2020高考数学刷题首选卷第七章平面解析几何考点测试47圆与方程文（含解析）.docx

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1、1考点测试 47 圆与方程高考概览高 考 在 本 考 点 中 常 考 题 型 为 选 择 题 、 填 空 题 、 解 答 题 ， 分 值 为 5分 或 12分 ， 中 等 难 度考纲研读1掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程2能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系3能用直线和圆的方程解决一些简单的问题4初步了解用代数方法处理几何问题的思想一、基础小题1圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点(1,2)的圆的方程为( )A x2( y2) 21 B x2( y2) 21C( x1) 2( y3) 21 D x2( y3) 21答案 A解

2、析 设圆心坐标为(0， b)，则由题意知 1，解得 b2，故圆的0 12 b 22方程为 x2( y2) 21故选 A2若点 P(1,1)为圆 C：( x3) 2 y29 的弦 MN 的中点，则弦 MN 所在直线的方程为( )A2 x y30 B x2 y10C x2 y30 D2 x y10答案 D解析 圆心 C(3,0)， kPC ，则 kMN2，所以弦 MN 所在直线的方程为12y12( x1)，即 2x y10故选 D3圆 O1： x2 y22 x0 与圆 O2： x2 y24 y0 的位置关系是( )A相离 B相交 C外切 D内切答案 B解析 圆 O1： x2 y22 x0 的圆心为

3、 O1(1,0)，半径 r11；圆 O2： x2 y24 y0 的圆心为 O2(0,2)，半径 r22由于 10，所以原点在圆外故选 B7若圆 x2 y2 a2与圆 x2 y2 ay60 的公共弦长为 2 ，则 a 的值为( )3A2 B2 C1 D1答案 B解析 设圆 x2 y2 a2的圆心为 O，半径 r| a|，将 x2 y2 a2与 x2 y2 ay60联立，可得 a2 ay60，即公共弦所在的直线方程为 a2 ay60，原点 O 到直线a2 ay60 的距离为 ，根据勾股定理可得 a23 2，解得 a2故选 B|6a a| (6a a)8过点 M(1,2)的直线 l 与圆 C：( x

4、3) 2( y4) 225 交于 A， B 两点， C 为圆心，当 ACB 最小时，直线 l 的方程是_答案 x y30解析 由题意知，当 ACB 最小时，圆心 C(3,4)到直线 l 的距离达到最大，此时直线l 与直线 CM 垂直，又直线 CM 的斜率为 1，所以直线 l 的斜率为 1，因此所求4 23 1 113的直线 l 的方程是 y2( x1)，即 x y30二、高考小题9(2018全国卷)直线 x y20 分别与 x 轴， y 轴交于 A， B 两点，点 P 在圆(x2) 2 y22 上，则 ABP 面积的取值范围是( )A2,6 B4,8C ，3 D2 ，3 2 2 2 2答案 A

5、解析 直线 x y20 分别与 x 轴， y 轴交于 A， B 两点， A(2,0)， B(0，2)，则| AB|2 点 P 在圆( x2) 2 y22 上，圆心为(2,0)，圆心到直线 x y20 的2距离 d1 2 ，故点 P 到直线 x y20 的距离 d2的范围为 ，3 ，则|2 0 2|2 2 2 2S ABP |AB|d2 d22,6 ，故选 A12 210(2018北京高考)在平面直角坐标系中，记 d 为点 P(cos ，sin )到直线x my20 的距离当 ， m 变化时， d 的最大值为( )A1 B2 C3 D4答案 C解析 cos 2 sin 2 1， P 点的轨迹是以

6、原点为圆心的单位圆，又x my20 表示过点(2,0)且斜率不为 0 的直线，如图，可得点(1,0)到直线 x2 的距离即为 d 的最大值故选 C11(2018全国卷)直线 y x1 与圆 x2 y22 y30 交于 A， B 两点，则|AB|_答案 2 2解析 根据题意，圆的方程可化为 x2( y1) 24，所以圆的圆心为(0，1)，且半径是 2，根据点到直线的距离公式可以求得圆心到直线的距离 d ，所以|0 1 1|12 12 2|AB|2 2 4 2 212(2018江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中， A 为直线 l： y2 x 上的第一象限内的点， B(5,0)，以 AB 为直径

7、的圆 C 与直线 l 交于另一点 D若 0，则点 A 的横坐AB CD 4标为_答案 3解析 解法一：设 A(a,2a)， a0，则 C ， a，圆 C 的方程为 x 2( y a)a 52 a 522 a2，由Error!得Error!a 524 (5 a，2 a) ，2 a 2 a24 a0， a3 或AB CD a 32 a2 2a 152a1，又 a0， a3，点 A 的横坐标为 3解法二：由题意易得 BAD45设直线 DB 的倾斜角为 ，则tan ，tan ABOtan( 45)3， kABtan ABO3 AB 的方程12为 y3( x5)，由Error! 得 xA313(2016

8、全国卷)已知直线 l： mx y3 m 0 与圆 x2 y212 交于 A， B 两3点，过 A， B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C， D 两点若| AB|2 ，则| CD|_3答案 4解析 由题意可知直线 l 过定点(3， )，该定点在圆 x2 y212 上，不妨设点3A(3， )，由于| AB|2 ， r2 ，所以圆心到直线 AB 的距离为3 3 3d 3，又由点到直线的距离公式可得 d 3，解得 m ，所232 32|3m 3|m2 1 33以直线 l 的斜率 k m ，即直线 l 的倾斜角为 3033如图，过点 C 作 CH BD，垂足为 H，所以| CH|2 ，在 Rt CH

9、D 中， HCD30，3所以| CD| 423cos3014(2017江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中， A(12,0)， B(0,6)，点 P 在圆5O： x2 y250 上若 20，则点 P 的横坐标的取值范围是_PA PB 答案 5 ，12解析 因为点 P 在圆 O： x2 y250 上，解 法 一 ：所以设 P 点坐标为( x， )(5 x5 )50 x2 2 2因为 A(12,0)， B(0,6)，所以 (12 x， )或 (12 x， )， ( x,6 )PA 50 x2 PA 50 x2 PB 50 x2或 ( x,6 )PB 50 x2因为 20，先取 P(x, )进行计

10、算，PA PB 50 x2所以(12 x)( x)( )(6 )20，即 2x5 50 x2 50 x2 50 x2当 2x50，即 x 时，上式恒成立；52当 2x50，即 x 时，(2 x5) 250 x2，52解得5 x1，故 x1同理可得 P(x， )时， x550 x2又5 x5 ，所以5 x12 2 2故点 P 的横坐标的取值范围为5 ，12设 P(x， y)，解 法 二 ：则 (12 x， y)， ( x，6 y)PA PB 20，PA PB (12 x)( x)( y)(6 y)20，即 2x y50如图，作圆 O： x2 y250，直线 2x y50 与 O 交于 E， F

11、两点， P 在圆 O 上且满足 2x y50，点 P 在 上EDF由Error! 得 F 点的横坐标为 1又 D 点的横坐标为5 ，2 P 点的横坐标的取值范围为5 ，126三、模拟小题15(2018合肥质检)设圆 x2 y22 x2 y20 的圆心为 C，直线 l 过(0,3)与圆 C交于 A， B 两点，若| AB|2 ，则直线 l 的方程为( )3A3 x4 y120 或 4x3 y90B3 x4 y120 或 x0C4 x3 y90 或 x0D3 x4 y120 或 4x3 y90答案 B解析 当直线 l 的斜率不存在，即直线 l 的方程为 x0 时，弦长为 2 ，符合题意；3当直线

12、l 的斜率存在时，可设直线 l 的方程为 y kx3，由弦长为 2 ，半径为 2 可知，3圆心到该直线的距离为 1，从而有 1，解得 k ，综上，直线 l 的方程为 x0|k 2|k2 1 34或 3x4 y120，故选 B16(2018湖南长沙模拟)已知 O： x2 y21， A(0，2)， B(a,2)，从点 A 观察点B，要使视线不被 O 挡住，则实数 a 的取值范围是( )A(，2)(2，)B， ，433 433C， ，233 233D ，433 433答案 B解析 点 B 在直线 y2 上，过点 A(0，2)作圆的切线，设切线的斜率为 k，由点斜式得切线方程为 y kx2，即 kx

13、y20，由圆心到切线的距离等于半径，得 1，解得 k ，切线方程为 y x2，和直线 y2 的交点坐标为| 2|k2 1 3 3 ， 2， ， 2，要使视线不被 O 挡住，则实数 a 的取值范围是433 433， ，故选 B433 43317(2018广东茂名模拟)若圆 x2 y24 x4 y100 上至少有三个不同点到直线l： ax by0 的距离为 2 ，则直线 l 的斜率的取值范围是( )2A2 ，1 B2 ，2 3 3 3C ， D0，)33 37答案 B解析 圆 x2 y24 x4 y100 可化为( x2) 2( y2) 218，则圆心坐标为(2,2)，半径为 3 2由圆 x2 y

14、24 x4 y100 上至少有三个不同点到直线 l： ax by0 的距离为 2可得，圆心到直线 l： ax by0 的距离 d3 2 ，即 ，则2 2 2 2|2a 2b|a2 b2 2a2 b24 ab0 ，若 a0，则 b0，不符合题意，故 a0 且 b0，则可化为1 2 0，由于直线 l 的斜率 k ，所以 1 2 0 可化为 1 2 0，解得ba 4ba ab ba 4ba 1k 4kk2 ，2 ，故选 B3 318(2018天津河西一模)若 A 为圆 C1： x2 y21 上的动点， B 为圆 C2：( x3)2( y4) 24 上的动点，则线段 AB 长度的最大值是_答案 8解析

15、 圆 C1： x2 y21 的圆心为 C1(0,0)，半径 r11，圆 C2：( x3) 2( y4) 24的圆心为 C2(3，4)，半径 r22，| C1C2|5又 A 为圆 C1上的动点， B 为圆 C2上的动点，线段 AB 长度的最大值是| C1C2| r1 r2512819(2018湖北八市联考)已知 aR，直线 l1： x2 y a2 和直线l2：2 x y2 a1 分别与圆 E：( x a)2( y1) 29 相交于点 A， C 和点 B， D，则四边形ABCD 的面积是_答案 18解析 依题意，圆 E 的圆心坐标为 E(a,1)，发现 E l1， E l2，即直线 l1， l2都

16、过圆心，故| AC| BD|6又 k1k21，即 l1 l2故所求面积为 62181220(2018衡阳二模)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O1： x2 y29，圆O2： x2( y6) 216，在圆 O2内存在一定点 M，过点 M 的直线 l 被圆 O1，圆 O2截得的弦分别为 AB， CD，且 ，则定点 M 的坐标为_|AB|CD| 34答案 0，187解析 当直线 l 的斜率不存在时，设 l： x x0，3 x03则|AB|2 ，| CD|2 ，从而有 2，解得 x00，即定点 M 在圆心 O1与9 x20 16 x209 x2016 x20 34O2连线上，且 yM2,10，即

17、 M(0， yM)， yM2,10；当直线 l 的斜率存在时，设l： y kx b则| AB|2 ，| CD|2 ，从而有 2，9 |b|1 k22 16 |b 6|1 k229 b21 k216 b 621 k2 348解得 b 或 b18直线 l 过定点(0， b)，且点 M 在圆 O2内，故 b ，即 M0， 187 187 187一、高考大题1(2018全国卷)设抛物线 C：y 24x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k0)的直线 l与 C 交于 A，B 两点，|AB|8(1)求 l 的方程；(2)求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程解 (1)由题意得 F(1，0)，l

18、的方程为 yk(x1)(k0)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)由Error! 得 k2x2(2k 24)xk 2016k 2160，故 x1x 2 2k2 4k2所以|AB|AF|BF|(x 11)(x 21) 4k2 4k2由题设知 8，解得 k1(舍去)，k14k2 4k2因此 l 的方程为 yx1(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3，2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y2(x3)，即 yx5设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则Error!解得Error! 或Error!因此所求圆的方程为(x3) 2(y2) 216 或(x11) 2(y6) 21442(2017

19、全国卷)已知抛物线 C：y 22x，过点(2，0)的直线 l 交 C 于 A，B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆(1)证明：坐标原点 O 在圆 M 上；(2)设圆 M 过点 P(4，2)，求直线 l 与圆 M 的方程解 (1)证明：设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，l：xmy2，由Error! 可得 y22my40，则 y1y24又 x1 ，x 2 ，故 x1x2 4y212 y22 y1y224因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为 1，所以 OAOB，y1x1 y2x2 44故坐标原点 O 在圆 M 上(2)由(1)可得 y1y 22m，9x1x 2m(y 1y 2

20、)42m 24，故圆心 M 的坐标为(m 22，m)，圆 M 的半径 r m2 22 m2由于圆 M 过点 P(4，2)，因此 0，AP BP 故(x 14)(x 24)(y 12)(y 22)0，即 x1x24(x 1x 2)y 1y22(y 1y 2)200由(1)可知 y1y24，x 1x24，所以 2m2m10，解得 m1 或 m 12当 m1 时，直线 l 的方程为 xy20，圆心 M 的坐标为(3，1)，圆 M 的半径为 ，10圆 M 的方程为(x3) 2(y1) 210当 m 时，直线 l 的方程为 2xy40，圆心 M 的坐标为 ，圆 M 的半径12 (94， 12)为 ，85

21、4圆 M 的方程为 2 2 (x94) (y 12) 85163(2016江苏高考)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆M：x 2y 212x14y600 及其上一点 A(2，4)(1)设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x6 上，求圆 N 的标准方程；(2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B，C 两点，且 BCOA，求直线 l 的方程；(3)设点 T(t，0)满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q，使得 ，求实数 t 的取值TA TP TQ 范围解 圆 M 的标准方程为(x6) 2(y7) 225，所以圆心 M(6，7)，半径为

22、5(1)由圆心 N 在直线 x6 上，可设 N(6，y 0)因为圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，所以 00)因为圆 C 经过 A，B 两点，所以2 b 2 2 b 2，74 174 318 338即 bb 2 bb 2，解得 b4716 28916 172 3164 108964 334又易知 r2 2 4 2 ，74 174 12所以圆 C 的方程为 x2(y4) 2 1213(2)当直线 l 的斜率不存在时，由 l 与 C 相切得 l 的方程为 x ，此时直线 l 与 C122交于 P，Q 两点，不妨设 P 点在 Q 点的上方，则 P ， ，Q ， 或 P ， ，Q ， ，则 0，

23、所以 OPOQ，满足22 22 22 22 22 22 22 22 OP OQ 题意当直线 l 的斜率存在时，易知其斜率不为 0，设直线 l 的方程为 ykxm(k0，m0)，P(x1，y 1)，Q(x 2，y 2)，将直线 l 的方程与圆 C1的方程联立，得Error!消去 y，整理得(1k 2)x22kmxm 210，则 4k 2m24(1k 2)(m21)4(k 2m 21)0，即 1k 2m2，则 x1x 2 ，x 1x2 ，2km1 k2 m2 11 k2所以 y1y2(kx 1m)(kx 2m)k 2x1x2km(x 1x 2)m 2 m 2k2m2 11 k2 2k2m21 k2，m2 k21 k2又 OPOQ，所以 0，OP OQ 即 x1x2y 1y2 0，m2 11 k2 m2 k21 k2故 2m21k 2，满足 0，符合题意因为直线 l：ykxm 与圆 C：x 2(y4) 2 相切，12所以圆心 C(0，4)到直线 l 的距离 d ，|m 4|1 k2 22即 m28m16 ，1 k22故 m28m16m 2，解得 m2，故 1k 222 2，得 k 7故直线 l 的方程为 y x27综上，直线 l 的方程为 x 或 y x222 714