敛 圆 的 半 径 称 收 敛 半 径 。 比 值 法 如 果 1 l i m 0 n n n c c ， 则 收 敛 半 径 1 R ； 根 值 法 l i m 0 n n c ， 则 收 敛 半 径 1 R ； 如 果 0 ， 则 R ； 说 明 在 整 个 复 平 面 上 处 处 收 敛 ； 如 果 ， 则 0 R ； 说 明 仅 在 0 z z 或 0 z 点 收 敛 ； 注 ： 若 幂 级 数 有 缺 项 时 ， 不 能 直 接 套 用 公 式 求 收 敛 半 径 。 （ 如 2 0 n n n c z ）

27、3 幂 级 数 的 性 质 1 ） 代 数 性 质 ： 设 0 0 , n n n n n n a z b z 的 收 敛 半 径 分 别 为 1 R 与 2 R ， 记 1 2 m i n , R R R ， 则 当 z R 时 ， 有7 0 0 0 ( ) n n n n n n n n n n a b z a z b z （ 线 性 运 算 ） 0 1 1 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n n n n a z b z a b a b a b z （ 乘 积 运 算 ） 2 ） 复 合 性 质 ： 设 当 r 时 ， 0 n n n f a ， 当 z

28、 R 时 ， g z 解 析 且 g z r ， 则 当 z R 时 ， 0 n n n f g z a g z 。 3 ） 分 析 运 算 性 质 ： 设 幂 级 数 0 n n n a z 的 收 敛 半 径 为 0 R ， 则 其 和 函 数 0 n n n f z a z 是 收 敛 圆 内 的 解 析 函 数 ； 在 收 敛 圆 内 可 逐 项 求 导 ， 收 敛 半 径 不 变 ； 且 1 0 n n n f z na z z R 在 收 敛 圆 内 可 逐 项 求 积 ， 收 敛 半 径 不 变 ； 1 0 0 1 z n n n a f z dz z n z R （ 十 一 ）

29、 幂 函 数 的 泰 勒 展 开 1 . 泰 勒 展 开 ： 设 函 数 f z 在 圆 域 0 z z R 内 解 析 ， 则 在 此 圆 域 内 f z 可 以 展 开 成 幂 级 数 0 0 0 ! n n n f z f z z z n ； 并 且 此 展 开 式 是 唯 一 的 。 注 ： 若 f z 在 0 z 解 析 ， 则 f z 在 0 z 的 泰 勒 展 开 式 成 立 的 圆 域 的 收 敛 半 径 0 R z a ； 其 中 R 为 从 0 z 到 f z 的 距 0 z 最 近 一 个 奇 点 a 之 间 的 距 离 。 2 常 用 函 数 在 0 0 z 的 泰 勒

30、 展 开 式 1 ） 2 3 0 1 1 ! 2 ! 3! ! n z n n z z z e z z n n z 2 ） 2 0 1 1 1 n n n z z z z z 1 z 3 ） 3 5 2 1 2 1 0 ( 1 ) ( 1 ) s i n ( 2 1 ) ! 3! 5 ! ( 2 1 ) ! n n n n n z z z z z z n n z 8 4 ） 2 4 2 2 0 ( 1 ) ( 1 ) c os 1 ( 2 ) ! 2 ! 4 ! ( 2 ) ! n n n n n z z z z z n n z 3 解 析 函 数 展 开 成 泰 勒 级 数 的 方 法 1

31、） 直 接 法 ： 直 接 求 出 0 1 ! n n c f z n ， 于 是 0 0 n n n f z c z z 。 2 ） 间 接 法 ： 利 用 已 知 函 数 的 泰 勒 展 开 式 及 幂 级 数 的 代 数 运 算 、 复 合 运 算 和 逐 项 求 导 、 逐 项 求 积 等 方 法 将 函 数 展 开 。 （ 十 二 ） 幂 函 数 的 洛 朗 展 开 1 . 洛 朗 级 数 的 概 念 ： 0 n n n c z z ， 含 正 幂 项 和 负 幂 项 。 2 洛 朗 展 开 定 理 ： 设 函 数 f z 在 圆 环 域 1 0 2 R z z R 内 处 处 解

32、析 ， c 为 圆 环 域 内 绕 0 z 的 任 意 一 条 正 向 简 单 闭 曲 线 ， 则 在 此 在 圆 环 域 内 ， 有 0 n n n f z c z z ， 且 展 开 式 唯 一 。 3 解 析 函 数 的 洛 朗 展 开 法 ： 洛 朗 级 数 一 般 只 能 用 间 接 法 展 开 。 * 4 利 用 洛 朗 级 数 求 围 线 积 分 ： 设 f z 在 0 r z z R 内 解 析 ， c 为 0 r z z R 内 的 任 何 一 条 正 向 简 单 闭 曲 线 ， 则 1 2 c f z dz i c 。 其 中 1 c 为 ( ) f z 在 0 r z z

33、 R 内 洛 朗 展 开 式 中 0 1 z z 的 系 数 。 说 明 ： 围 线 积 分 可 转 化 为 求 被 积 函 数 的 洛 朗 展 开 式 中 1 0 ( ) z z 的 系 数 。 （ 十 三 ） 孤 立 奇 点 的 概 念 与 分 类 1 。 孤 立 奇 点 的 定 义 ： f z 在 0 z 点 不 解 析 , 但 在 0 z 的 0 0 z z 内 解 析 。 2 。 孤 立 奇 点 的 类 型 ： 1 ） 可 去 奇 点 ： 展 开 式 中 不 含 0 z z 的 负 幂 项 ； 2 0 1 0 2 0 f z c c z z c z z 2 ） 极 点 ： 展 开 式

34、 中 含 有 限 项 0 z z 的 负 幂 项 ； ( 1 ) 2 1 0 1 0 2 0 1 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m m m c c c f z c c z z c z z z z z z z z 0 , ( ) m g z z z 其 中 1 ( 1 ) 0 1 0 0 0 ( ) ( ) ( ) m m m m g z c c z z c z z c z z 在 0 z 解 析 ， 且 0 0 , 1 , 0 m g z m c ；9 3 ） 本 性 奇 点 ： 展 开 式 中 含 无 穷 多 项 0 z z 的 负 幂 项 ； 1 0 1 0 0

35、0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) m m m m c c f z c c z z c z z z z z z （ 十 四 ） 孤 立 奇 点 的 判 别 方 法 1 可 去 奇 点 ： 0 0 l i m z z f z c 常 数 ； 2 极 点 ： 0 l i m z z f z 3 本 性 奇 点 ： 0 l i m z z f z 不 存 在 且 不 为 。 4 零 点 与 极 点 的 关 系 1 ） 零 点 的 概 念 ： 不 恒 为 零 的 解 析 函 数 f z ， 如 果 能 表 示 成 0 ( ) m f z z z z ， 其 中 z 在 0 z 解 析 ， 0 0

36、, z m 为 正 整 数 ， 称 0 z 为 f z 的 m 级 零 点 ； 2 ） 零 点 级 数 判 别 的 充 要 条 件 0 z 是 f z 的 m 级 零 点 0 0 0 , ( 1 , 2 , 1 ) 0 n m f z n m f z 3 ） 零 点 与 极 点 的 关 系 ： 0 z 是 f z 的 m 级 零 点 0 z 是 1 f z 的 m 级 极 点 ； 4 ） 重 要 结 论 若 z a 分 别 是 z 与 z 的 m 级 与 n 级 零 点 ， 则 z a 是 z z 的 m n 级 零 点 ； 当 m n 时 ， z a 是 z z 的 m n 级 零 点 ；

37、当 m n 时 ， z a 是 z z 的 n m 级 极 点 ； 当 m n 时 ， z a 是 z z 的 可 去 奇 点 ； 当 m n 时 ， z a 是 z z 的 l 级 零 点 ， m i n( , ) l m n 当 m n 时 ， z a 是 z z 的 l 级 零 点 ， 其 中 ( ) l m n （ 十 五 ） 留 数 的 概 念1 0 1 留 数 的 定 义 ： 设 0 z 为 f z 的 孤 立 奇 点 ， f z 在 0 z 的 去 心 邻 域 0 0 z z 内 解 析 ， c 为 该 域 内 包 含 0 z 的 任 一 正 向 简 单 闭 曲 线 ， 则 称

38、积 分 1 2 c f z dz i 为 f z 在 0 z 的 留 数 （ 或 残 留 ） ， 记 作 0 R e , s f z z 1 2 c f z dz i 2 留 数 的 计 算 方 法 若 0 z 是 f z 的 孤 立 奇 点 ， 则 0 R e , s f z z 1 c ， 其 中 1 c 为 f z 在 0 z 的 去 心 邻 域 内 洛 朗 展 开 式 中 1 0 ( ) z z 的 系 数 。 1 ） 可 去 奇 点 处 的 留 数 ： 若 0 z 是 f z 的 可 去 奇 点 ， 则 0 R e , s f z z 0 2 ） m 级 极 点 处 的 留 数 法

39、则 I 若 0 z 是 f z 的 m 级 极 点 ， 则 0 R e , s f z z 0 1 0 1 1 l i m ( ) ( 1 ) ! m m m z z d z z f z m dz 特 别 地 ， 若 0 z 是 f z 的 一 级 极 点 ， 则 0 R e , s f z z 0 0 l i m ( ) z z z z f z 注 ： 如 果 极 点 的 实 际 级 数 比 m 低 ， 上 述 规 则 仍 然 有 效 。 法 则 I I 设 P z f z Q z ， , P z Q z 在 0 z 解 析 ， 0 0 , P z 0 0 0 , 0 Q z Q z ， 则

40、 0 0 0 R e , P z P z s z Q z Q z （ 十 六 ） 留 数 基 本 定 理 设 f z 在 区 域 D 内 除 有 限 个 孤 立 奇 点 1 2 , , n z z z 外 处 处 解 析 ， c 为 D 内 包 围 诸 奇 点 的 一 条 正 向 简 单 闭 曲 线 ， 则 1 2 R e , n c n f z dz i s f z z 说 明 ： 留 数 定 理 把 求 沿 简 单 闭 曲 线 积 分 的 整 体 问 题 转 化 为 求 被 积 函 数 f z 在 c 内 各 孤 立 奇 点 处 留 数 的 局 部 问 题 。1 1 积 分 变 换 复 习 提 纲 一 、 傅 里 叶 变 换 的 概 念