2019高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程课件北师大版选修1_1.ppt

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1、第二章 圆锥曲线与方程,1 椭圆,1.1 椭圆及其标准方程,1.椭圆的定义 我们把平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆.这两个定点F1,F2叫作椭圆的焦点,两个焦点F1,F2间的距离叫作椭圆的焦距.,名师点拨点M满足集合P=M|MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,a0,c0,且a,c都为常数. (1)当ac,即2a2c时,动点轨迹为以F1,F2为焦点的椭圆; (2)当a=c,即2a=2c时,动点轨迹为线段F1F2; (3)当ac,即2a2c,动点轨迹不存在. 对于后两种情况应该注意,它们可以帮助我们理解椭圆的定义,并在具体问题中做出适当

2、的判断.,【做一做1】 (1)命题甲:动点P到两个定点A,B的距离之和|PA|+|PB|=2a(a0,且a为常数);命题乙:点P的轨迹是椭圆,且A,B是焦点,则命题乙是命题甲的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.既不充分也不必要条件 D.必要不充分条件 (2)已知F1,F2是定点,|F1F2|=8,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则动点M的轨迹是( ) A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆,解析:(1)若点P的轨迹是椭圆,且A,B是焦点,则一定有|PA|+|PB|=2a,所以乙是甲的充分条件; 反之,若|PA|+|PB|=2a,不能推出点P的轨迹是椭圆,仅当2a|AB|时,点P

3、的轨迹才是椭圆. (2)|MF1|+|MF2|=8=|F1F2|,点M的轨迹是线段F1F2,故选C. 答案:(1)B (2)C,2.椭圆的标准方程,名师点拨对椭圆标准方程的认识 (1)标准的几何特征:椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴或y轴上,对称轴是坐标轴. (2)标准的代数特征:方程右边是1,左边是关于x,y的平方和,并且分母不相等. (3)a,b,c三个量的关系:椭圆的标准方程中,a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半,可借助图形帮助记忆.a,b,c(都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边,a是斜边,所以ab,ac,且a2=b2+c2.,(4)由椭圆的标准方程如何判断其焦点的位置:椭

4、圆的焦点在x轴上在标准方程中,x2项的分母比较大;椭圆的焦点在y轴上在标准方程中,y2项的分母比较大.,(2)由已知椭圆的焦点在x轴上,且a2=16,b2=7, c2=9,c=3. 椭圆的焦点坐标为(-3,0)和(3,0). 答案:(1)C (2)(-3,0)和(3,0),思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)平面内与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹就是椭圆.( ) (2)在椭圆的标准方程中,a,b的大小是不确定的.( )答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例1】 已知两定点F1(-1,0),F2(1,0),

5、动点P满足|PF1|+|PF2|=2|F1F2|. (1)求点P的轨迹方程; (2)若F1PF2=120,求PF1F2的面积. 分析(1)利用定义求出方程;(2)由椭圆的定义和余弦定理分别建立关于|PF1|,|PF2|的方程,求出|PF1|PF2|的值.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解(1)依题意知|F1F2|=2, |PF1|+|PF2|=2|F1F2|=42=|F1F2|, 点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,(2)设m=|PF1|,n=|PF2|,则m+n=2a=4. 在PF1F2中,由余弦定理,得 |F1F2|2=m2+n2-2mncosF1PF2, 4=(m+n)2-2mn(

6、1+cos 120), 解得mn=12.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆的定义具有双向作用,即若|MF1|+|MF2|=2a(2a|F1F2|),则点M的轨迹是椭圆;反之,椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a. (2)在椭圆中,由椭圆上的点与两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多.要解决这些题目,我们经常利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式,这就需要我们在解题时,要充分理解题意,分析条件,利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系.在解题中,经常把|PF1|PF2|看作一个整体来处理.,探

7、究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1如图所示,已知过椭圆 的右焦点F2的直线AB垂直于x轴,交椭圆于A,B两点,F1是椭圆的左焦点.求AF1B的周长.所以a=5, 故有|AF1|+|AF2|=2a=10,|BF1|+|BF2|=2a=10, |AF2|+|BF2|=|AB|, 所以AF1B的周长为|AF1|+|BF1|+|AB| =|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2| =(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|) =2a+2a=20.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别为F1(-3,0),F2(3,

8、0),并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10;分析应用待定系数法求椭圆的标准方程,注意“定位”与“定量”的确定.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟求椭圆标准方程的步骤: (1)作判断:依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上,还是在两个坐标轴上都有可能. (2)设方程:在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2+ny2=1(m0,n0,且mn). (3)找关系:依据已知条件,建立关于a,b,c或m,n的方程组. (4)得方程:解方程组,代入所设方程即为所求. 其主要步骤可归纳为“先

9、定型,再定量”.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上一点P到两焦点距离的和是10; (2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0);,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例3】 已知两圆C1:(x+4)2+y2=9,C2:(x-4)2+y2=169,动圆P与C1外切,与C2内切,求圆心P的轨迹. 分析由平面几何知识知,两圆相切时常连接两圆心,利用切点在连心线上及圆心距与两半径的关系,求解此类问题. 解由条件,两圆半径分

10、别是3和13, 设P(x,y),动圆半径为r,即P点到两定点C1,C2的距离之和为定值16. 又16|C1C2|=8,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟利用椭圆的定义求轨迹方程,是先由题意找到动点所满足的条件,看其是否符合椭圆的定义,再确定椭圆的方程.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3已知B,C是两个定点,|BC|=8,且ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程. 解以过B,C两点的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,如图所示. 由|BC|=8可知点B(-4,0),C(4,0). 由|AB|+|AC|+|BC|=18得|AB|+|A

11、C|=108=|BC|, 因此,点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a=10,但点A不在x轴上. 由a=5,c=4, 得b2=a2-c2=25-16=9.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,因考虑不全面而导致失误 【典例】 已知椭圆经过点P(3,0),a=3b,求椭圆的标准方程. 易错分析本题没有说明焦点在哪个坐标轴上,应考虑焦点在x轴、y轴上两种情形,解题时易主观地认为焦点在x轴上,这是初学者易犯的错误.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得平时学习时一定要对每一个基础知识理解透彻.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练已知椭圆的中心为原点,焦距为

12、8,两个顶点坐标分别是(-6,0),(6,0),求椭圆的方程.,1 2 3 4 5,1.设P是椭圆 上的点,若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于( ) A.4 B.5 C.8 D.10 解析:由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a. a2=25,2a=10. |PF1|+|PF2|=10. 答案:D,6,1 2 3 4 5,2.已知椭圆 上一点M到椭圆的一个焦点的距离为2,则点M到另一个焦点的距离等于( ) A.1 B.2 C.4 D.6 解析:由椭圆方程可知2a=8,设F1,F2为焦点,令|MF1|=2,则|MF2|=2a-2=6. 答案:D,6,1 2 3 4 5,

13、3.已知椭圆4x2+ky2=4的一个焦点坐标是(0,1),则实数k的值是 .答案:2,6,1 2 3 4 5,6,1 2 3 4 5,6,1 2 3 4 5,6,5.已知椭圆 上一点P与椭圆两焦点F1,F2的连线夹角为直角,则|PF1|PF2|= . |F1F2|=2c=10. 由于PF1PF2, 所以由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, 即|PF1|2+|PF2|2=100. 又由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=14, 所以(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|=100, 即196-2|PF1|PF2|=100, 解得|PF1|PF2|=48. 答案:48,1 2 3 4 5,6,6.已知椭圆 上一点M到左焦点F1的距离为6,N是MF1的中点,求|ON|的值. 解设右焦点为F2,连接F2M, O为F1F2的中点,N是MF1的中点, |ON|= |MF2|. 又|MF1|+|MF2|=2a=10,|MF1|=6, |MF2|=4,|ON|=2.,