（通用版）2019版高考数学二轮复习第一部分专题十二圆锥曲线的方程与性质讲义理（重点生，含解析）.doc

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1、1专题十二 圆锥曲线的方程与性质卷 卷 卷直线与抛物线的位置关系、平面向量数量积的运算T8双曲线的几何性质T5双曲线的几何性质T112018双曲线的几何性质T11直线的方程及椭圆的几何性质T12直线与抛物线的位置关系T16直线与抛物线的位置关系、弦长公式、基本不等式的应用T10双曲线的几何性质T9双曲线的渐近线及标准方程T52017双曲线的几何性质T15抛物线的定义及标准方程T16椭圆的几何性质T10双曲线的几何性质与标准方程T52016 抛物线与圆的综合问题T10双曲线的定义、离心率问题T11直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率问题T11纵向把握趋势卷3 年 6 考，且每年都有2 个小题同时出

2、现，涉及双曲线、抛物线的几何性质，特别是双曲线的几何性质及抛物线属每年必考内容预计 2019 年仍会延续以上命题方式，注意圆锥曲线与其他问题的综合卷3 年 5 考，且 3 年均考查了双曲线的几何性质在2018 年高考中考查了椭圆的几何性质，且难度较大预计 2019 年仍会以选择题或填空题的形式考查双曲线的几何性质或椭圆的几何性质卷3 年 5 考，涉及双曲线的几何性质、椭圆的几何性质、直线与抛物线的位置关系，既有选择题，也有填空题，难度适中预计 2019 年仍会以选择题或填空题的形式考查双曲线或椭圆的方程及性质横向把握重点1.圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容以选择题、填空题的形式考

3、查，常出现在第 412 或 1516 题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等2.直线与圆锥曲线的位置关系中与交点个数，弦长、面积中点弦有关的问题，一般难度中等.2圆锥曲线的定义与方程题组全练1.如图，椭圆 1( a0)的左、右焦点分别为 F1， F2，点 P 在椭圆上，若x2a2 y22|PF1|4， F1PF2120，则 a 的值为( )A2 B3C4 D5解析：选 B 设| PF2| m，则| PF1| PF2|2 a，即 m42 a.在 PF1F2中，由余弦定理得42 m22 m4cos 1204( a22)联立，解得 a3.2已知双曲线 1( b0)，以原点为圆心，双

4、曲线的实半轴长为半径长的圆与双x24 y2b2曲线的两条渐近线相交于 A， B， C， D 四点，四边形 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的方程为( )A. 1 B. 1x24 3y24 x24 4y23C. 1 D. 1x24 y24 x24 y212解析：选 D 由题意知双曲线的渐近线方程为 y x，圆的方程为 x2 y24，b2联立Error!解得Error! 或Error!即第一象限的交点为 .由双曲线和圆的对称性，(44 b2， 2b4 b2)得四边形 ABCD 为矩形，其相邻两边长为 ， ，故84 b2 4b4 b22 b，得 b212.84b4 b2故双曲线的方程为 1.x24

5、 y2123(2018唐山模拟)过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F 作直线交抛物线于 A， B 两点，3若| AF|2| BF|6，则 p_.解析：设直线 AB 的方程为 x my ， A(x1， y1)， B(x2， y2)，且 x1x2，将直线 AB 的p2方程代入抛物线方程得 y22 pmy p20，所以 y1y2 p2,4x1x2 p2.设抛物线的准线为l，过 A 作 AC l，垂足为 C，过 B 作 BD l，垂足为 D，因为| AF|2| BF|6，根据抛物线的定义知，| AF| AC| x1 6，| BF| BD| x2 3，所以p2 p2x1 x23， x1 x29 p，

6、所以( x1 x2)2( x1 x2)24 x1x2 p2，即 18p720，解得p4.答案：44(2018合肥质检)抛物线 E： y24 x 的焦点为 F，准线 l 与 x 轴交于点 A，过抛物线 E 上一点 P(在第一象限内)作 l 的垂线 PQ，垂足为 Q.若四边形 AFPQ 的周长为 16，则点P 的坐标为_解析：设 P(x， y)，其中 x0， y0，由抛物线的定义知| PF| PQ| x1.根据题意知|AF|2，|Q A| y，则Error! Error!或Error!(舍去)所以点 P 的坐标为(4,4)答案：(4,4)系统方法1圆锥曲线的定义(1)椭圆：| PF1| PF2|2

7、 a(2a|F1F2|)(2)双曲线：| PF1| PF2|2 a(2a0， b0)的右焦点 F 作圆 x2 y2 a2例 1x2a2 y2b2的切线 FM(切点为 M)，交 y 轴于点 P.若 M 为线段 FP 的中点，则双曲线的离心率是( )A. B.2 34C2 D. 5解析 因为 OM PF，且 M 为 FP 的中点，所以 POF 为等腰直角三角形，即 PFO45，则不妨令切线 FM 的方程为 x y c，由圆心到切线的距离等于半径得 a，所以 e .c2 ca 2答案 A(2018全国卷)已知 F1， F2是椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点， A例 2x2a2 y2b2是 C

8、的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 的直线上， PF1F2为等腰三角形， F1F2P120，36则 C 的离心率为( )A. B.23 12C. D.13 14解析 如图，作 PB x 轴于点 B.由题意可设| F1F2| PF2|2，则 c1.由 F1F2P120，可得| PB| ，| BF2|1，故3|AB| a11 a2，tan PAB ，解得 a4，所以 e|PB|AB| 3a 2 36 .ca 14答案 D如图，过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F 的直线交抛例 3物线于点 A， B，交其准线 l 于点 C，若 F 是 AC 的中点，且| AF|4，则线段 AB 的长为( )A

9、5 B6C. D.163 203学解题法一：直接法(学生用书不提供解题过程)如图，设 l 与 x 轴交于点 M，过点 A 作 AD l 交 l 于点 D，由抛物线的定义知，|AD| AF|4，由 F 是 AC 的中点，知| AF|2| MF|2 p，所以 2p4，解得 p2，抛物线的方程为 y24 x.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则| AF| x1 x114，所以 x13，又p2x1x2 1，所以 x2 ，所以| AB| x1 x2 p .p24 13 1635法二：性质法(学生用书提供解题过程)如图，设 l 与 x 轴交于点 M，过点 A 作 AD l 交 l 于点 D，由

10、抛物线的定义知，|AD| AF|4，由 F 是 AC 的中点，知| AF|2| MF|2 p，所以 2p4，解得 p2，抛物线的方程为 y24 x.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，因为 ，| AF|4，所以1|AF| 1|BF| 2p|BF| ，所以| AB| AF| BF|4 .43 43 163答案 C类题通法1椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定 a， b， c 的等量关系或不等关系，然后把 b 用 a， c 代换，求 的值或范围ca2双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的 1 改为 0

11、，分解因式可得(2)用法：可得 或 的值ba ab利用渐近线方程设所求双曲线的方程利用 e 求离心率1 b2a23抛物线焦点弦的性质若线段 AB 为抛物线 y22 px(p0)过焦点 F 的一条弦， A(x1， y1)， B(x2， y2)，则(1)x1x2 ， y1y2 p2；p24(2)焦半径| AF| x1 ；p2(3) ；1|AF| 1|BF| 2p(4)弦长 l x1 x2 p.当弦 AB x 轴时，弦长最短为 2p，此时的弦又叫通径应用通关61(2018全国卷)已知双曲线 C： y21， O 为坐标原点， F 为 C 的右焦点，过x23F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M

12、， N.若 OMN 为直角三角形，则| MN|( )A. B332C2 D43解析：选 B 法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为y x.设两条渐近线的夹角为 2 ，则有 tan ，13 13 33所以 30.所以 MON2 60.又 OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设 MN ON，如图所示在 Rt ONF中，| OF|2，则| ON| .3在 Rt OMN 中，|MN| ON|tan 2 tan 603.故选 B.3法二：因为双曲线 y21 的渐近线方程为 y x，所以 MON60.不妨设过x23 33点 F 的直线与直线 y x 交于点 M，由 OMN 为直角三角形，不妨设

13、 OMN90，则33 MFO60，又直线 MN 过点 F(2,0)，所以直线 MN 的方程为 y (x2)，3由Error! 得Error!所以 M ，所以 |OM| ，(32， 32) (32)2 (32)2 3所以| MN| |OM|3，故选 B.32(2018贵阳模拟)过双曲线 1( a0， b0)的右焦点 F 作圆 x2 y2 a2的切x2a2 y2b2线 FM，切点为 M，交 y 轴于点 P，若 ，且双曲线的离心率 e ，则 ( )PM MF 62A1 B2C3 D4解析：选 B 如图，| OF| c，|OM| a， OM PF，所以| MF| b，根据射影定理得| PF| ，c2b

14、所以| PM| b，c2b7所以 .c2b bb c2 b2b2 a2b2因为 e2 1 2 ，c2a2 a2 b2a2 b2a2 (62) 32所以 .所以 2.b2a2 123已知椭圆 x2 1(00 时，椭圆的离心率的取值范围为( )A. B.(0，22) (14， 22)C. D.(13， 22) (25， 22)解析：选 A 由题意知 F， B， C 的坐标分别为( c,0)，(0， b)，(1,0)，则 FC， BC 的垂直平分线分别为 x ， y ，1 c2 b2 1b(x 12)联立Error! 解得Error! m n 0，1 c2 b2 c2b即 b bc b2 c0，整理

15、得(1 b)(b c)0， bc，从而 b2c2，即 a22c2， e20，0b0)，焦距为 2c，x2a2 y2b2由题设条件知，4 a8， a2，2 2cb2 ， b2 c2 a24，12 3所以 b ， c1 或 b1， c (经检验不合题意，舍去)，3 3故椭圆 C 的方程为 1.x24 y23(2)证明：当 y00 时，由 1，x204 y203可得 x02，当 x02， y00 时，直线 l 的方程为 x2，直线 l 与椭圆 C 有且只有一个交点(2,0)当 x02， y00 时，直线 l 的方程为 x2，直线 l 与椭圆 C 有且只有一个交点(2,0)当 y00 时，直线 l 的

16、方程为 y ，12 3x0x4y0联立Error!消去 y，得(4 y 3 x )x224 x0x4816 y 0.20 20 20由点 P(x0， y0)为椭圆 C 上一点，得 1，x204 y203可得 4y 3 x 12.20 209于是方程可以化简为 x22 x0x x 0，20解得 x x0，将 x x0代入方程 y 可得 y y0，故直线 l 与椭圆 C 有且只有一个交点12 3x0x4y0P(x0， y0)，综上，直线 l 与椭圆 C 有且只有一个交点，且交点为 P(x0， y0)类题通法直线与圆锥曲线交点个数问题的解题策略判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到

17、交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为 0.并且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧角度二 弦长及面积问题(2018兰州检测)已知椭圆 K： 1( ab0)的左、右焦点分别为例 2x2a2 y2b2F1， F2，其离心率 e ，以原点为圆心，椭圆的半焦距为半径的圆与直线 x y2022 3相切(1)求 K 的方程；(2)过 F2的直线 l 交 K 于 A， B 两点， M 为 AB 的中点，连接 OM 并延长交 K 于点 C，若四边形 OACB 的面积 S 满足： a2 S，求直线 l 的斜率3解 (1)由题意得Error

18、!解得Error!故椭圆 K 的方程为 y21.x22(2)由于直线 l 的倾斜角不可为零，所以设直线 l 的方程为 my x1，与 y21 联立并化简可得x22(m22) y22 my10.设 M(x0， y0)， A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y2 ， y1y2 ，2mm2 2 1m2 2可得 y0 ， x0 my01 .mm2 2 2m2 2设 C(x， y)，又 ( 0)，OC OM 所以 x x 0， y y 0.因为 C 在 K 上，10故 2 1 m22 2.(x202 y20)设 h1为点 O 到直线 l 的距离， h2为点 C 到直线 l 的距离，则 h

19、2( 1) h1.h1h2 1 1又由点到直线的距离公式得， h1 .11 m2 1 2 1而| AB| 1 m2 y1 y2 2 4y1y2 ，22 1 m2m2 2 22 2 1 2所以 S |AB|(h1 h2) .12 2 2 1 2 2 1 2 2 1由题意知， S ，所以 .a23 23 2 2 1 23 3将 代入式得 m1，3所以直线 l 的斜率为1.类题通法 弦长问题的解题策略(1)在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解(2)弦长计算公式：直线 AB 与圆锥曲线有两个交点 A(x1， y1)， B(x

20、2， y2)，则弦长|AB| ，其中 k 为弦 AB1 k2 x1 x2 2 4x1x21 1k2 y1 y2 2 4y1y2所在直线的斜率角度三 弦的中点问题已知抛物线 C： y22 x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线 l1， l2分别交 C 于例 3A， B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点(1)若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明： AR FQ；(2)若 PQF 的面积是 ABF 面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程解 由题意可知 F ，设 l1： y a， l2： y b，则 ab0，且 A ， B(12， 0) (a22， a)， P ，Q ， R .(

21、b22， b) ( 12， a) ( 12， b) ( 12， a b2 )(1)证明：记过 A， B 两点的直线为 l，则 l 的方程为 2x( a b)y ab0.因为点 F 在线段 AB 上，所以 ab10，记直线 AR 的斜率为 k1，直线 FQ 的斜率为 k2，11所以 k1 ， k2 b，a b1 a2 b 12 12又因为 ab10，所以 k1 b，a b1 a2 a ba2 ab 1a aba所以 k1 k2，即 AR FQ.(2)设直线 AB 与 x 轴的交点为 D(x1,0)，所以 S ABF |a b|FD| |a b| ，12 12 |x1 12|又 S PQF ，|a

22、 b|2所以由题意可得 S PQF2 S ABF，即 2 |a b| ，|a b|2 12 |x1 12|解得 x10(舍去)或 x11.设满足条件的 AB 的中点为 E(x， y)当 AB 与 x 轴不垂直时，由 kAB kDE，可得 (x1)2a b yx 1又 ，所以 y2 x1( x1)2a b 1y当 AB 与 x 轴垂直时， E 与 D 重合，所以所求轨迹方程为 y2 x1.类题通法 弦中点及弦问题的解题策略(1)对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件 0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交(2)圆锥曲线以 P(x

23、0， y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率分别是 kb2x0a2y0， k ， k (抛物线 y22 px)其中(椭 圆x2a2 y2b2 1) b2x0a2y0(双 曲 线 x2a2 y2b2 1) py0k (x1 x2)，( x1， y1)，( x2， y2)为弦的端点坐标y2 y1x2 x1综合训练1(2019 届高三山西八校联考)如图，设椭圆的中心为原点 O，长轴在 x 轴上，上顶点为 A，左、右焦点分别为 F1， F2，线段 OF1， OF2的中点分别为 B1， B2，且 AB1B2是面积为 4 的直角三角形12(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过 B1作直线 l 交椭圆

24、于 P，Q 两点，使得 PB2Q B2，求直线 l 的方程解：(1)设所求椭圆的标准方程为 1( ab0)，右焦x2a2 y2b2点为 F2(c,0)因为 AB1B2是直角三角形，且| AB1| AB2|，所以 B1AB290，因此| OA| OB2|，得 b .c2由 c2 a2 b2，得 4b2 a2 b2，故 a25 b2， c24 b2，所以离心率 e .ca 255在 Rt AB1B2中， OA B1B2，故 S AB1B2 |B1B2|OA| OB2|OA|12 b b2.c2由题设条件 S AB1B24，得 b24，所以 a25 b220.因此所求椭圆的标准方程为 1.x220

25、y24(2)由(1)知 B1(2,0)， B2(2,0)由题意知直线 l 的斜率存在且不为 0，故可设直线l 的方程为 x my2，代入椭圆方程并整理得( m25) y24 my160.设 P(x1， y1)，Q( x2， y2)，则 y1 y2 ， y1y2 ，4mm2 5 16m2 5又 ( x12， y1)， ( x22， y2)，B2P B2Q 所以 ( x12)( x22) y1y2B2P B2Q ( my14)( my24) y1y2( m21) y1y24 m(y1 y2)16 1616 m2 1m2 5 16m2m2 5 ，16m2 64m2 5由 PB2Q B2，得 0，B2

26、P B2Q 13即 16m2640，解得 m2.所以满足条件的直线 l 有两条，其方程分别为 x2 y20 和 x2 y20.2.(2018惠州调研)如图，椭圆 C： 1( ab0)的右顶点为x2a2 y2b2A(2,0)，左、右焦点分别为 F1， F2，过点 A 且斜率为 的直线与 y 轴交12于点 P，与椭圆交于另一个点 B，且点 B 在 x 轴上的射影恰好为点 F1.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过点 P 且斜率大于 的直线与椭圆交于 M， N 两点(| PM|PN|)，若 S PAM S12PBN ，求实数 的取值范围解：(1)因为 BF1 x 轴，所以点 B ，( c， b2a

27、)所以Error! 解得Error!所以椭圆 C 的标准方程是 1.x24 y23(2)因为 ( 2)，所以S PAMS PBN12|PA|PM|sin APM12|PB|PN|sin BPN 2|PM|1|PN| |PM|PN| 2 .PM 2PN 由(1)可知 P(0，1)，设直线 MN： y kx1 ， M(x1， y1)， N(x2， y2)，(k12)联立Error! 化简得(4 k23) x28 kx80.则 x1 x2 ， x1x2 .8k4k2 3 84k2 3又 ( x1， y11)， ( x2， y21)，PM PN 则 x1 x2，即 ， 2 x1x2 2所以 2 x1

28、x2 2x1x2 x1x2 x2x1 2 ， 2 2 8k24k2 3即 . 2 2 16k24k2 3因为 k ，所以 (1,4)，12 16k24k2 3 163k2 414则 1240， b0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1， F2，点 M， N 在 E 上， MN F1F2，| MN| |F1F2|，线段 F2M 交 E 于点 Q，且25 ，则 E 的离心率为( )F2Q QM A. B.5 15C2 D.3 10解析：选 B 设双曲线 E 的左、右焦点分别为 F1( c,0)， F2(c,0)， MN F1F2，| MN| |F1F2|，25| MN| c，不妨设 M .4

29、5 ( 2c5， y0) ，Q 是线段 F2M 的中点，Q .F2Q QM (3c10， y02)把 M ，Q 分别代入 E 的方程 1( a0， b0)，(2c5， y0) (3c10， y02) x2a2 y2b2可得Error! 15， e .c2a2 152已知点 A(2,3)在抛物线 C： y22 px(p0)的准线上，过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B，记 C 的焦点为 F，则直线 BF 的斜率为( )A. B.12 23C. D.34 43解析：选 D 抛物线 y22 px 的准线为直线 x ，p217因为点 A(2,3)在准线上，所以 2，即 p4，p2从而 C：

30、y28 x，焦点为 F(2,0)设切线方程为 y3 k(x2)，代入 y28 x，消去 x，化简得 y2 y2 k30( k0)，k8由 14 (2k3)0，得 k2 或 k ，k8 12因为切点在第一象限，所以 k .12将 k 代入中得 y8，12再将 y8 代入 y28 x 中，得 x8，所以点 B 的坐标为(8,8)，所以直线 BF 的斜率为 .8 08 2 433.(2018石家庄模拟)如图，两个椭圆的方程分别为 1( ab0)和 1( ab0， m1)，从大椭圆的x2a2 y2b2 x2 ma 2 y2 mb 2两个顶点分别向小椭圆引切线 AC， BD，若 AC， BD 的斜率之积

31、恒为 ，则大椭圆的离心率为( )1625A. B.35 34C. D.45 74解析：选 A 易知大椭圆和小椭圆的离心率相等大椭圆的方程为 1，则 A(ma,0)， B(0， mb)，设切线 AC 的方程为 y k1(x ma)，x2 ma 2 y2 mb 2联立Error!消去 y，得( a2k b2)x22 mk a3x m2k a4 a2b20，21 21 21由 (2 mk a3)24( k a2 b2)(m2k a4 a2b2)0，21 21 21化简得 k a2 m2k a2 b20 k ，21 21 21b2a2 1m2 1设直线 BD 的斜率为 k2，18同理可得 k (m21

32、)，2b2a2 k k (m21) 2，212b2a2 1m2 1 b2a2 b4a4 ( 1625) ， e .专题跟踪检测(对应配套卷 P193)ba 45 1 (ba)2 35一、全练保分考法保大分1直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 ，14则该椭圆的离心率为( )A. B.13 12C. D.23 34解析：选 B 不妨设直线 l 经过椭圆的一个顶点 B(0， b)和一个焦点 F(c,0)，则直线l 的方程为 1，即 bx cy bc0.由题意知 2b，解得 ，即 e .故xc yb | bc|b2 c2 14 ca 12 12选 B.2(20

33、19 届高三湖南长郡中学模拟)已知 F 为双曲线 C： 1( a0， b0)的一x2a2 y2b2个焦点，其关于双曲线 C 的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线 C 的离心率为( )A. B.2 3C2 D. 5解析：选 C 依题意，设双曲线的渐近线 y x 的倾斜角为 ，则有 3 ， ba， tan ，双曲线 C 的离心率 e 2. 3 ba 3 3 1 (ba)23(2019 届高三南宁、柳州名校联考)已知双曲线 1( b0)的一个焦点与抛x23 y2b物线 y28 x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为( )A y x B y x13 33C y3 x D y x3解析：选

34、B 由题意知，抛物线的焦点是(2,0)，即双曲线 1 的一个焦点坐标x23 y2b19是(2,0)，则 c2，且双曲线的焦点在 x 轴上，所以 3 b2 2，即 b1，于是双曲线的渐近线方程为 y x.334(2018昆明调研)过抛物线 C： y22 px(p0)的焦点 F 且倾斜角为锐角的直线 l 与C 交于 A， B 两点，过线段 AB 的中点 N 且垂直于 l 的直线与 C 的准线交于点 M，若|MN| AB|，则 l 的倾斜角为( )A15 B30C45 D60解析：选 B 分别过 A， B， N 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为 A， B，Q，由抛物线的定义知| AF| AA|，|

35、BF| BB|，| NQ| (|AA| BB|) |AB|，因为12 12|MN| AB|，所以| NQ| |MN|，所以 MNQ60，即直线 MN 的倾斜角为 120，又直线12MN 与直线 l 垂直且直线 l 的倾斜角为锐角，所以直线 l 的倾斜角为 30.5(2018南昌模拟)已知 F1， F2是椭圆和双曲线的公共焦点， P 是它们的一个公共点，且 F1PF2 ，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( ) 4A. B.12 22C1 D. 2解析：选 B 如图，设 F1， F2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点， P是第一象限的点，椭圆的长半轴长为 a1，双曲线的实半轴长为 a2，则根据椭圆

36、及双曲线的定义得|PF1| PF2|2 a1，| PF1| PF2|2 a2，| PF1| a1 a2，| PF2| a1 a2.设| F1F2|2 c，又 F1PF2 ，则在 PF1F2中，由余弦定理得，4 c2( a1 a2)2( a1 a2) 422( a1 a2)(a1 a2)cos ，化简得(2 )a (2 )a 4 c2，设椭圆的离心率为 4 2 21 2 2e1，双曲线的离心率为 e2， 4，2 2e21 2 2e2又 2 ，2 2e21 2 2e2 2 2e21 2 2e2 22e1e2 4，即 e1e2 ，22e1e2 22椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为 .226(201

37、8长春质检)已知 O 为坐标原点，设 F1， F2分别是双曲线 x2 y21 的左、右20焦点， P 为双曲线上任意一点，过点 F1作 F1PF2的平分线的垂线，垂足为 H，则| OH|( )A1 B2C4 D.12解析：选 A 不妨设 P 在双曲线的左支，如图，延长 F1H 交 PF2于点 M，由于 PH 既是 F1PF2的平分线又垂直于 F1M，故 PF1M 为等腰三角形，| PF1| PM|且 H 为 F1M 的中点，所以 OH 为 MF1F2的中位线，所以| OH| |MF2| (|PF2| PM|) (|PF2| PF1|)1.12 12 127已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率

38、为 ， E 的右焦点与抛物线 C： y28 x 的焦12点重合， A， B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则| AB|_.解析：抛物线 C： y28 x 的焦点坐标为(2,0)，准线方程为 x2.从而椭圆 E 的半焦距 c2.可设椭圆 E 的方程为 1( ab0)，因为离心率 e ，所以 a4，所以x2a2 y2b2 ca 12b2 a2 c212.由题意知| AB| 2 6.2b2a 124答案：68(2018南宁模拟)已知椭圆 1( ab0)的一条弦所在的直线方程是x2a2 y2b2x y50，弦的中点坐标是 M(4，1)，则椭圆的离心率是_解析：设直线 x y50 与椭圆 1 相交于

39、 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点，x2a2 y2b2因为 AB 的中点 M(4,1)，所以 x1 x28， y1 y22.易知直线 AB 的斜率 k 1.y2 y1x2 x1由Error! 两式相减得， 0， x1 x2 x1 x2a2 y1 y2 y1 y2b2所以 ，所以 ，y1 y2x1 x2 b2a2 x1 x2y1 y2 b2a2 14于是椭圆的离心率 e .ca 1 b2a2 32答案：329(2019 届高三惠州调研)已知 F1， F2是双曲线 1( a0， b0)的两个焦点，y2a2 x2b221过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点

40、 M，若点 M在以线段 F1F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是_解析：如图，不妨设 F1(0， c)， F2(0， c)，则过点 F1与渐近线 y x 平行的直线为 y x c，联立Error!ab ab解得Error! 即 M .因为点 M 在以线段 F1F2为直径的圆(bc2a， c2)x2 y2 c2内，故 2 2b0)的左、右焦点分别x2a2 y2b2为 F1， F2，上顶点为 B，若 BF1F2的周长为 6，且点 F1到直线 BF2的距离为 B.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 A1， A2是椭圆 C 长轴的两个端点， P 是椭圆 C 上不同于 A1， A2的任意一点，直

41、线A1P 交直线 x m 于点 M，若以 MP 为直径的圆过点 A2，求实数 m 的值解：(1)由题意得 F1( c,0)， F2(c,0)， B(0， b)，则 2a2 c6.直线 BF2的方程为 bx cy bc0，所以 b，即 2c a.| bc bc|c2 b2又 a2 b2 c2，所以由可得 a2， b ，3所以椭圆 C 的方程为 1.x24 y23(2)不妨设 A1(2,0)， A2(2,0)， P(x0， y0)，则直线 A1P 的方程为 y (x2)，y0x0 2所以 M .(m，y0x0 2 m 2 )又点 P 在椭圆 C 上，所以 y 3 .20 (1x204)若以 MP

42、为直径的圆过点 A2，则 A2M A2P，即 0，A A2P 22所以 (x02， y0)(m 2，y0x0 2 m 2 )( m2)( x02) (m2)y20x0 2( m2)( x02) (m2)3(1 x204)x0 2( x02) 0.(14m 72)又点 P 不同于点 A1， A2，所以 x02，所以 m 0，解得 m14.14 7211(2018唐山模拟)在直角坐标系 xOy 中，长为 1 的线段的两端点 C， D 分别在2x 轴、 y 轴上滑动， .记点 P 的轨迹为曲线 E.CP 2PD (1)求曲线 E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线与曲线 E 相交于 A， B 两点

43、， ，当点 M 在曲线OM OA OB E 上时，求四边形 AOBM 的面积解：(1)设 C(m,0)， D(0， n)， P(x， y)由 ，得( x m， y) ( x， n y)，CP 2 PD 2所以Error! 得Error!由| | 1，得 m2 n2( 1) 2，CD 2 2所以( 1) 2x2 y2( 1) 2，2 2 1 22 2整理，得曲线 E 的方程为 x2 1.y22(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由 ，知点 M 坐标为( x1 x2， y1 y2)OM OA OB 由题意知，直线 AB 的斜率存在设直线 AB 的方程为 y kx1，代入曲线 E 的

44、方程，得( k22) x22 kx10，则 x1 x2 ， x1x2 .2kk2 2 1k2 2y1 y2 k(x1 x2)2 .4k2 223由点 M 在曲线 E 上，知( x1 x2)2 1， y1 y2 22即 1，4k2 k2 2 2 8 k2 2 2解得 k22.所以| AB| |x1 x2|1 k2 ，3 x1 x2 2 4x1x2322又原点到直线 AB 的距离 d ，11 k2 33所以平行四边形 OAMB 的面积 S| AB|d .6212(2019 届高三洛阳第一次统考)已知短轴长为 2 的椭圆 E： 1( ab0)，x2a2 y2b2直线 n 的横、纵截距分别为 a，1，且原点 O 到直线 n 的距离为 .32(1)求椭圆 E 的方程；(2